Лекции ОФТТ

Из всех примесей, содержащихся в полупроводниковом кристалле, наибольшее влияние на рассеяние носителей заряда оказывают ионизированные примеси. Это связано с тем, что кулоновское поле, создаваемое такой примесью, действует на большом расстоянии и вызывает отклонение траектории свободных носителей заряда, движущихся даже

сравнительно далеко от атома примеси. Величина λ при рассеянии на примесных атомах должна быть обратно пропорциональна концентрации этих атомов (N) и не зависеть от температуры, т. е.

λ

~ 1/ N = const.

(2.9)

Решение задачи об определении эффективности столкновений свободных носителей заряда с ионизированными атомами примесей можно представить в виде равенства:

							ε		2
					4
	υ ~ ν									mn ,	(2.10)
							Z
								е

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника, Ze – заряд ионизированной примеси.

Из (2.10) следует, что чем выше скорость движения носителей заряда, больше их эффективная масса и сильнее ослабляется поле в кристалле (чем выше ε), тем слабее носители заряда отклоняются полем заряженной примеси. Поэтому требуется большее число столкновений для прекращения движения в первоначальном направлении. С увеличением же заряда рассеивающего иона (Ze) число столкновений υ должно уменьшаться. В не-

вырожденном полупроводнике справедливо ν ~ T . Это дает право записать зависимость

		~ Т 2 .	(2.11)
	υ

Подставляя (2.9) и (2.11) в (2.7), получим

n ~ Т3/ 2 .

Следовательно, в невырожденных полупроводниках, чем выше температура, тем быстрее движутся носители заряда и тем меньше они изменяют траекторию своего движения при взаимодействии с ионами примеси.

На рис. 2.1 показаны кривые температурной зависимости подвижности

84

(1 T ) при различных значениях концентрации легирующей примеси в
невырожденном полупроводнике.
	Рассеяние	Рассеяние
		на тепловых
	на ионах
		колебаниях
µ	примеси
		решетки	µ,
	~ Т3/ 2 .	~ Т −3/ 2 .	м2/(В с)
	Суммарная		0,12
					µn
	кривая µ (1/Т)
			0,08
		NД	0,04
		N′Д			µр
	1/Т′max 1/Tmax	1/T	01018	1020	1022	1024	N, м-3

Рис. 2.1. Зависимость подвижности	Рис. 2.2. Зависимость подвижности
носителей заряда от температуры в	электронов µп и дырок µр в кремнии от
невырожденном полупроводнике при	концентрации легирующей примеси N
различных концентрациях примеси N′Д >	при
	К

Более строгий анализ показывает, что подвижность носителей заряда, определяемая рассеянием их на фононах, существенно зависит от их эффективной массы тэф

1

~ mэф5 / 2Т3 / 2 .

Более того для электронов и дырок она различна и в собственных полупроводниках mп < mp, поэтому µп > µр.

Зависимость подвижности от концентрации легирующей примеси N сложная и в целом аналитически не описывается. Экспериментальные зависимости µп(N) и µр(N) для кремния приведены на рис. 2.2. Анализ этих зависимостей показывает, что центрами рассеяния являются атомы примеси, увеличение концентрации которых приводит к уменьшению средней длины свободного пробега носителей (2.9), а значит, снижению их подвижности..

2.4. Собственная электропроводность полупроводников.

85

В собственном полупроводнике отсутствуют чужеродные атомы, поэтому ионизации подвергаются матричные атомы. При не слишком низких температурах такие полупроводники обладают собственной электрической проводимостью σi. Это означает, что концентрации свободных электронов и дырок в собственных полупроводниках равны п = p = пi = pi и тогда (2.4) можно переписать в виде

σ i = eni (µ n + µ p )= epi (µ n + µ p ). .

С учетом выражений (1.13), (1.14) и (1.17),

определяющих пi,

собственную электрическую проводимость можно описать равенством

kT 3 / 2

2π m m

E

E

n

p

(

)

g

g

(2.12)

2

σ i = 2e

h

µn + µ p

exp −

= σ 0 exp −

.

2kT

2kT

Из (2.12) следует, что при Т → ∞ и σi → ∞. На рис. 2.3 зависимость σi

(1/T) представлена в логарифмических координатах, tgα =

Eg

. При заданной

2kT

температуре концентрация носителей заряда и электрическая проводимость собственного полупроводника определяются шириной его запрещенной зоны

Eg.

