Методичка. Алгебра

19.A = ¡ 3 3 ¢,

20.A = ¡ 5 1 ¢T ,

21.	A = ¡ 0		3	¡1 ¢T ,
22.	A = ¡ 3		4	¢T ,
23.	A = ¡ 2		¡4 ¢T ,				¶
24.	µ	7		¡3		4
	A =	¡2		0		1	,
25.	A = ¡ 2		7	¢,
26.	A = ¡ 0		7	¢,	¶,
27.	A = µ	0	¡2
		7		0
28.	A = ¡ 3		5	¢T ,
	µ	2		5	¶
29.	A =	3	¡1		,	¶
	µ	3		3	1
30.	A =	1	¡2		4		,

µ	0	2		¶
B =	1	¡4			,	¶
µ	3	0		4
B =	1	¡3		2			,
B = ¡ ¡1		2		3		¢,
µ	0	1		¶
B =	3	¡2			,
B = ¡ 2		3 ¢,
B = ¡ 7		¡2		1		¢,
B = ¡ ¡3		1	¢T ,
B = ¡ 3		2	¡1			¢T ,
B = ¡ 2		¡1		4		¢,
	2	0		1			T
B = µ						¶ ,
	2	¡1		4
B = ¡ 2		¡4	¢,

µ¶

1 3

B = 2 5 ,

C = ¡ 2 ¡3 ¢:

C = ¡ 2 ¡3 1 ¢T :

C = ¡ 2 5 ¢T :

C = ¡ ¡2 ¡3 ¢:

C = ¡ 0 1 4 ¢T :

C = ¡ 4 0 ¡1 ¢T :

µ	1	2	7	¶
C =	¡3	0	5	:

C = ¡ 3 2 0 ¢:

C = ¡ 2 7 1 ¢T :

C = ¡ 2 0 ¡5 ¢:

C ¡ 2 0 ¡5 ¢T :

C = ¡ 2 ¡5 ¢T :

2. Найти значение многочлена f(C) от матрицы C, если C = AB.
¡	0	1 3	¶		0	2	¡		1
	µ						0
	A = 1	¡2 0			@	1	1		A
1. f(x) = x2 + 3x 4;			;	B =		1		2		:
						¡

11

2.f(x) = 3x3 ¡ 4;

3.f(x) = 2x2 + 3;

4.f(x) = 2x2 ¡ x + 3;

5.f(x) = ¡2x2 + 3x ¡ 5;

6.f(x) = ¡2x2 + 5;

7.f(x) = x2 ¡ 5x + 1;

8.f(x) = 2x2 + 6x ¡ 1;

9.f(x) = x2 ¡ 4x + 2;

10.f(x) = ¡3x2 + 4;

11.f(x) = 3x2 ¡ x + 2;

A =	1		1 1			¶		;			B = 0 2 0 1:
µ													5	1
	0	1			3								1	0
												@		A
		¡				1
A = 0 0 1 1									;		B = E:
@	1	2		0		A
	1	0		¡1							; B = 0 0						1:
A =	1 ¡2 ¡1 0													1
µ ¡3 1						0 1 ¶						B	1	2			C
													¡1 ¡1
													0	2
												B					C
												@					A
µ	0	0			1	¶						0	2	1		1
	2	¡	1		1							@	¡2	0		A
A =								;			B =		1	1				:
A = 0 ¡1 1 1 1									;		B = E:
	1		0		2	A
@ ¡1			2		0				¶			0	¡2				1
µ	0			2		1									3
	¡3 0 ¡1												1	1
A =									;		B =	@	1 0				A		:
			¡										¡	¡
µ										¶		B	1	0		C
	0		1			¡	1		2				0	1
A =	¡1 ¡1 0 1										; B =	0	2 0			1		:
												B				C
												@ ¡				A
µ	1	0			1	¶						0	1	¡		1
A =	2	¡	3		0			;			B =	@	1	¡1		A		:
													0	1
@	2	0			3			A
	0	¡1			¡1						B = E:
A = 0	1 1				1			1;
µ	1			1		0		¶				0	1	¡			1
														0
	¡1 ¡1 2											@	2	0			A
A =									;		B =		1		1				:
			¡										¡

