sopromat2
.pdfQ = Q + / − Q − / , равные сосредоточенным силам F1 = qa, VB =
z 0 z 0
8,278qa, F2 = 2qa, Vc = 13,722qa, взятым с соответствующими знаками.
В сечениях балки с координатами z = a2, a4 приложены пары сил с моментами М1, М2. На эпюре М в этих сечениях имеются «скачки»
изгибающего момента |
M = M |
|
z+0/ − M |
|
z−0/ , равные сосредоточенным |
|
|
||||
|
|
|
моментам М1 = –10qa2, М2 = 20qa2 с учетом их знаков.
На участках балки, где распределенная нагрузка q равна 0, на эпюре Q функция Q(z) – постоянная величина, а на эпюре М функция M(z) – линейная функция; на участках балки, где распределенная нагрузка q – постоянная величина, на эпюре Q функция Q(z) – линейная функция, а на эпюре М функция M(z) – квадратная парабола.
Выпуклость нелинейной функции M(z) определяется знаком ее кривизны, то есть знаком второй производной d2M/dz2. На тех участках балки, на которых d2M/dz2 имеет знак «–», в системе координат yz выпуклость направлена к оси z .
Используя условие прочности по нормальным напряжениям (4), можно найти необходимый осевой момент инерции сечения балки на каждом участке:
J ≥ |
max |
|
M |
|
|
ymax , |
(6) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
σadm |
|
|||||
где ymax – расстояние от нейтральной линии сечения до |
наиболее |
||||||
удаленного волокна (рис.7). |
|
|
|
|
|
|
|
Момент сопротивления поперечного сечения балки определяется по |
|||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
W = J/ymax. |
(7) |
Для определения момента сопротивления W необходимо найти осевой момент инерции Jx относительно главной центральной оси x поперечного сечения балки (нейтральной линии), а также расстояние ymax от нейтральной линии сечения до наиболее удаленного волокна.
Двутавровое поперечное сечение, представленное на рис.4, разбито на прямоугольники 1, 3, 5 и треугольники 2, 4, центры площадей которых обозначены буквами c1, c2, c3, c4, c5; центр площади двутавра обозначен буквой c. Системы координат ckxkyk – локальные (k = 1,2,…,5); система координат cxy – глобальная, общая для сечения. Символом ymax обозначено расстояние от нейтральной линии сечения
до наиболее удаленного волокна.
81
Определение геометрических характе-ристик двутаврового поперечного сече-ния, представленного на рис.4, для при-нятых соотношений между размерами элементов поперечного сечения по фор-мулам (3), выполнено в задании №3.
Площадь поперечного сечения: A = 0,173 h2. Статический момент Sx1 площади дву-тавра относительно оси х1: Sx1 =11,663 t3.
Рис.7. Разбивка двутавра на простейшие фигуры.
Расстояние yc от центра площади двутавра до оси х1: yc = 0,0674h
.Осевой момент инерции Jx двутавра относительно центральной оси х: Jx = 216,743t4 = 216,743 10-4 h4 . Расстояние ymax от нейтральной оси х до наиболее удаленного волокна балки: ymax = 0,567h.
Используя условие прочности (4) и допускаемое напряжение σadm = 30 МПа можно вычислить требуемую высоту поперечного сечения балки hk (k=I, II, III, IV) по участкам:
– |
участок I (0 ≤ z < 1 м): h |
|
|
≥ 3 |
|
78,48 103 |
|
= 0,138 м ; |
||||||||||||
I |
|
|
|
30 106 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– участок II (1 ≤ z < 3 м): h |
|
|
|
≥ |
3 |
|
578,45 103 |
|
= 0,268 м ; |
|||||||||||
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
30 106 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– |
участок III (3 ≤ z < 6 м): h |
|
|
|
≥ 3 |
569,66 103 |
|
= 0,267 м ; |
||||||||||||
III |
|
30 106 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
– участок IV (6 ≤ z < 10 м): h |
|
|
|
|
≥ 3 |
1046,4 103 |
= 0,327 м . |
|||||||||||||
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
30 106 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Высота поперечного сечения балки на втором и третьем участках мало отличается по величине, поэтому для дальнейших расчетов принято
hII = hIII = 0,268 м.
Далее необходимо проверить, удовлетворяет ли балка условиям жесткости.
2.2. Расчет балки на жесткость. Проверим, удовлетворяет ли балка, рассчитанная по условиям прочности, следующим условиям жесткости:
vadm = L/400 = 9/400 = 0,0225 м = 22,5 мм; θadm = 0,005 рад, где L – пролет балки; L = 9a = 9 м.
