Термодинамика

Между двумя изотермами с температурами T1 и T2 на диаграмме (p, V) (рис. 7.5) возможны различные пути перехода.

Поскольку для всех таких переходов	изменение температуры
∆T = T2 – T1 одинаково, следовательно,	одинаково изменение ∆U

внутренней энергии. Однако, совершенные при этом работы A и полученные в результате теплообмена количества теплоты Q окажутся различными для разных путей перехода. Отсюда следует, что у газа имеется бесчисленное количество теплоемкостей. Теплоемкости Cp и CV – это лишь частные (и очень важные для теории газов) значения теплоемкостей. В случае изотермического процесса ∆T = 0, поэтому CT = ∞. В адиабатическом процессе ∆Q = 0, следовательно, Cад = 0.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1)Что изучает термодинамика?

2)Что такое термодинамическая система?

3)Что такое изолированная термодинамическая система?

4)Что такое термодинамическое равновесие?

5)Что такое термодинамический процесс?

6)Чему равна внутренняя энергия термодинамической системы?

7)Чему равна внутренняя энергия одноатомного идеального газа?

8)Как можно изменить внутреннюю энергию термодинамической системы?

9)Что такое теплообмен?

10)Что называют количеством теплоты?

11)Как формулируется первое начало термодинамики?

12)Чему равна теплоёмкость тела?

13)Чему равна молярная теплоёмкость?

14)Чему равна удельная теплоёмкость?

ЗАДАЧИ

Задача 1. Объем 40 г кислорода в результате изобарного нагревания увеличился в три раза. Начальная температура кислорода 300 K. Удельная теплоёмкость кислорода при постоянном давлении равна 909 Дж/кг· K. Найти изменение внутренней энергии газа и работу, которую он совершил.

194

Дано:

m = 40 г = 4·10–2 кг

T1 = 300 K

V2 = 3 V1 p = const

Cp = 909 Дж/кг· K

∆U − ? A − ?

Решение:

Кислород не является одноатомным

газом, поэтому уравнение U = 3/2 m RT

M

использовать нельзя. Можно использовать первый закон термодинамики, который выполняется для любого газа. При изобарическом процессе (p = const) уравнение состояния газа имеет вид V/T = const,

V1		=	V2		V
следовательно,					. Отсюда T2 = T1		2	.
	T1			T2
						V
					1

По условию задачи V2 = 3 V1, тогда конечная температура кислорода равна T2 = 3T1, а изменение температуры равно ∆ Т = 2Т1. Количество теплоты, которое получает кислород при нагревании равно ∆ Q = Сpm∆ T. При этом газ совершил работу

A =	m	R∆ T =	m	R2T = 6,23 кДж.
	M		M		1
Изменение внутренней энергии кислорода равно ∆ U = ∆ Q – A,
∆ U = m(Cp − R/M)·2T1 = 15,58 кДж.
О т в е т : A = 6,23 кДж; ∆ U = 15,58 кДж.

Задача 2. Давление азота в сосуде объёмом 3 л после нагревания увеличилось на 2,2 МПа. Удельная теплоёмкость азота при постоянном объёме 745 Дж/кг·K. Найти количество теплоты, которое сообщили азоту.

О т в е т : Q = 16,5 кДж.

Задача 3. Для повышения температуры газа на 50 K при постоянном давлении необходимо затратить 1 МДж теплоты. Масса газа 20 кг, молярная масса газа 28 г/моль. Какое количество теплоты газ отдает при понижении температуры на 50 K при постоянном объёме?

О т в е т : Q = 703,2 кДж.

Задача 4. В сосуде объёмом 10 л находится гелий при температуре 27° С и давлении 1 МПа. Гелий нагревается солнечными лучами и получает 8,35 кДж теплоты. Найти давление

итемпературу гелия после нагревания.

От в е т : p = 1,56 МПа; T = 467 K.

195

Задача 5. Одноатомный газ сначала изобарически расширяется в 4 раза, а затем в результате изохорического нагревания его давление увеличивается в 3 раза. Начальное давление газа 100 кПа, его конечный объём 12 л. Найти работу, совершённую газом, и изменение его внутренней энергии.

О т в е т : A = 900 Дж; ∆ U = 4950 Дж.

Задача 6. Идеальный одноатомный газ при изобарическом нагревании и изотермическом расширении получил 12,34 кДж

теплоты. При этом его внутренняя энергия увеличилась	на
4,98 кДж. Найти работу, которую совершил газ	при

изотермическом расширении.