Примесная электропроводность полупроводников.

В диапазоне рабочих температур полупроводниковых приборов в выражении (2.4) можно пренебречь составляющими, связанными с неосновными носителями заряда. Тогда для полупроводников п- и р-типов проводимостей получим

σ n	= e(nn µn + pn µ p )≈ enn µn ;	(2.13)
σ p	= e(p p µ p + np µn )≈ ep p µ p .	(2.14)

Если воспользоваться равенствами (1.25) и (1.26), то эти формулы можно переписать в виде, удобном для практических расчетов:

σ n	= eN Д µn ;	(2.15)
σ p	= eN Аµ p .	(2.16)
		86

ln σi

σ /σ0

4

i

σ /σ0

σ0

104

ln σ0

N3

2

б′

а′

102

N2

1

2

5

8

3

/Т

б

а

3

10

/Т

α

N1

-2

α

10-2

0

1/Т

Т

Рис.

2.3. Зависимость собственной

Рис. 2.4. Зависимость относительной

электрической проводимости

удельной электрической проводимости

полупроводника от температуры

примесного кремния от температуры

(N3 > N2 > N1;

σ0 – удельная электрическая проводимость при T = 293 К)

На рис. 2.4 показаны кривые температурной зависимости σ/σ0 для кремния, содержащего различные количества примеси. Точка а соответствует температуре истощения примеси, а точка б – температуре ионизации, при которой примесный полупроводник превращается в собственный.

Удельное электрическое сопротивление ρ0 является величиной,

обратной удельной электрической проводимости.

2.2. Рекомбинация носителей заряда в полупроводниках

Неравновесные носители заряда и их основные характеристики.

Воздействие внешних источников энергии на кристалл может привести к появлению дополнительного количества свободных носителей заряда. Появление избыточной по отношению к равновесной, концентрации свободных носителей заряда нарушает равновесие в системе, поэтому их называют неравновесными носителями заряда. При неизменной

87

интенсивности внешнего фактора в полупроводнике устанавливается равновесное состояние, при котором скорости генерации и рекомбинации свободных носителей заряда равны. Из этого следует и справедливость равенств: n = n – n0 и р = р – р0 , где n и р – постоянные концентрации электронов и дырок при наличии внешнего фактора, а n0 и р0 – равновесные концентрации свободных электронов и дырок в полупроводнике в отсутствии воздействия внешних сил. Если в полупроводнике отсутствуют объемные заряды, то выполнение этих равенств означает и выполнение условия электрической нейтральности в каждой точке кристалла, т.е. означает выполнение равенства n = р

Различают низкий и высокий уровни возбуждения полупроводника. В

первом случае концентрация избыточных носителей заряда много меньше концентрации основных носителей заряда, но может значительно превышать концентрацию неосновных носителей. При высоком уровне возбуждения концентрация избыточных носителей заряда значительно выше равновесных.

После прекращения воздействия внешнего фактора, вызывающего генерацию избыточных носителей заряда, их концентрация из-за рекомбинации быстро уменьшаются и достигают равновесных значений. Скорость, с которой протекает рекомбинация, определяется временем жизни неравновесных носителей заряда τ.

Для определения закономерностей изменения τ выделим в полупроводнике плоскопараллельный слой толщиной dx (рис. 2.5), перпендикулярный направлению движения электрона. Дырка являясь положительным ионом имеет сферическую симметрию распределения электрического поля, поэтому ее можно моделировать центром захвата электрона радиусом r. При взаимодействии свободного электрона с таким центром происходит рекомбинация с образованием нейтрального атома. В этом случае сечение захвата электрона дыркой можно описать равенством An = π r2, согласно которому электрон, попадая в один из таких дисков, будет

обязательно	захвачен		дыркой.
Обозначим площадь выделенного слоя
S, тогда	объем	этого слоя	можно
выразить произведением Sdx, а число
дырок в нем pSdx, где р – концентрация
дырок. Суммарная		площадь	захвата		vn
электрона	дырками при прохождении

им слоя толщиной dx Sзахв = АnpSdx.

