sterg_sistemy

2 РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ

2.1 Задание

Заданы схема статически неопределимой рамы (рис. 6, 7), размеры и действующие нагрузки (табл. 2).

Требуется:

раскрыть статическую неопределимость; построить эпюры нормальных сил, поперечных сил и изгибающих

моментов; подобрать размеры поперечного сечения, составленного из двух

швеллеров.

В пояснительной записке следует представить схему рамы, изображенную в масштабе, основную и эквивалентную системы, эпюры изгибающих моментов от заданных и единичных нагрузок с соответствующими схемами нагружения, эпюры нормальных сил, поперечных сил и изгибающих моментов и все необходимые расчеты.

2.2Порядок выполнения работы

1По данным таблицы 2, , изображают в масштабе схему рамы (рис. 3 или рис. 4), соответствующей заданному шифру.

2Определяют степень статической неопределимости рамы, отбрасывают «лишние» связи и изображают основную (ОС) и эквивалентную (ЭС) системы. Записывают канонические уравнения метода сил.

3Изображают схемы нагружения основной системы заданными нагрузками и единичными усилиями по направлению отброшенных связей. Строят соответствующие эпюры изгибающих моментов.

4Вычисляют коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. На прямолинейных участках интегралы Мора вычисляют по способу Верещагина, на криволинейных - путем непосредственного интегрирования.

5Решают канонические уравнения метода сил и определяют неизвестные усилия.

6Определяют реакции опор в эквивалентной системе и проводят генеральную проверку решения, заключающуюся в определении перемещений в новой основной системе по направлению новых отброшенных связей. Решение верно, если эти перемещения равны нулю. Допускаемая погрешность решения - не более 3%.

7Строят эпюры нормальных сил, поперечных сил и изгибающих моментов для заданной рамы.

8Подбирают поперечное сечение рамы, составленное из двух швеллеров, из условия прочности при изгибе. В расчетах учитывают, что материал рамы - Ст.3 с [σ] = 160 МПа.

11

1 q

l2

l	l3
1

F m

3	F	m
		q
	1	l2
	l	3
		l

1 q

l2

l	l3
1

m

F

4 l1 l2

mF

3
l	q

5

7

l1

9

6	l1	l2
l1 F		q
q		F
2
	3
l	l
l3

mm

	q	8		F
m	/2	m	l2/2	l2	/2	q
	3
l2	Fl	1				3
		l
	/2					l
	3
	l

l1	l2		10
		q	m
	m		l		q
			1		F
	F
3			l
	/2			2	3
l					l
	3
	l

Рисунок 6 – Статически неопределимые рамы с прямолинейными участками

12

1

	m
	R
F	/2
	1
	l
q	/2
	1
	l

3 mF

R

q		l
		1

5

q

F R

m l2

l1

2

m

R F

		/2
		1
				l
q		/2
				l
		1

4 mF

R

l1

6

	R	m
q	F	l2

l1

7

8

q

9

	R	F	F		R m
1		2	2	q
l	m	l	l
			l1
F	m		10
		q		R	F
	R
			m	1	q
		l1		l
					l2

Рисунок 7 – Статически неопределимые рамы с криволинейными участками

13

Таблица 2 – Параметры статически неопределимых рам

	Номер	Номер	l1,·м	l2,·м	l3,·м	R, м	q,	F ,	m1,
	строки	схемы					кН/м	кН	кН·м
	1	1	1	2	3	2	15	20	0
	2	2	2	4	1	3	20	0	-40
	3	3	3	2	4	4	25	-40	0
	4	4	1	3	2	2	30	0	20
	5	5	2	4	3	3	35	60	0
	6	6	3	3	4	4	40	0	40
	7	7	4	2	3	2	15	-30	0
	8	8	1	3	3	3	20	0	-20
	9	9	2	4	4	4	25	50	0
	0	10	3	2	2	2	30	0	30
		а	б	в	г	д		е

14

9 Проверяют прочность подобранного сечения с учетом действия нормальной силы.

2.3 Пример выполнения работы

Для рамы, изображенной на рис. 8,а раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры нормальных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, а также подобрать поперечное сечение, составленное из двух швеллеров, при следующих данных: т = 40 кН·м, q = 60 кН/м, [σ] = 160 МПа.