О т в е т : A = 4,04 кДж.

Задача 7. Одноатомный газ расширяется сначала изобарически, а затем изотермически. Работа, которую совершает газ при расширении, равна 800 Дж. В процессе изотермического расширения газ получил 250 Дж теплоты. Найти изменение внутренней энергии газа.

О т в е т : ∆ U = 825 Дж.

Задача 8. Одноатомный газ имеет объем 2 л при давлении 100 кПа. Сначала газ нагревают при постоянном давлении, а затем при постоянном объёме. При этом газ совершает работу 100 Дж, а его температура увеличивается в 2 раза. Какое количество теплоты сообщили газу при нагревании?

О т в е т : Q = 400 Дж.

Задача 9. 10 г аргона нагревают сначала при постоянном объеме, а затем при постоянном давлении так, что температура газа увеличивается на 100 оС. При этом газ совершает работу 62,32 Дж. Молярная масса аргона 40 г/моль. Найти изменение внутренней энергии аргона в процессе изохорического нагревания.

О т в е т : ∆ U = 218 Дж.

Задача 10. Идеальный одноатомный газ сначала расширяется при постоянной температуре, а затем при постоянном давлении и получает при этом 1 кДж теплоты. При изотермическом процессе газ совершил работу 300 Дж. Найти изменение внутренней энергии газа в процессе нагревания.

О т в е т : ∆ U = 420 Дж.

Задача 11. Одноатомный газ имеет объём 6 л при давлении 100 кПа. Сначала газ изотермически сжимают так, что его объём

196

уменьшается в 3 раза. Затем при изобарическом расширении объём газа увеличивается в 2 раза. Найти количество теплоты, которое сообщили газу при изобарическом расширении.

О т в е т : Q = 1,5 кДж.

Задача 12. Одноатомный газ имеет объем 1 л при давлении 100 кПа. Сначала газ при постоянном объеме нагревают так, что его давление увеличивается в 2 раза. Затем в процессе изотермического расширения давление газа становится равным начальному давлению. После этого при изобарическом нагревании объём газа увеличивается в 2 раза. Полная работа, которую совершает газ, равна 338 Дж. Найти общее количество теплоты, которое сообщили газу.

От в е т : Q = 788 Дж.

§6. ТЕРМОДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА

Агрегатные состояния вещества. В зависимости от характера взаимодействия частиц, образующих вещество, вещество может находиться в трех1 основных состояниях, которые называются агрегатными: твердом, жидком и газообразном. Агрегатные состояния вещества различны по своей структуре и характеру теплового движения молекул (атомов). Поэтому вещество в различных агрегатных состояниях обладает качественно

различными физическими свойствами.

Твердое состояние. В твердом состоянии энергия связи частиц больше энергии их тепловых колебаний, поэтому частицы вещества образуют структуру, которая практически не изменяется со временем. Твердые тела сохраняют свой объем и форму, если на них не действуют внешние силы. Твердые тела могут существовать в двух различных состояниях, которые отличаются своим внутренним строением, и, соответственно, свойствами. Это

кристаллическое и аморфное состояние твердых тел.

Кристаллическое состояние характеризуется определенным порядком в расположении частиц твердого тела. Этот порядок распространяется на весь объем тела и называется дальним

1 Четвертым состоянием вещества является плазма, которая представляет собой газ, состоящий из смеси нейтральных и ионизованных молекул и электронов.

197

порядком. Положения равновесия частиц в кристаллах образуют

кристаллическую решетку (Рис. 7.6).

Рис. 7.6. Модель кристаллического	Рис. 7.7. Сравнение структуры
вещества – кристаллическая решетка	а) кристаллов и б) аморфных тел

Аморфное состояние твердого тела характеризуется отсутствием дальнего порядка. Однако в расположении частиц аморфного твердого тела имеется некоторый порядок, который распространяется на соседние частицы. Такой порядок называется ближним. Схема расположения частиц в кристаллическом и

аморфном твердых телах показана на рис. 7.7.

Жидкое состояние. При повышении температуры энергия тепловых колебаний частиц возрастает, и для каждого вещества имеется температура, при которой энергия тепловых колебаний сравнима с энергией связи. Связи между частицами постоянно разрушаются и вновь образуются. Частицы могут совершать различные движения (колебательные, вращательные и т. д.). Частицы смещаются относительно друг друга. Правильная геометрическая структура частиц нарушается – вещество переходит в жидкое состояние. Жидкости сохраняют свой объем,

но не сохраняют форму. Сжимаемость жидкостей, в отличие от газов, очень мала, и для того чтобы заметно сжать жидкость,

необходимо очень высокое давление.