82
Осевой момент инерции рассматриваемого двутавра определен
формулой: |
|
Jx = 216,743 t4 = 216,743 . 10-4 h4. |
(8) |
Подставив в формулу (8) вместо h вычисленные значения высоты hk, получим осевые моменты инерции балки по участкам:
J |
(1) |
= 216,743 10−4 |
h |
4 |
= 216,743 10−4 (0,138)4 |
= 0,0786 10−4м4; |
||
|
x |
|
|
|
I |
|
|
|
|
J |
(2) |
= J(3) = 216,743 10−4 h4 = 216,743 10−4 (0,268)4 = |
|||||
|
|
x |
x |
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1,118 10−4 м4; |
|
J |
(4) |
= 216,743 10−4 |
h |
4 |
|
= 216,743 10−4 (0,327)4 |
= 2,478 10−4 м4. |
|
|
x |
|
|
|
IV |
|
|
|
Далее обозначаем: |
J1 = J(1x ) , J2 = J(x2) , J3 = J(x3) , |
J4 = J(x4) . |
Для построения уравнения изогнутой оси балки используем метод начальных параметров, изложенный в Приложении 2.
Расчетная схема представлена на рис.3а, точка 0 начала системы координат yz помещена на левом конце балки; числовые значения нагрузок и линейных размеров:
l1 = 1, l2 = 2, l3 = 3, l4 = 4 м; q1 = 2, q2 = 4, q3 = 6 кН/м ; F1 = 2, F2 = 4 кН; M1 = 20, M2 = 40 кН м .
Уравнение упругой линии балки на первом участке:
v |
I |
= v |
0 |
+ θ |
0 |
z − |
M0 |
|
z2 |
− |
Q0 |
|
z3 |
+ |
q1 |
|
z4 |
, |
(9) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
EJ1 |
2! |
|
EJ1 3! |
|
EJ1 4! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где v0, θ0 – неизвестные прогиб и угол поворота на левом конце балки; начальные параметры: М0 = 0; Q0 = – F1 = – 2 кН; другие исходные данные: q1 = 2 kH/м; EJ1 = 30 . 109 . 0,0786 . 10-4 = 2,358 105 Н м2.
После подстановки в (9) числовых значений величин уравнение упругой линии балки на первом участке получает вид:
v |
|
= v |
|
+ θ |
|
z + |
|
2 |
|
z3 |
+ |
2 |
|
z4 |
. |
(10) |
I |
0 |
0 |
2,358 102 |
|
2,358 102 |
|
||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
24 |
|
|
||||||||
Неизвестные начальные параметры v0 и θ0 определяются из условий |
||||||||||||||||
закрепления балки, а именно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v|z = 1 = 0, |
v|z = 10 = 0 . |
|
|
|
|
(11) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
Уравнение упругой линии балки на втором участке:
v |
II |
= v |
(z)+ |
v |
I |
+ Δθ(z −1) − |
M1 |
|
(z −1)2 |
− |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
I |
|
|
|
I |
|
|
EJ1 |
|
|
2! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
(z −1)3 |
|
|
|
q |
|
(z −1)4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
, |
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
3! |
|
EJ |
4! |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
где М1 – «скачок» изгибающего момента на границе между первым и вторым участками (при z = 1 м):
|
J |
|
|
J |
|
|||
M = |
|
1 |
M |
II |
− |
1 |
M |
|
|
|
J |
||||||
1 |
J |
2 |
|
|
I |
|||
|
|
|
|
1 |
z=1 |
= |
0,0786 |
|
− 3 10 |
3 |
|
|
3 |
|
= |
1,118 |
|
|
|
− |
− 3 10 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2,789 103Н м;
Q1 – «скачок» поперечной силы:
|
J |
|
|
J |
|
|||
Q = |
|
1 |
Q |
II |
− |
1 |
Q |
|
|
|
J |
||||||
1 |
J |
2 |
|
|
I |
|||
|
|
|
|
|
1 |
z=1 |
|
0,0786 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
12,556 |
10 |
|
− |
− 4 |
10 |
|
= |
|
1,118 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=4,883 103Н;
q1 – «скачок» распределенной нагрузки:
q |
= |
J1 |
q |
II |
− |
J1 |
q |
|
= |
0,0786 |
(0)− 2 103 |
= −2 103 |
Н/м; |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
J |
2 |
|
|
J |
I |
1,118 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qI = q1 = q = 2 кН/м; |
qII = 0; |
vI, ΔθI – «скачки» прогибов и углов поворота поперечных сечений балки на границе между первым и вторым участками.
