lim

21

x!1 p

p

9.

x!8

p3

x 2 .

lim

p9 + 2x

5

11.

lim

2x2

x + 1

1 + x2.

(p

p

)3

1

x

1 + x

3

lim

lim 3

x3 + 2x2

x + 1

1 + x2

+ x3

10.

12.

p

.

x!0

x3

.

x!1 p

5Практическое занятие №4. Первый и второй замечательный пределы

5.1Первый и второй замечательный пределы

Теорема 4 (Первый замечательный предел). lim

sin x

= 1.

x!0

x

x

lim

1

1 +

= e

Теорема 5 (Второй замечательный предел). x!1

x

.

1

Пример 17. Вычислить предел lim(1 + x)x .

x!0

1

Сделаем замену переменной t =

! 1, тогда предел принимает вид:

x

1

t

.

t!1 1 + t

lim

= e

Пример 18. Вычислить предел lim sin 2x.

x!0 x

Используем первый замечательный предел

lim

sin 2x

= lim

sin 2x

2 = 1

2 = 2:

x

2x

x

!

0

x

!

0

lim

sin 2x

= 1, так как 2

x

! 0 при

x

! 0.

2x

x

!

0

x + 3

2

lim

x

.

Пример 19. Вычислить предел x!1

x

Воспользуемся вторым замечательным пределом

x + 3

2

3

2

3

3

x 2

x

=

x

=

x

3

x

x!1 x

2

x!1 1 + x

x!1 1 + x

lim

3

!

= e3 :

lim

lim

=

xlim

1 + x

!1

3

3

2

x

21

22			5.2 Задачи для самостоятельного решения
Пример 20. Вычислить предел lim			ln(1 + x)	.
		x!0	x
1		1
lim		ln(1 + x) = lim ln(1 + x)x = 1.
x!0 x		x!0

5.2Задачи для самостоятельного решения

sin x

sin 2x

x!1

2x + 3

x

x!0

11.

2x 1

,

2x

x!0 sin 4x

1.

lim

,

6.

lim

,

lim

2.

sin 2x

,

7.

lim

x

,

x!1

3x + 6

x

x!0

!

sin 7x

12.

3x + 7

,

3x

lim

x

x 0 tg5x

lim

8.

lim

,

3.

lim

,

13.

1

,

x 0

tg2x

lim(3x

2)x

x!0 sin x

!

x

!

1

cos x

sin2 3x

1

4.

lim

,

9.

lim

,

14.

lim(1 + tgx)

,

2x

2x2

x!0

x

x!0

x!0

5.

lim

tgx

,

10.

lim

sin2 4x

,

15.

lim

ln(1 sin x)

.

x3

x!0

x

x!0

x!0

2x

5.3Задачи домашней работы

3 sin 4x

2x

x!1

2x + 6

x

10.

,

x!0

2x

x!0 tg3x

2x + 1

1.

lim

p

,

6.

lim

,

lim

2.

lim

x

,

sin p

2x

2

x!0 sin x

7.

lim

,

11.

lim(4x

3)

,

3x

lim

cos x

x!0 tgp2x

x!1

3.

,

x!0

px

8.

lim sin

2

2x,

12.

lim(1 + tg3x)x ,

tgpx

1

lim

x 0

3x3

x!0

4.

x

,

x!0

!

5.

2

4x,

x!1

4x + 3

x

13.

2x .

x!0 sin2

x!0

4x 3

lim

sin

2x

9.

lim

,

lim

ln(1 tgx)

22

23

6Практическое занятие №5. Непрерывность функции. Асимптоты функции

6.1Непрерывность функции

Определение 6. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

lim f(x) = f(x0).

x!x0

Функция f(x) называется непрерывной на данном множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва. Различают: 1) точки разрыва первого рода, для которых существуют конечные односторонние пределы

lim	f(x) и lim		f(x), и точки разрыва второго рода - все остальные. Раз-
x!x0 0		x!x0+0
ность	lim	f(x) –	lim f(x) называется скачком функции в точке x0. Если
	x!x0+0		x!x0 0
lim f(x)=		lim	f(x), то точка разрыва x0 называется точкой устранимого
x!x0 0		x!x0+0
разрыва.

Теорема 6. Основные элементарные функции непрерывны в тех точках, где они определены.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то непрерывны в этой точке и функции f(x) g(x), f(x)g(x), fg((xx)) (g(x0) 6= 0).

Теорема 8. Если функция y = f(x) непрерывна в точке x0, а функция z = g(y) непрерывна в точке y0 = f(x0), то функция z = g(f(x)) непрерывна в точке x0:

Пример 21. Функции f(x) = ex и g(x) = sin x непрерывны в точке x0 = 1: Тогда функция h(x) = ex sin x будет непрерывна в точке x0 = 1: Сложная функция z = sin(ex) будет непрерывна в точке x0 = 1.

Теорема 9. Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках из ее области определения.

6.2 Асимптоты функции

Определение 7. Пусть lim f(x) = 1. Тогда прямая x = a называется вер-

x!a

тикальной асимптотой графика функции y = f(x).