Газообразное состояние. При дальнейшем повышении температуры энергия тепловых колебаний увеличивается и становится больше энергии связи, в результате частицы становятся практически не связанными друг с другом. Вещество переходит в газообразное состояние.

Газы не имеют собственной формы и расширяются до тех пор,

пока не заполнят весь сосуд, принимая его форму. Газы не имеют

198

собственного объема, объем газа определяется объемом сосуда, в котором он находится. Газ оказывает на стенки сосуда постоянное давление, одинаковое во всех направлениях.

В процессах теплообмена термодинамической системы с внешней средой ее внутренняя энергия изменяется. Рассмотрим

примеры таких процессов.

Нагревание и охлаждение. Нагревание и охлаждение – это процессы теплообмена, при которых агрегатное состояние вещества не изменяется.

Нагревание – это процесс теплообмена, в результате которого термодинамическая система получает количество теплоты и не изменяет своего агрегатного состояния.

При нагревании количество теплоты Q > 0, внутренняя энергия термодинамической системы увеличивается ∆ U = Q > 0. При нагревании термодинамической системы часть полученной теплоты идет на увеличение средней кинетической энергии теплового поступательного движения частиц системы. Поэтому при нагревании температура системы увеличивается (∆ T > 0).

Охлаждение – это процесс теплообмена, в результате которого термодинамическая система отдаёт количество теплоты и не изменяет своего агрегатного состояния.

При охлаждении количество теплоты Q < 0, внутренняя энергия термодинамической системы уменьшается ∆ U = Q < 0. При охлаждении температура системы уменьшается (∆ T < 0).

Из определения удельной теплоёмкости вещества (7.18) следует, что для нагревания тела массой m от температуры T1 до температуры T2 (то есть для изменения его внутренней энергии на величину ∆ U) необходимо сообщить ему количество теплоты Q:

Q = ∆ U = cm (T2 − T1) = cm ∆ T.

(7.19)

Закон сохранения внутренней энергии. Уравнение теплового баланса. Изменение внутренней энергии системы равно

сумме работы внешних сил и количества теплоты, полученного системой:

∆ U = A + Q.

199

(Qпол

Из этого уравнения следует, что если систему тел изолировать от внешних воздействий, то ее внутренняя энергия будет оставаться постоянной, несмотря ни на какие процессы, происходящие внутри системы. Действительно, в этом случае A = 0 и Q = 0, поэтому ∆U = 0. Но если изменение внутренней энергии равно нулю, значит внутренняя энергия является величиной постоянной.

При любых процессах, происходящих в изолированной термодинамической системе, ее внутренняя энергия остается постоянной.

В этом заключается закон сохранения внутренней энергии.

Сохранение внутренней энергии у изолированной системы означает вечность теплового движения частиц, из которых состоит эта система.

Применим закон сохранения внутренней энергии к изолированной системе, состоящей из двух тел с разной температурой. При контакте этих тел между ними начнет происходить теплообмен. В процессе теплообмена «горячее» тело будет отдавать энергию (Qотд ), а «холодное» тело – ее получать

). Это будет происходить до тех пор, пока температуры тел не станут одинаковыми. На сколько внутренняя энергия «горячего» тела уменьшится (Qотд =∆Uгор, ∆Uгор <0), точно на столько же внутренняя энергия «холодного тела» возрастет (Qпол =∆Uхол, ∆Uхол >0). Так как суммарная внутренняя энергия этих тел должна сохраняться, то ∆Uхол =|∆Uгор|.

Количество теплоты, отданное при теплообмене более горячим телом, равно по модулю количеству теплоты, полученному холодным телом:

Qпол=|Qотд |

(7.20)

Это уравнение называют уравнением теплового баланса.

Справедливость уравнения теплового баланса можно проверить на опыте. Смешаем в калориметре1 воду массой m1 =0,8 кг, которая имеет температуру t1 =25° С, с водой массой m2 = 0,2 кг с

1 Калориметр состоит из двух сосудов: внешнего полиэтиленового и внутреннего алюминиевого. Калориметр предназначен для проведения лабораторных работ при изучении тепловых явлений.