В рассматриваемом примере упругая линия балки является непрерывной гладкой кривой, поэтому «скачки» прогибов и углов поворота поперечных сечений балки на границах между участками равны нулю, что учитывается в дальнейшем выводе.
На границе между первым и вторым участками vI = 0, ΔθI = 0. После подстановки в (12) числовых значений величин уравнение
упругой линии балки на втором участке получает вид:
v |
|
= v |
|
(z) − |
2,789 |
(z −1)2 |
− |
4,883 |
(z −1)3 |
− |
|
II |
I |
2,358 102 |
2,358 102 |
||||||||
|
|
|
2 |
|
6 |
|
84
– |
2 |
(z − 1)4 . |
(13) |
|
2,358 102 |
||||
|
24 |
|
Уравнение упругой линии балки на третьем участке:
v |
III |
= v |
II |
(z)+ |
v |
II |
+ Δθ (z −3) − |
M2 |
|
|
(z −3)2 |
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
EJ1 |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
z − |
3 |
3 |
|
|
z − 3 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
( |
|
|
) |
+ |
q2 ( |
) , (14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ1 |
|
|
|
3! |
|
EJ1 |
4! |
|||
где |
|
vII, ΔθII – «скачки» прогибов и углов поворота на границе между |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вторым |
и |
|
третьим |
участками: |
|
vII = |
0, |
|
ΔθII |
= 0; |
|
М2 |
– «скачок» |
||||||||||||||||||||
изгибающего момента на границе между вторым и |
третьим участками |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(при z = 3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
J |
|
|
0,0786 |
|
|
2,112 103 − |
0,0786 |
22,112 103 |
|||||||||||||||
|
|
M |
2 |
= |
|
|
1 |
M |
III |
− |
|
1 |
M |
|
= |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
1,118 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
J |
3 |
|
|
|
2 |
|
II |
|
1,118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − 1,406 103 Н.м;
Q2 – «скачок» поперечной силы на границе между вторым и третьим участками (z = 3):
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
0,0786 |
|
12,556 103 − |
0,0786 |
|
12,556 103 = 0; |
||||||||
Q |
2 |
= |
1 |
Q |
III |
− |
|
|
1 |
Q |
|
= |
|
|
||||||||||||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
J |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
II |
1,118 |
|
|
|
1,118 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
J |
|
|
|
J |
|
|
|
0,0786 |
4 103 − |
0,0786 |
|
|
|
|||||||||||||
q |
2 |
= |
|
|
1 |
q |
III |
− |
|
|
|
1 |
q |
|
= |
0 = 281 Н /м; |
||||||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
1,118 |
|||||||||||||||||||||
|
J |
3 |
|
|
|
2 |
|
II |
1,118 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(qII = 0, qIII = q2 = 2qa = 4 кН/м).
После подстановки в (14) числовых значений величин уравнение упругой линии балки на третьем участке получает вид:
|
|
|
|
v |
|
= v |
|
(z) + |
1,406 |
|
|
(z − 3)2 |
+ |
0,281 |
|
|
|
(z − 3) |
4 |
. (15) |
||||||
|
|
|
|
III |
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2,358 10 |
2 |
2 |
|
2,358 10 |
2 |
24 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Уравнение упругой линии на четвёртом участке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
v |
IV |
= v |
III |
(z) + |
v |
III |
+ Δθ (z − 6) − |
|
M3 |
|
(z − 6)2 |
− |
Q3 |
|
(z − 6)3 |
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
III |
|
EJ1 |
2! |
|
|
EJ1 |
|
|
|
3! |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
+ q3 |
(z − 6)4 |
, |
(16) |
|
|||
EJ1 |
4! |
|
|
где vIII, ΔθIII – «скачки» прогибов и углов поворота на границе между третьим и четвёртым участками: ΔvIII = 0, ΔθIII = 0;
М3 – «скачок» изгибающего момента при z = 6:
|
|
|
J |
|
|
J |
|
|
0,0786 |
21,776 103 − |
||||
M |
3 |
= |
|
1 |
M |
IV |
− |
|
1 |
M |
|
= |
||
|
|
J |
|
|
||||||||||
|
J |
4 |
|
|
3 |
|
III |
2,478 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=6 |
|
|
|
–0,0786 21,776 103 = – 840 Н м; 1,118
Q3 – «скачок» поперечной силы:
|
J |
|
|
J |
|
|
0,0786 |
|
−3,444 103 |
|
|
0,0786 |
0,556 |
103 |
|
|||||
Q |
= |
|
1 |
Q |
|
− |
1 |
Q |
|
= |
− |
= |
||||||||
|
IV |
2,478 |
|
|
1,118 |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
J |
4 |
|
|
J |
3 |
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
z=6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= – 148 Н;
q3 – «скачок» распределенной нагрузки:
q = J1 q 3 J4 IV
|
J1 |
|
|
= 0,0786 |
6 103 |
− 0,0786 |
4 103 |
|
||
− |
q |
|
= – 9,1 Н/м; |
|||||||
|
||||||||||
|
J |
3 |
|
III |
2,478 |
|
1,118 |
|
|
|
|
|
|
z=6 |
|
|
|
|
|
(qIII = q2 = 2qa = 4 кН/м; qIV = q3 = 3qa = 6 кН/м).