12

12.f(x) = ¡5x2 + 2x ¡ 1;

13.f(x) = 4x2 ¡ x ¡ 2;

14.f(x) = ¡2x2 + 5;

15.f(x) = ¡x2 + 2x ¡ 1;

16.f(x) = 2x2 + x + 1;

17.f(x) = 2x3 ¡ 1;

18.f(x) = ¡3x2 + x + 2;

19.f(x) = 3x2 ¡ 4;

20.f(x) = ¡x2 + 2x ¡ 3;

21.f(x) = 3x3 ¡ 5;

	µ	¡1	0		1		¶
A =		2	¡2 ¡1					;
	µ	0	3	1	¶
A =	0	¡3	0	1		;
A =		2	0	¡1	1		;
	@	1	1	¡1	A
		3	1	0
	µ	0	2	¡1		¶
A =		¡1	0	¡3			;
	µ	1	1	0			1	¶
A =		¡1	0	¡1			1	;
A = µ		0	0	¡1	¶;
		3	1	0
	µ	3	1	1	¶
A =	0	¡1	0	1		;
A =		¡1	¡1		2	1		;
	@	1		0	1	A
		1		0	3
	µ	1	0	¡3		¶
A =		1	¡3	0			;
A = µ		0	2	¡1	¶;
		1	0	2

B =	0	1	0		1		:
	@	1	¡1		A
		1	1
	0				1
B =		0	1				:
	@	1	1		A
			¡
		1	0
B = E:						1
B =	0	2		0				:
		1	¡1
	@ ¡1			0		A
B =	0	2	2		1		:
	B	1	¡1		C
		0	0
	B				C
	@	0	1		A
	@	1	0	A
B =		0	2
	0	2	1	1		:
B =	0	3	0	1		:
	@	1	0	A
		1	3
B = E:
	@	1	1		A
B =		1	¡1
	0	1	1		1		:
B =	0	0	3		1		:
	@	3	0		A
			¡
		1	0

13

22.f(x) = 5x2 ¡ x + 3;

23.f(x) = 3x2 ¡ 2x ¡ 2;

24.f(x) = ¡3x2 ¡ 2;

25.f(x) = ¡x2 + 2x ¡ 5;

26.f(x) = 2x2 ¡ x + 3;

27.f(x) = 4x2 + x ¡ 3;

28.f(x) = 4x2 ¡ x ¡ 2;

29.f(x) = 4x2 ¡ 1;

30.f(x) = 4x2 + 2x ¡ 1;

A = µ		0	2	1	0		¶;
		1	0	0	2
A = µ		1	2	2	¶;
		2	2	1
A =	0	0	1		0	1		;
		¡2	1		1	A
	@ ¡1		0		0			¶;
A = µ		0	0	¡1			1
		0	5	1			2
	µ	1	0		0		2	¶
A =		0	¡3		1		1	;
	µ	2	¡1		1		¶
A =		1	1		¡1			;
A = µ		0	0	2	¶;
		1	2	0
A = µ		1	¡1		¡1		¶;
		1	2		1
	µ	2	¡3		0		¶
A =		1	1		¡1			;

B =	0	¡1		0			1		:
	B	1		0			C
		1		0
	B						C
	@ ¡			¡1			A
	0	0					1
B =		1		1					:
		3		¡1			A
	@ ¡1			3
B = E:					1
B =	0	1	¡1					:
	B	5	4		C
		2	2
	B				C
	@	0	1		A
B =	0	1		0	1			:
	B	1		0	C
		2		2
	B				C
	@	¡1		1	A
B =	0	0	1	1		:
	@	1	2	A
		0	1
	@	0	1		A
B =		1	¡1
	0	2	0		1			:
B = E:
	@	3		1	A
B =		¡1		0
	0	0		3	1			:

14

2. Определители. Основные методы вычисления определителей. 2.1. Теоретические сведения

Терминология и обозначения.

Упорядоченная совокупность чисел ®1; ®2; : : : ; ®n, в которой

1) ®i 2 f1; 2; : : : ; ng, i = 1; 2; : : : ; n; 2) ®i 6= ®j при i 6= j

называется перестановкой из чисел i = 1; 2; : : : ; n.