23

24	6.3 Задачи для самостоятельного решения
Определение 8. Прямая, задаваемая уравнением y			= kx + b, называется
наклонной асимптотой, если xlim (f(x) kx b) = 0.
	!1
		f(x)
	Из определения непосредственно следует, что k =			, а b = xlim (f(x) kx).
		x
			!1

6.3Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на непрерывность функции.
1.	f(x) =		2				,		3.	f(x) = sin						1	,					5.	f(x) =			1			,
																										sin x
			x 1												x
2.	f(x) =		sin x			,				f(x) =					x2 1
									4.												,	6.	f(x) = psin x.
			jxj
														x2 3x + 2
Найти асимптоты графика функции.
		x									2x				1
																							y = px2 + 1,
1.	y =	3			,				4.	y =								,				7.
		2x + 1									(1 x)2
2.	y =	2		,					5.	y =	9 + 6x 3x2									,		8.	y =	ln x			,
		1 x									x2				2x + 13									x
3.	y =		4					,	6.	y = p3									,			9.	y = xe x.
												x3 2
		3 + 2x x2

6.4Задачи домашней работы

Исследовать на непрерывность функции.
				4					1
1.	f(x) =					,	4.	f(x) = cos				,		7.	f(x) = p1sin x,
		x2		2x 3
											x
2.				x 4			, 5.		x2 4					8.	f(x) =			,
	f(x) =		2					f(x) =					,			tgx
				7x 10
									x2 4x + 3					9.	f(x) = logx2						4x+3 2,
	x
3.	f(x) =	j sin xj			,		6.		1	,					f(x) = p
								f(x) =						10.						.
																	tgx
	jx 1j								cos x

Найти асимптоты графика функции.

24

25													6.4	Задачи домашней работы
		2x + 5							x
													7.	y = p3x2 + 2,
1.	y =			,		4.	y =			,
								(1 x)2
		2x 2
2.	y =	1	,			5.	y =	9 + 6x x2				,	8.	y =	ln x		,
								x2 2x + 2
		2 + x													x + 2
3.	y =	1			,	6.	y = p1				,		9.	y = (x + 1)e x.
									x3 8
		4 + 3x x2

25

26

7Примерная контрольная работа

Вариант 1

1.

Докажите, что lim

2n4 5n

= 2.

n!1

n4

lim x4 + 2x2 3

[

8]

2.

Вычислите предел x!1

x2 3x + 2

.

p

p

[ 2].

3.

Вычислите предел xlim (

x2 + 2

x2 + 4x + 5)

!1

p3

.

1 + x + x2

1

1

lim

4.

x(x2 + 2)

6

Вычислите предел x!0

p5

+ p3

lim

n6 + 2n4 1

n2 n 2

[0]

5.

Вычислите предел n

p4

p

.

5

3

!1

n

+ 2n

n + 1 +

n

sin3x + sin22x

6.

Вычислите предел lim

[1].

(2x)2

x!0

lim

3n

1

n+1

e

7.

3n

4

Вычислите предел x!1

[

].

lim

ln(2x 1)

[

2]

8.

Вычислите предел x!1

x2 3x + 2

.

9.

Напишите уравнения

вертикальных и наклонных

асимптот

функции

f(x) =

3x2 2x + 3

[y = 3x

5; x = 1]

x + 1

.

10.

Исследовать на непрерывность функцию f(x) =

x2 3x + 2

.

x2 5x + 6

[x 2 (1; 2) [ (2; 3) [ (3; 1)].

26

27

				Вариант 2
1.	Докажите, что lim	3n3 2n		= 3.
	n!1		n3
	lim x4 + 3x2 4					[	5]
2.	Вычислите предел x!1		x2 4x + 3				.

pp

3.

Вычислите предел xlim (

x2 + 5x 2

x2 + 3x 4)

[1].

!1

lim

5x(x3 + 8)

[60]

4.

Вычислите предел x!0

p3

p3

.

1 + x

1 x

p6

+ p3

lim

n5 + 2n4 1

n2 n 2

[

]

5.

Вычислите предел n!1

p5

n4 + 2n3 n + 1

+ p3 n2

1

.

6.

sin3x + sin22x

4

.

lim

(3x)2

9

Вычислите предел x!0

4n + 1

2n 5

7.

lim

[

e2

].

4n 3

Вычислите предел x!1

8.

Вычислите предел lim

ln(2x 3)

[2].

x!2 x2 3x + 2

9.

Напишите уравнения

вертикальных и

наклонных асимптот

функции

f(x) =

2x2 2x + 1

y =

2

x

4

; x =

1

.

3x 1

9

3

3

10.

Исследовать на непрерывность функцию f(x) =

x2 2x + 2

.

x2 8x + 7

[x 2 (1; 1) [ (1; 7) [ (7; 1)].

27

28

8Заключение

К понятию предела вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью метода исчерпывания. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории предела. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие предела не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

Новый этап в развитии понятия предела наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов "неделимых"метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гульдин, Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия предела появляются попытки создать общую теорию предела Так, И. Ньютон первый отдел первой книги ("О движении тел") своего труда "Математические начала натуральной философии"посвящает своеобразной теории предела под названием "Метод первых

ипоследних отношений которую он берёт за основу своего исчисления флюксий. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию "потенциальной"бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о пределе. Понятие предела, намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д’Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального

иинтегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

Современная теория предела начала формироваться в начале 19 в. в свя-

28

29

зи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т.п.). Впервые в работах О. Коши понятие предела стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования предела последовательностей, основные теоремы о пределах и что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как предел интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие предела последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия предела следует отметить понятия предела, данные в работах С. О. Шатуновского (опубликовано в 1923), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и французского математика А. Картана (1937).

29

9Список литературы

1.Математическая энциклопедия под ред. И.М.Виноградова. Советская энциклопедия. Москва. 1984.

2.И.И.Баврин Курс высшей математики. Москва. Владос, 2004.

3.Б.П.Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Издательство Московского университета, 1997.

4.Большая советская энциклопедия. 1969-1978.

Дополнительная литература

1.И.И.Баврин Математика. Учебник. Академия. 2013.

2.Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа. Том 1. ФИЗМАТЛИТ. 2002.

30