После подстановки в (16) числовых значений величин уравнение упругой линии на четвёртом участке получает вид:
|
0,840 |
|
(z − 6)2 |
|
0,148 |
|
(z − 6)3 |
|
|||
vIV = vIII(z) + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
||
2,358 102 |
2 |
2,358 102 |
6 |
||||||||
|
|
|
– |
0,091 |
|
|
(z − 6)4 . |
(17) |
|||
|
|
|
2,358 102 |
||||||||
|
|
|
|
24 |
|
После умножения левой и правой части (17) на EJ1 . 10-3 = 235,8 Н м2 запишем уравнение упругой линии балки на всей длине:
235,8 v=235,8v0+235,8θ0z + 2 z3 + 2 z4 +
624
86
|
(z − 1) |
2 |
|
|
|
|
(z − 1) |
3 |
|
|
|
|
|
(z − 1) |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+ − 2,789 |
|
− 4,883 |
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
> 1 |
|
|||
|
|
(z − 3) |
2 |
|
|
|
|
(z − |
3) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+ 1,406 |
|
+ 0,281 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
> 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− 6) |
2 |
|
|
|
|
|
(z − |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − |
|
|
4 |
|
|
|
|||||
+ 0,840 |
(z |
|
|
+ 0,148 |
6) |
|
|
− 0,091 |
|
6) |
|
|
|
, (18) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
> 6 |
где выражения в квадратных скобках используются только для z, превышающих указанное значение внизу правой скобки.
С использованием функции Хевисайда
He(ζ)= |
1,åñëè ζ> 0; |
(19) |
|
0,åñëè ζ≤ 0, |
|||
|
уравнение (18) можно представить в виде:
|
235,8v = 235,8v0 +235,8θ0z + 2 |
z3 |
|
+ 2 |
z4 |
|
+ |
|
|||||||||
|
|
24 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
|
(z − 1)2 |
|
|
(z − 1)3 |
|
|
(z − 1) |
4 |
He(z − 1) |
+ |
|||||||
+ − 2,789 |
|
|
− 4,883 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
6 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(z − 3) |
2 |
|
|
(z − 3)4 |
He(z − 3) + |
|
|
||||||||
+ 1,406 |
|
|
+ 0,281 |
|
|
|
|
(20) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − 6)2 |
|
(z − 6)3 |
|
(z − 6) |
4 |
He(z − 6). |
|
+ 0,840 |
|
+ 0,148 |
|
− 0,091 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
6 |
24 |
|
|
|
Для отыскания числовых значений начальных параметров v0 и θ0 воспользуемся граничными условиями (11) и подставим в них выражение (20) изогнутой оси балки:
235,8v0 + 235,8θ0 = – 0,417;
(21)
235,8v |
|
+ 2358θ |
|
= − |
1000 |
− |
10000 |
+ 2,789 |
81 |
+ 4,883 |
729 |
+ |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
12 |
2 |
6 |
|
87
+ 6561 − 1,406 49 − 0,281 2401 − 0,840 16 − 0,148 64 + 12 2 24 2 6
+ 0,091 256 = 16,364. 24
Разделив правую и левую части системы уравнений (21) на коэффициент при v0 , равный числу 235.8 , получим следующую линейную систему уравнений:
v |
0 |
+ θ |
0 |
= −1,767 10−3 |
; |
||
|
|
|
|
|
(22) |
||
|
|
|
|
|
|
= 6,94 10−2 |
|
v |
0 |
+ 10θ |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Решение этой системы уравнений дает значения начальных параметров v0, θ0:
v0 = – 9,675 . 10-3 м; θ0 = 7,908 . 10-3 рад.
Заменив в уравнении (20) начальные параметры v0 и θ0 полученными числовыми значениями, придем к окончательной форме уравнения упругой оси балки:
v = −9,675 10−3 + 7,908 10−3z + 4,241 10−3 {0,333z3 + 0,0833z4 −
− [1,394(z −1)2 + 0,814(z −1)3 + 0,0833(z −1)4 ] He(z −1) +
+ [0,703(z − 3)2 + 0,0117(z − 3)4 ] He(z − 3) + |
(23) |
+ [0,420(z − 6)2 + 0,0247(z − 6)3 − 3,792 10−3(z − 6)4] He(z − 6)}.