Говорят, что два числа ®i и ®j в перестановке ®1; ®2; : : : ; ®n образуют инверсию (беспорядок), если ®i > ®j при i < j и порядок – в противном случае. Общее число инверсий в перестановке ®1; ®2; : : : ; ®n обозначается символами

N(®1; ®2; : : : ; ®n) или N(®).

Определителем n-го порядка квадратной матрицы A = (aij) называется сумма всевозможных произведений a1®1 a2®2 : : : an®n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем, если сомножители в этом произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком (¡1)N(®). Для обозначения определителя приняты символы ¢; jAj; det A. Итак,

¯

¯¯ a11

¯¯ a21

¯¯ : : :

¯ an1

: : :	: : : : : :		¯			1®1 2®2	n®n
a12	: : :	a1n	¯		X
a	: : :	a		=	( 1)N(®)a a		: : : a ;	(4)
a22	: : :	a2n	¯
			¯		®=(®1;®2;:::;®n) ¡
			¯
			¯
n2		nn	¯
			¯

где суммирование ведется по всевозможным перестановкам (®1; ®2; : : : ; ®n) из чисел 1; 2; : : : ; n.

Каждое произведение в сумме (4) называется членом определителя, а число (¡1)N(®) – его знаком.

Из свойств перестановки следует, что число всевозможных членов определителя n-го порядка равно n! и что при n ¸ 2 число положительных членов равно числу отрицательных и равно n!=2.

Определение (4) для n = 2 и n = 3 приобретает вид

¯

a11

a12

¯

¯

¯

= a11a22 ¡ a12a21;

¯

a21

a22

¯

¯

a11

a12

a¯13

¯

¯

a a a + a a a

a21

a22

a23

= a a a

¡:

a11 a22 a33

+ a12 a23 a31

a13 a21 a32

¯

¯

¯

31

32

33

¯

¡

¡

¡

¯

¯

¯

a

a

a

¯

13

22 31

12 21 33

11 23 32

¯

¯

(5)

(6)

Свойства определителя.

1. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

15

2. Определитель квадратной матрицы не изменяется при ее транспонировании: jAj = jAT j.

Следствие. В определении (4) определителя можно поменять ролями

строки и столбцы:
jAj =		(¡1)N(®)a®11a®22 : : : a®nn;
;® ;:::;®	n	)
®=(®1X2

т.к. эта сумма равна jAT j.

3.Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то

ееопределитель равен нулю.

4.При умножении строки (столбца) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

5.Если каждый элемент некоторой i-й строки матрицы представлен в

виде суммы:

aik = a0ik + a00ik; k = 1; 2; : : : ; n;

то определитель матрицы можно представить в виде суммы двух определителей: ¢ = ¢0 + ¢00, где

¢ =

¯

a + a

a + a

: : : a + a

¯

;

¯

a: 11: :

a:

12: :

:: :: ::

a:

1:n:

¯

¯

: : :

: : :

: : :

: : :

¯

¯

¯

¯

i01

i001 i02

i002

in0

in00

¯

¯

: : :

¯

¯

an1

an2

ann

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¢0 =	¯	a
	¯	a: 11: :
	¯
	¯	i0	1
	¯
	¯	: : :
	¯
	¯
	¯	an1
	¯

a: 12: :		:: :: ::	a:1:n:	¯			¯	a: 11: :	a: 12: :
a		: : : a		¯	; ¢00	=	¯	a	a
: : :		: : :	: : :	¯			¯	: : :	: : :
				¯			¯
	i02		in0	¯			¯	i001	i002
				¯			¯
an2		: : : ann		¯			¯	an1 an2
				¯			¯
				¯			¯
				¯			¯

:: : a1n

:: : : : :

:: : a00in

:: : : : :

:: : ann

¯

¯

¯

¯

¯

¯¯:

¯

¯

¯

6.При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.

7.Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

8.Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то определитель матрицы равен нулю.

9.Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию других ее строк (столбцов), то ее определитель не изменится.

Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A 2 Rm£n, стоящих на пересечении строк и столбцов с номерами

16

Mi1i2:::ik Ai1i2:::ik : j1j2:::jk j1j2:::jk

i1 < i2 < : : : < ik и j1 < j2 < : : : < jk соответственно, называется минором k-го порядка матрицы A и обозначается

Mji11ji22

:::j:::ikk = ¯

ai1j1

: : : ai1jk

¯:

: : : : : :

: : :

¯

a

ikj1

: : :

a

¯

¯

ikjk

¯

¯

¯

¯

¯

Минор порядка n ¡ k, оставшийся¯

после вычеркивания¯

в квадратной

матрице A 2 Rn£n

строк и столбцов с номерами i1 < i2

< : : : < ik и

j1 < j2 < : : : < jk соответственно, называется

дополнительным минором

к минору Mi1i2:::ik

и обозначается

i1i2:::ik .

M

j1j2:::jk

j1j2:::jk

Число

i1i2:::ik

k

(ip+jp)

i1i2:::ik

Aj1j2:::jk = (¡1)Pp=1

Mj1j2:::jk

называется алгебраическим дополнением к минору Mji11ji22:::j:::ikk .

П р и м е р 3. Дана матрица						1
A =	0	¡3	2	1	0		:
	B	2	3	¡4	1	C
		1	2	5	7
	B		¡			C
	@	¡1		3	2	A
			4

Найти алгебраическое дополнение к минору M3413.

Решение. Вычеркнем из данной матрицы 1-ю и 3-ю строки, 3-й и 4-й

столбцы. Минор

¯

1

2

¯

34

¯

¡

¯

M

13

=

¯

¡3

2

¯

M13

дополнением к

является дополнительным к минору¯

34

. Алгебраическим¯

минору M13

будет

34

¡

¡ ¯

1

2

¯

¡

34

¡

¯

¯

( 1)1+3+3+4

M

13 =

m¯

¡3

2

¯

=

4:

n

, 1 · k · n ¡ 1. Пусть

Теорема Лапласа. Пусть A 2 R ¯£

и k 2 N¯

в матрице A выбраны произвольные k строк (или столбцов). Тогда определитель матрицы A равен сумме всевозможных произведений миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (соответственно столбцах), на их алгебраические дополнения, т.е.

X

det A =

(j1;j2;:::;jk)

Если в теореме Лапласа выбрать k = 1 и строку (столбец) с номером i, то минорами первого порядка, расположенными в i-й строке (столбце), будут

17

сами элементы aij(aji). Обозначив через Aij алгебраическое дополнение к элементу aij, получим из теоремы Лапласа, что

n	n
X	Xj
det A = aijAij det A =	ajiAji:	(7)
j=1	=1

Представление определителя (7) называется разложением определителя по i-й строке (столбцу).

П р и м е р 4. Дана матрица					1
A =	0	1	1	5		:
	@	¡2	3	0	A
			¡
		4	2	7

Найти алгебраические дополнения элементов 2-го столбца.

	Решение.				¯	1	5	¯
	A12 = (¡1)1+2				¯			¯	= 13;
						4	7
					¯			¯
	¡		2+2	¯	¯	2	0	¯		¡
						4	7	¯
				¯	¡			¯
	A22 = ( 1)			¯				¯	= 14;
	¡			¯		1	5	¯	¯
				¯		¡2	0		¯
	A32 = (			¯					¯	= 10:
		1)3+2¯							¯
				¯

Теорема.Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей:

det AB = det A det B:

Основные методы вычисления определителей.

1. Приведение к треугольному виду. Этот метод заключается в преобразовании матрицы определителя к такому виду, когда элементы, стоящие по одну сторону от главной (побочной) диагонали, равны нулю. Полученный

определитель по свойству 1 равен произведению элементов главной диагонали (побочной диагонали, умноженной на (¡1)n(n¡1)=2).

Для вычисления определителя таким способом используют метод Гаусса, который приводит определитель n-го порядка матрицы A = (aij) к верхнему треугольному виду:

1.Если a11 = 0, то переставляем строки (столбцы) матрицы определителя так, чтобы элемент a11 6= 0.