а) A	HA
VA	R
	B
	m	l/2
	q
	C	l/2

MDHD

VD

б)			в) A		X1
			X2
					B
				m			q
ОС			ЭС		C

Рисунок 8 – Расчётная схема статически неопределимой рамы

Рама дважды статически принимаем реакции опоры А эквивалентную системы (рис. метода сил:

11 X1 12 X 2 1F 0;

21 X1 22 X 2 2F 0.

неопределима. и изображаем 8,в). Запишем

За лишние неизвестные основную (рис. 8,б) и канонические уравнения

15

а) A			R = 2 м
φ
	B
				м
40 кН·м
			1
	C
				1 м
60 кН/м

D

МF (φ) = 0

г)

40

30

МF , кН·м

б) φ 1

M 1(φ) = 2·(1-cos φ)

2

4

M 1 , м

в)

1 φ

M 2 (φ) = 2·sin φ

2

2

M 2 , м

Рисунок 9 – Эпюры изгибающих моментов

Изобразим схемы нагружения основной системы заданными нагрузками (рис. 9,а) и раздельно - единичными нагрузками, соответствующими отброшенным связям (рис. 9,б,в). Строим эпюры изгибающих моментов МF, M 1 и M 2 (рис. 9,г). На прямолинейных участках эпюры расслаиваем. На криволинейных участках записываем аналитические выражения для изгибающих моментов.

Вычислим коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. На участке АВ интеграл вычисляем непосредственно, на участке ВD - по способу Верещагина:

																																													2								1
	E J 11				M						1				M			1			dz						M				1					M				1			dz 22							(1 cos )2 2 d 2 2 (2				2)
			AB																							BD																	0							2
							1			2 2 (2														2	2) 8 (														3					2) 12							20	21,52 м3;
			2																		3														4															3
																																											2
	E J 22							M					2				M			2	dz								M				2					M				2	dz 22							sin 2 2 d 2 2 2
			AB																							BD																	0
		8							8 14,28 м3;
			4
																																											2
	E J 12					M						2				M			1		dz							M				2					M				1		dz 2 (1 cos ) 2 sin 2 d
			AB																							BD																	0
			2 2 (2																			1	2) 8							1				12 16,00 м3;
																					2
																										2

16

	E J 1F MF						1 dz MF						1 dz		1		30 1 (3		3	1)
				M							M
																			4
	AB								BD	3
	40	2	(2					1	2) 37,5 240 277,5 кН м3;
			2
	E J 2F MF						2 dz MF							2 dz		1		30 1 2
					M							M
	AB								BD	3
	40	2	2 37,5 240 180,0 кН м3.

Подставим найденные значения коэффициентов в канонические уравнения

21,52X1 16X 2 277,5 0;

16 X1 14,28X 2 180 0.

Совместное решение уравнений дает X 1 = 21,10 кН, X 2 = -11,04 кН. Подстановкой значений X1 и Х2 в канонические уравнения убеждаемся, что уравнения решены верно.

Определим с помощью уравнений статики реакции опор в эквивалентной системе от заданных нагрузок и найденных значений Х 1, Х2

(рис. 10,а).

а) A 21,1 кН	б)
11,04 кН φ 2
B	z1
40 кН·м
q	ОС
C
60 кН/м	z2
7,68кН·м	38,9 кН
11,04 кН

в) A 21,1 кН

11,04 кН

40 кН·мB

ЭС C

60 кН/м 7,68кН·м38,9 кН

11,04 кН

Рисунок 10 – Исходная, новая основная и эквивалентная системы

Проведем генеральную проверку решения. Для этого выбираем новую основную систему (рис. 10,б), отбрасывая в опоре D две лишние связи, препятствующие повороту сечения и линейному перемещению по горизонтали. Изобразим новую эквивалентную систему (рис. 10,в).

Вычислим в новой эквивалентной системе угловое перемещение сечения D отдельно от заданных сил и отдельно от новых «неизвестных». Для этого изобразим схемы нагружения новой основной системы заданными силами (рис. 11,а), отброшенными силами реакции (рис. 11,б) и единичной парой сил, приложенной в сечении D (рис. 11,в), и построим эпюры изгибающих моментов М A, М X и M 3 (рис. 11,г), вычислив предварительно реакции опор в каждой из схем.