Уравнение углов поворота сечений балки получается из (23) дифференцированием по z:
θ= − 3 + − 3 2 + 3 − 7,908 10 4,241 10 z 0,333z
− [2,788(z − 1) + 2,442(z − 1)2 + 0,333(z − 1)3] He(z − 1) +
+ [1,406(z − 3) + 0,0468(z − 3)3]He(z − 3) + |
(24) |
88
+[0,840(z − 6) + 0,0741(z − 6)2 − 1,517 10− 2 (z − 6)3] He(z − 6)}
2.2.Построение эпюр прогибов и углов поворота поперечных сечений балки. Выбрав на оси балки ряд значений координат z1, z2, …, zn, по уравнениям (23), (24) вычисляем прогибы vk = v(zk), углы поворотов
сечений θk = θ(zk) и помещаем полученные значения в табл.2.
По данным табл.2 на рис.8 построены эпюры прогибов и углов поворота балки. Так как на рис. 3,а ось ординат направлена вниз, а на рис.8
– вверх, то для сохранения действительного направления прогибов балки v (z) на рис.8 знаки прогибов изменены на обратные.
Т а б л и ц а 2
Прогибы и углы поворотов сечений балки
|
zk, м |
0 |
0,5 |
1,0 |
|
1,5 |
|
2,0 |
|
2,5 |
|
3,0 |
|
||||||
|
vk.103, м |
-9,675 |
-5,522 |
0 |
|
6,815 |
|
13,39 |
|
19,25 |
|
23,92 |
|
||||||
|
θk.103, рад |
7,908 |
9,145 |
13,56 |
|
13,54 |
|
12,59 |
|
10,69 |
|
7,866 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл.2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk, м |
3,5 |
|
4,0 |
|
4,5 |
|
5,0 |
|
5,5 |
|
6,0 |
|
6,5 |
|
||||
|
vk.103, м |
27,7 |
|
30,9 |
|
33,16 |
|
34,2 |
|
33,82 |
|
31,87 |
|
28,77 |
|
||||
|
θk.103, рад |
7,109 |
|
5,565 |
|
3,383 |
0,712 |
|
-2,298 |
-5,499 |
-6,889 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
zk, м |
|
7,0 |
|
7,5 |
|
8,0 |
|
8,5 |
|
|
9,0 |
|
9,5 |
|
10,0 |
|
||
|
vk.103, м |
|
25,02 |
|
20,76 |
|
16,17 |
|
11,49 |
|
7,006 |
|
3,046 |
|
0 |
|
|||
|
θk.103, рад |
|
-8,061 |
|
-8,917 |
|
-9,353 |
-9,27 |
|
-8,568 |
|
-7,143 |
-4,897 |
|
Наибольшее значение прогиба vmax по абсолютной величине достигается при z 5 м и составляет 34,2 . 10-3 м = 34,2 мм .
Это значение превышает допускаемую величину vadm = 22,5 мм в 1,52 раза, поэтому размеры поперечного сечения балки должны быть
увеличены пропорционально числу nv:
nV = 4 vmax/vadm = 41,52 =1,11.
89
Рис.8. Прогибы и углы поворота сечений балки
Наибольший по абсолютному значению угол поворота поперечного сечения θmax достигается при z = 1,0 м, т.е. на левой опоре, и составляет 13,562 . 10-3 рад, что превышает допускаемую величину θadm = 5 10-3 рад в 2,712 раза, поэтому размеры поперечного сечения балки необходимо
увеличить пропорционально числу nθ :
nθ = 4θmax/θadm = 42,712 =1,283.
Для того, чтобы удовлетворить оба требования по жесткости (vadm = 22,5 мм; θadm = 0,005 рад), следует увеличить высоту поперечного сечения балки в 1,283 раза:
~ |
= 1,283 0,138 = 0,177 |
~ |
~ |
=1,283 0,268= 0,344 м; |
hI |
м; hII |
= hIII |
||
~ |
= 1,283 0,327 = 0,42 м, |
|
|
|
hIV |
|
|
Округляя полученные значения, окончательно принимаем:
hI = 18 см; hII = hIII = 34 см; hIV = 42 см.
Поскольку размеры поперечного сечения увеличены, условия прочности будут удовлетворены.
Расчеты закончены.
Задание №6. Расчет центрально сжатых стержней на устойчивость.
90