Вероятность того, что электрон при прохождении испытывает

столкновение с дыркой,

dx

88

Рис. 2.5. Определение времени жизни свободных электронов

Wп = Sзахв /S = An pdx, (2.17)

Учитывая, что dx = vndt и разделив левую и правую части (2.17) на dt, найдем вероятность столкновения электрона с дыркой в единицу времени:

Рn = Anpvn.

Поскольку такое столкновение заканчивается рекомбинацией, то Рп представляет собой вероятность рекомбинации электрона в единицу времени.

Величина τn, обратная Рп,				представляет собой среднее время		жизни
электрона в свободном состоянии:
τ n =	1	=		1	.	(2.18)
	Pn			Anν n p

Аналогичное выражение можно записать для среднего времени жизни дырок:

τ p	=	1	=	1	,	(2.19)
				Apν p p
		Pp

где Ар – сечение захвата дырки электроном; vp – скорость движения дырки относительно электронов; п – концентрация электронов.

Вполупроводниках захватывать электроны могут не только дырки, но

иразличные локальные центры, создающие в запрещенной зоне дискретные энергетические уровни. Произведение сечения захвата на скорость движения носителя заряда, усредненное по всем носителям в зоне, называется

коэффициентом рекомбинации γ , т. е. для электронов и дырок можно записать

				(2.20)
γ n	= Anvn ;
				(2.21)
γ p	= Ap v p .

Подставив (2.20) и (2.21) соответственно в (2.18) и (2.19) получим

	τ		=	1	;
		n		γ n p

τ		=	1	.
	p
			γ p p

89

Скорость рекомбинации измеряется числом носителей заряда, ежесекундно рекомбинирующих в единице объема полупроводника. Для неравновесных носителей заряда она равна произведению вероятности рекомбинации носителей заряда в единицу времени на их избыточную концентрацию, т.е. можно записать выражения для скоростей рекомбинации электронов и дырок

R = −	∂n	= P n =	n	= γ		p n;
					n
n	∂t	n	τ n

R		= −	∂p	= P p =	p	= γ		n p .
	p						p
			∂t	p	τ p

С точки зрения механизма движения свободных носителей заряда различают три типа рекомбинаций: межзонную, через локальные уровни и

поверхностную.

При межзонной рекомбинации происходит переход электрона из зоны проводимости непосредственно на свободный уровень валентной зоны. При этом освобождается энергия, равная ширине запрещенной зоны, которая выделяется в виде кванта энергии электромагнитного излучения (фотона) или превращаться в квант энергии тепловых колебаний решетки (фононов). В

соответствии с этим различают излучательную и фононную межзонную рекомбинацию. Вероятность межзонной рекомбинации очень мала, более вероятны переходы носителей заряда через локальные уровни, расположенные в запрещенной зоне.

Рекомбинация через локальные уровни.

На рис. 2.6, а,в показаны энергетические диаграммы полупроводника, содержащего глубокий локальный уровень Eл и мелкие локальные уровни E'л и E"л. Захват электрона глубоким уровнем отображается переходом 1 (рис. 2.7, а). После захвата электрон может быть переброшен обратно в зону проводимости (переход 3), следовательно, этот процесс, формируемый обратным тепловым перебросом электрона, в рекомбинации не участвует. Однако если электрон будет переброшен в валентную зону (переход 2), то попадая в сечение захвата дырки он рекомбинирует с нею, образуя нейтральный атом.

Для мелких локальных уровней вероятность обратного теплового переброса электрона очень велика. Поэтому в этом случае процесс сводится к энергичному обмену электронами локального уровня E'л и зоны проводимости, локального уровня E"л и валентной зоны (рис. 2.7, б). Такие локальные уровни принято называть центрами прилипания.

90

ε			ε
εс			εс
1	3		ε΄n
εn		Электрон
εi			εi
		Дырка	ε"n
εв
			εв
	а)		б)

Рис. 2.6. Энергетическая диаграмма полупроводника, содержащего центры рекомбинации (а) и центры прилипания {б)

Энергетические уровни располагающиеся в запрещенной зоне вблизи ее середины Ei называются глубокими уровнями энергии. При переходе свободного электрона из зоны проводимости на такой уровень для осуществления его теплового переброса обратно в зону проводимости (переход 3 на рис. 2.7, а) потребуется уже поглощение одновременно нескольких фононов, так как одного кванта энергии для этого недостаточно. Это значительно уменьшает вероятность совершения такого события. Более вероятен переход электрона в валентную зону (переход 2), заканчивающийся его рекомбинацией с дыркой. Вероятность встречи дырки с локализованным неподвижным электроном значительно выше вероятности встречи с подвижным электроном. Поэтому глубокие локальные уровни являются эффективными центрами рекомбинации.

