- •Теорема. Каждый вектор X можно представить единственным образом в виде лин.Комбинации векторов базиса
- •Теорема Множество l векторов пространства V является лин. Подпространством этого пространства выполняются
- •2)Пусть один из коэффициентов перед отличен от 0. Пусть для определенности . Умножая последнее из векторов на числа и вычитая из первых t векторов получим
- •Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.
- •2)Пусть:
- •2) Если X – собст. Вектор оператора то вектор , где 0, тоже является собст. Вект. Для собств. Зн. (]
- •Теорема. В действительном n-мерном пр-ве V всякий лин.Оператор f имеет по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное пространство
№1
Опр.Множество w называется линейным пространством, а его элем. -векторами, если:
*задан закон (+) по кот. любым двум элементам х,у из w сопоставляется элемент называем. их суммой [х + у]
*задан закон (* на число a), по кот.элементу х из w и а сопоставляется элемент из w, называемый произведением х на а [ ах];
* выполнены
следующие требования (или аксиомы):
След c1. нулевой вектор {ctv 01 и 02. по a3: 02 + 01 = 02 и 01 + 02 = 01. по a1 01 + 02 = 02 + 01 => 01 = 02.}
c2. .{ctv, a4}
c3. 0 вект.{a7}
c4. a(число)*0=0.{a6,c3}
c5. х (*) -1 =0 вект, противоположному х, т.е. (-1)х = -х. {a5,a6}
c6. В w определено действие вычитание: вектор х называется разностью векторов b и а, если х + а = b, и обозначается x = b - a.
№2
Число n называется размерностью лин. пр-а L, если в L существует система из n лин. незав. векторов, а любая система из n+1 вектора — лин. зависима. dimL = n. Пространство L называется n- мерным.
Упорядоченная совокупность n лин. незав. векторов n мерного независ. пространства – базис
Теорема. Каждый вектор X можно представить единственным образом в виде лин.Комбинации векторов базиса
Пусть (1) — базис n-мерного лин. пр-ва V, т.е. совокупность линейно независимых векторов. Совокупность векторов будет лин. зависимой, т.к. их n + 1.
Т.е. существуют числа , не все равные нулю одновременно, что причѐм (иначе (1) линейно зависимы).
Тогда где разложение вектора x по базису(1) .
Это выражение единственно, т.к. если существует другое выражение (**)
вычитая из (*) равенство (**),
получим
Т.к. линейно независимы, то. Чтд
№3
Теорема. Если- лин. независимые векторы пространства V и каждый вектор x из V может быть представлен через, то эти векторы образуют базис V
Док-во: (1)-лин.независима =>остается док-ть, что для лин.зависимы. По усл. Каждый вектор а выражается через (1): , рассмотрим, rang≤n => среди столбцов не больше nлинейно независимы, но m > n=> m столбцов линейно зависимы=>s=1, n
Т.е.векторы лин.зависимы
Т.о пространство V n-мерно и (1) его базис
№4Опр. Подмножество L лин. пр-ва V называется лин. подпр. этого пространства если относительно заданных в V операциях (+) и (*а) подпространство L является линейным пространством
Теорема Множество l векторов пространства V является лин. Подпространством этого пространства выполняются
(дост) пусть (1) и (2) выполнены, для того что L подпрост.V остается доказать что выполнены все аксиомы лин. пр-ва.
(-x): -x+x=0 д. а(х + у)= ах + ау;
(а-б) и (д-з) вытекает из справедливости для V докажем (в)
(необходимость) Пусть L является лин. подпространством этого пространства, тогда (1) и (2) выполняются в силу определения лин. пр-ва
Опр.Совокупность всевозможных лин. комбинаций некоторых элементов (xj) лин. пр-ва называется линейной оболочкой
Теорема произвольное множество всех лин. комбинаций векторов V с действ. коэф является лин. подпр V (линейная оболочка данной системы векторов лин. пр. является лин.подпр этого пр.)
№5
Опр.Непустое подмножество L векторов лин. пр-ва V называется лин. подпространством, если:
а)сумма любых векторов из L принадлежит L
б)произведение каждого вектора из L на любое число принадлежит L
Сумма двух подпространств L является снова подпространством L
1) Пусть y1+y2 (L1+L2) <=> y1=x1+x2, y2=x’1+x’2, где (x1,x’1)L1, (x2,x’2) L2. y1+y2=(x1+x2)+(x’1+x’2)=(x1+x’1)+(x2+x’2), где (x1+x’1) L1, (x2+x’2)L2 => первое условие линейного подпространства выполняется.
ay1=ax1+ax2, где (aх1)L1, (aх2)L2=> т.к. (y1+y2) (L1+L2), (ly1) (L1+L2) => условия выполняются => L1+L2 – линейное подпространство.
Пересечение двух подпр. L1 и L2 лин. пр-ва L также является подпр. этого пространства.
Рассмотрим два произвольных вектора x,y, принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа a,b:.
По опр. пересечения множеств:
=> по определению подпространства линейного пространства:,.
Т. К. вектор ax + by принадлежит и множеству L1, и множеству L2, то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:
.
№6
Опр.Говорят, что V является прямой суммой своих подпр. если и б) это разложение единственно
б') Покажем, что б) равносильно б’)
При б) верно б’)
Всякие (M, N) из пересекаются лишь по нулевому вектору
Пусть ∃ z ∈
Справед. обрат. L=
(Ctv)
противоречие
Теорема Чтобы (*) необходимо и достаточно чтобы объединения базисов ( составляло базис пространства
(Необ) пусть (*) и векторы - базисы подмножеств. и имеет место разложение по ; x раскладывается по базису L, чтобы утверждать, что( составляют базис, нужно доказать их линейную независимость все содержат 0 0=0+…+0. В силу единственности разложения 0 по : => из-за лин. независимости базиса => ( – базис
(Дост.) Пусть ( образует базис L единств. разложение (**) по крайней мере, одно разложение существует. В силу единственности (*) => единственность (**)
Замечание. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей подпространства
№7
Любая невырожденная квадратичная матрица может служить матрицей перехода от одного базиса к другому
Пусть в n мерном линейной пространстве V имеется два базиса и
(1) =A, где здесь элементы * и ** не числа но мы распространим на такие строки определенные операции над числовой матрицей.
т.к. иначе векторы ** были бы лин.зависимы
Обратно. Если то столбцы А линейно независимы =>образуют базис
№8
Координаты и связанны соотношением , где элементы матрицы перехода
Пусть известно разложение элементов "нового" базиса по «старому»
Тогда справедливы равенства
=
= или
=0
Но если линейная комбинация линейно независимых элементов равна 0 то =>
№9
Основная теорема о линейной зависимости
Если (*) линейно выражается через (**) то n<=m
Докажем индукцией по m
m=1: система (*) содержит 0 и лин. зав- невозможно
пусть верно для m=k-1
докажем для m=k
может оказаться, что 1) , т.е. в-ры (1) являются лин.комб. лин. в-ров (2)Система (1) лин.незав., т.к. является частью лин.незав. системы (*). Т.к. в системе (2) только k-1, векторов, то по предположению индукции получаем k+1<k-1- противоречие