2.Умножаем 1-ю строку матрицы определителя последовательно на числа

¡a21=a11; ¡a31=a11; : : : ; ¡an1=a11 и складываем со 2-ой, 3-й, . . . n-ой строками соответственно, получая нули в 1-ом столбце ниже элемента a11.

18

3. Повторяем процедуру п.1-2, применяя ее к измененной подматрице (n ¡ 1)-го порядка, у которой в верхнем левом углу стоит элемент a~22 и так далее.

Замечание. Преобразование определителя легче производить с целыми числами, поэтому диагональный элемент, если возможно, выбирают равным единице, меняя строки (столбцы) местами или вынося общий множитель строки (столбца) за знак определителя.

Пр и м е р 5. Вычислить определитель

¯¯

¯¯ 3 ¡9 3 12 ¯¯

¢= ¯¯¯ ¡1 5 2 ¡3 ¯¯¯

¯2 ¡2 6 ¯

¯0 2 ¡1 ¯32

приведением к треугольному виду.

Решение. Вынесем за знак определителя общий множитель 1-ой строки:

¢ = 3		¯	¡1 5		2	¡3	¯	:
		¯	2	2	6	3	¯
		¯	1	¡3	1	4	¯
	¢		0	¡	1	2
		¯		2			¯
		¯			¡		¯
		¯					¯
		¯					¯
		¯					¯

В полученном определителе ко 2-ой строке прибавим 1-ю и к 3-й строке – 1-ю, умноженную на (-2), получим:

¢ = 3		¯	0	2	3		1	¯	:
		¯	0	4	4		5	¯
		¯	1	¡3	1		4	¯
	¢		0	2		1	¡
		¯					2	¯
		¯			¡			¯
		¯						¯
		¯						¯
Прибавив к 3-й строке 2-ю, умноженную¯					на (-2), и¯ к 4-й строке – 2-ю, умно-
женную на (-1), получим:		¯						¯
			0	0		2	7
		¯	1	¡3	1		4	¯
	¢		0	0	¡4		¡
¢ = 3		¯					1	¯	:
		¯	0	2	3		1	¯
		¯			¡			¯
		¯						¯
		¯						¯
В полученном определителе к 4¯-ой строке прибавим¯										3-ю, умноженную на
(-2), получим:		¯						¯
¢ = 3			0	2	3		1		:
		¯	0	0		2	7	¯
		¯	1	¡3	1		4	¯
	¢		0	0	¡		¡
		¯			0		15	¯
		¯						¯
		¯						¯
		¯						¯
		¯						¯

19

Таким образом, данный определитель приведен к треугольному виду, и, следовательно,

¢= 3 ¢ 1 ¢ 2 ¢ (¡2) ¢ 15 = ¡180:

2.Метод понижения порядка основан на использовании формул (7). Формула разложения определителя по строке (столбцу) принимает особенно простой вид, когда в этой строке (столбце) все элементы равны нулю, кроме одного.

П р и м е р 6. Вычислить определитель

¢ =

¯

0

0

¡1

6

¯

¯

2

1

3

1

¯

¯

3

1

2

4

¯

¯

2

2

3

1

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

методом понижения порядка.

¯

¯

Решение. Вычтем из 3-й строки 4-ю и получим

¢ =

¯

0

0

¡1

6

¯:

¯

0

3

0

0

¯

¯

3

1

2

4

¯

¯

2

2

3

1

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

Полученный определитель разложим¯

по 3-й строке:¯

¢ = 3

¢

(

¡

1)3+2

¢

¯

0

¡1

6

¯

:

¯

2

3

1

¯

¯

3

2

4

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Прибавив к 3-му столбцу 2-ой, умноженный на 6, получим:

¢ =

¡

3

¢

¯

0

¡1

0

¯

:

¯

2

3

19

¯

¯

3

2

16

¯

¯

¯

¯

¯

Полученный определитель разложим¯

по 2-й строке:¯

¢ = ¡3 ¢ (¡1) ¢ (¡1)2+2 ¢

¯

2

19

¯

= 3 ¢ 25 = 75:

¯

3

16

¯

¯

¯

¯

¯

20