200

температурой t2 = 100° С. Измерив температуру полученной смеси через некоторое время, мы обнаружим, что она стала равной t = 40° С. Вычислим количество теплоты, отданное горячей водой, и сравним его с количеством теплоты, полученным холодной водой. При остывании горячей воды от 100 до 40° С она отдает количество теплоты

Qотд = cm2(t – t2)

Qотд = 4200 · 0,2 · (40 – 100) Дж = -50 400 Дж.

Холодная вода нагревается от 25 до 40 ° С, получает количество теплоты

Qпол = cm1(t – t1)

Qпол = 4200 · 0,8 · (40 – 25) Дж = 50 400 Дж.

Мы видим, что, действительно, количество теплоты, отданное при теплообмене горячей водой, равно по модулю количеству теплоты, полученному при этом холодной водой.

Плавление и отвердевание. Плавление и отвердевание – это процессы, при которых происходит изменение агрегатного состояния вещества.

Плавление – это процесс перехода вещества из твердого состояния в жидкое.

Отвердевание – это процесс перехода вещества из жидкого состояния в твердое.

При плавлении система получает тепло, при отвердевании система отдаёт тепло.

Процессы плавления и отвердевания аморфных и кристаллических тел отличаются друг от друга. Аморфные вещества плавятся в интервале температур и не имеют определенной температуры плавления.

Кристаллическое вещество имеет определенную температуру плавления, которая зависит от внешнего давления.

Температура плавления – это температура, при которой плавится данное кристаллическое вещество.

201

Температура тела, которое плавится, не изменяется в течение всего процесса плавления до тех пор, пока все кристаллическое вещество не перейдет в жидкое состояние.

Процесс отвердевания кристаллического вещества называется кристаллизацией.

Рассмотрим процессы плавления и кристаллизации вещества более подробно.

Рис. 7.8. Графики процессов плавления а) и кристаллизации б).

На рисунке 7.8а и 7.8б схематически показаны кривые нагревания и охлаждения вещества в координатах температура – количество теплоты.

Отрезок AB (рис. 7.8а) соответствует нагреванию твердого тела до температуры плавления tпл. При нагревании кристаллического вещества его внутренняя энергия возрастает в результате увеличения средней кинетической энергии теплового движения его частиц, а также в результате увеличения потенциальной энергии их взаимодействия. При этом увеличивается амплитуда колебаний частиц, то есть увеличивается расстояние, на которое частицы отклоняются от положений равновесия. При температуре плавления (рис. 7.8а, отрезок ВС) кинетическая энергия теплового движения становится настолько большой, что силы взаимодействия частиц не могут удержать частицы около положений равновесия. Правильная пространственная структура кристалла разрушается, и вещество переходит в жидкое состояние. При температуре плавления тело получает тепло, но кинетическая энергия теплового движения не изменяется. Все тепло, которое получает тело, идет на увеличение его внутренней потенциальной энергии, то есть на разрушение кристаллической решетки.

202

Температура системы остается постоянной до окончания процесса плавления (рис. 7.8а, участок ВС). При дальнейшем нагревании жидкости (рис. 7.8а, участок СD) её температура опять повышается и, следовательно, увеличивается кинетическая энергия теплового движения частиц. Таким образом, можно сделать следующие выводы:

–изменение скорости движения частиц вещества (количественное изменение) приводит к переходу вещества из твёрдого состояния в жидкое (качественное изменение);

–в процессе плавления кристаллического вещества его температура не изменяется до тех пор, пока все вещество не перейдет в жидкое состояние.

Кристаллизация жидкости начинается при ее охлаждении до температуры кристаллизации tкр (рис. 7.8б, отрезок DС). Средняя кинетическая энергия молекул жидкости уменьшается. Кристаллизация сопровождается выделением теплоты. Расположение атомов относительно друг друга упорядочивается, образуется правильная кристаллическая структура (рис. 7.8б, отрезок СВ). В процессе кристаллизации температура вещества не изменяется, эта температура называется температурой кристаллизации (tкр).

Температура кристаллизации – это температура, при которой кристаллизуется данное вещество.

Когда кристаллизация закончится, прекращается выделение теплоты, твердое тело начинает охлаждаться (рис. 7.8б, отрезок ВА).

Из опыта известно, что температуры плавления и кристаллизации данного вещества одинаковы (tпл = tкр).

Для плавления равных масс различных кристаллических веществ необходимо разное количество теплоты. Это свойство веществ количественно характеризуется физической величиной,

которая называется удельной теплотой плавления вещества (λ).

Удельная теплота плавления – это количество теплоты, необходимое для плавления единицы массы кристаллического вещества при температуре плавления.

λ =	Qпл	,	(7.21)

m

203