17

Вычислим угловое перемещение сечения D от заданных сил:

														2						1
	E J A		MA			M	3 dz	MA			M	3	dz [85 2 sin 60 2 (1 cos )]								2 sin 2 d
			AB					BD					0				2
				1	30 1 1 30 1 1				1	60 1 1 2 (170							120	1	) 10 30 30 217,04 кН м3
																4
			3					2									2

Вычислим угловое перемещение сечения D от сил отброшенных реакций:

85 кН A	R = 2 м
60 кН
φ

	B
	40 кН·м	м
		1
	а)
		C
	60 кН/м	1 м
	D	85 кН

МА (φ)=-85·2·sin φ+

+60·2(1–cosφ)

г)

50

90

30

30

МА , кН·м

38,9 кН73,96 кН

φ

б)

38,9 кН

7,68 кН/м 73,96 кН

МR (φ)= 73,96·2·sinφ-

-38,9·2·(1–cosφ)

70,12

77,8

7,68

МR , кН·м

1/2

φ

в)

1

M 3 (φ)=-1/2·sin φ

1

1

M 3

Рисунок 11 – Нагружения и эпюры для генеральной проверки

E J R MR M 3 dz MR M 3 dz

	AB			BD
	2				1
	[38,9 2 (1 cos ) 73.96 2 sin ]					2 sin 2 d
					2
	0

1 2 (7,68 1 77,8) 2 (77,8 1 147,92 ) 64,24 218,8 кН

2

2

4

елим относительную погрешность решения:

Опред

м3

	E J A	E J R	100%		217,04 217,8		100% 0,81%	< 5%.
	E J A				217,04

Аналогично определяется горизонтальное перемещение сечения D и вычисляется вторая погрешность через горизонтальное перемещение сечения D.

Погрешность решения менее 5%, следовательно, статическая неопределимость раскрыта верно.

18

Строим эпюры N, Q и М для рамы (рис. 12) в эквивалентной системе

(рис. 15,а).

Нормальная сила на участке BD

N ( ) 21,1 cos 11,04 sin ,
при 0	N 21,1кН, при					N 11,04 кН ,	при 27,62	N 23,81кН.
	2
На участках ВС и СD N 11,04 кН
Поперечная сила на участке АВ
Q( ) 11,04 cos 21,1 sin ,
при 0	Q 11,04 кН , при					N 21,1кН.
	2
Определим угол φ0, при котором Q = 0:
0 11,04 cos 0 21,1 sin 0 ,						откуда φ0 = 27,62°
На участке ВC. Q 21,1кН.
На участке СD Q 21,1 60 z2, при z 2 = 0							Q = 21,1 кН, при z 2 = 1 м

Q = -38,9 KH.

Определим расстояние z0, при котором Q = 0:

21,1 60 z0 0, откуда z0 = 0,352 м.

Изгибающий момент на участке АВ

M ( ) 21,1 2 (1 cos ) 11,04 2 sin ,

	при 0 M 0, при								M 20,12						кН·м, при 27,62 M 5,43 кН·м.
			2
	На участке ВС
	M 21,1 (2 z1) 11,04 2 40,
	при z1 = 0	М = -19,88 кН·м, при z1 = 1 м М = 1,22 кН·м
	На участке CD										60 z22
	M 21,1 (3 z2) 11,04 2 40																	, при z2 = 0 M = 1,22 кН·м,
											2
	при z2 = 1 м M= -7,68 кН·м, при z2 = 0,352 м Mэкстр = 4,93 кН·м
	а)		27,68º						б)		27,68º										в) 27,68º
	21,1			-					11,04												5,43
																					19,88
																																20,12
																		+
	N	,		кН					Q , кН											21,1	М , кН·м										4,93
																					7,68
		11,04							38,9						-

Рисунок 12 – Эпюры внутренних сил в эквивалентной системе

Из условия прочности только при изгибе подберем поперечное сечение составленное из двух швеллеров:

		J ][						2 J ]
W ][				x						x	2 W ]
		у						у
x											x
				наиб						наиб

19

]		M	наиб		20,12 103		3
W x						62,88см		.
		2			2 160 106

Полученному значению удовлетворяет швеллер № 14 с

характеристиками: W ] = 70,2 см3, A] = 15,6 см2.

x

Проверим подобранное сечение по полному условию прочности:

					M	наиб			N				20,12 10	3		11,04 10	3	146,8 МПа < ,
		наиб			2 W ]x			2 A ]					2 70,2 10 6			2 125,69 10 4

условие прочности выполняется.

2.4 Контрольные вопросы

1 Какие рамы называются статически неопределимыми?

2 Как определяют степень статической неопределимости рамы?

3Какую систему называют основной?

4Каким требованиям должна удовлетворять основная система?

5Какую систему называют эквивалентной?

6Что выражают собой канонические уравнения метода сил?

7Как определяют коэффициенты канонических уравнений?

8В чем заключается генеральная проверка правильности раскрытия статической неопределимости?

9Из какого условия прочности подбирают размеры поперечного сечения рамы?

10Как записывается полное условие прочности для плоской рамы?

20