Пусть имеем одновалентный локальный уровень, в стационарных условиях и концентрацию центров рекомбинации достаточно небольшой по сравнению с концентрацией избыточных носителей заряда, тогда простейшая модель рекомбинации может быть описана следующими выражениями для скорости рассасывания избыточных носителей заряда и времени жизни τ неравновесных носителей заряда:

91

εF

εс

ε΄n

ε"n

εв p/ni

τ

p/ni

εF

1

n/ni

а)

τi

τn0
			τp0
IV	III	II	I
p – тип		n – тип	n/ni

б)

∂n

= −

np − n0 p0

;

∂t

(n + n

Л

)τ

+ (p + p

Л

)τ

n0

p0

(2.22)

τ = P−1

n0 + nЛ

+ P−1

p0 + pЛ

.

)

p (n + p

0

)

n (n + p

0

0

0

(2.23)

Здесь п0, p0 – равновесные концентрации свободных электронов и дырок в исходном состоянии; nл, рл – равновесные концентрации свободных электронов и дырок, когда

уровень Ферми совпадает		с
уровнем ловушек Eл;	Pр	–
вероятность захвата	дырок

ловушками, когда все ловушки заняты электронами; Pп – вероятность захвата электронов ловушками в условиях, когда все

ловушки свободны; τро ,τnо, – времена жизни дырок и

электронов в этих условиях.

Используя (2.18) и (2.19)

выражение для τ можно переписать в виде удобном для практических расчетов

Рис. 2.8. Изменение положения уровня Ферми
(а) и времени жизни неравновесных	τ = τ		n0 + nЛ	+ τ		p0 + pЛ	. (2.24)
носителей τ (б) в зависимости от
		p 0	n0 + p0		n 0 n0 + p0
концентрации основных носителей заряда в
полупроводнике		На рис.			2.8, показаны

изменения положения уровня Ферми EF в зависимости от изменения концентрации основных носителей заряда (а) и зависимости времени жизни τ неравновесных носителей заряда от концентрации основных носителей заряда (б). Кроме этого выделены четыре характерные области изменения τ, определяемые выражением (2.24).

Поверхностная рекомбинация. Следует учитывать, что приповерхностный слой имеет особую зонную структуру (см. рис. 1.6, б), а значит, и отличные

92

от объемных количественные параметры. Если рабочий участок полупроводниковой пластины частично расположен в объеме, а частично – в приповерхностном слое, то время жизни неравновесных носителей заряда τ связано со временами их жизни в объемы τv и у поверхности τs соотношением

1/τ = 1/τv + 1/τs .

Как правило, из-за большой концентрации ловушек вблизи поверхности τs <. τv , поэтому τ ближе к τs.

Рассмотрим полупроводник, в запрещенной зоне которого имеется поверхностный рекомбинационный центр Es. Пусть в нем равномерно по всему объему генерируются неравновесные носители заряда, обозначим их избыточные концентрации через n и p .

Наличие у поверхности полупроводника уровня Es, выполняющего роль «стока» для неравновесных носителей заряда, приводит к возникновению направленных потоков носителей заряда к поверхности, пропорциональных значениям их избыточной концентрации:

jn/e = Sn n; jp/e = Sр p,

где jп, jр – плотности тока электронов и дырок; e – заряд электрона; Sn, Sp – коэффициенты пропорциональности.

В условиях равновесия ток через поверхность равен нулю, поэтому эти плотности тока равны друг другу. Число носителей заряда, ежесекундно рекомбинирующих в единице площади поверхности,

qs = jр/l = jn/l = Sп n = Sp p .

(2.25)

Из (2.25) видно, что Sn и Sp выражают относительную долю избыточных носителей заряда, ежесекундно рекомбинирующих в единице площади поверхности полупроводника. Эти коэффициенты имеют размерность скорости, поэтому и называются скоростями поверхностной рекомбинации электронов и дырок. Связь между скоростью поверхностной рекомбинации и временем жизни τ в общем случае установить трудно, найдены решения этой задачи только для частных случаев.

2.3. Движение носителей заряда в полупроводниках

93