Синтез_мех_систем

толкатель	ось толкателя

aИо

	А	А
РН		КА

Рисунок 5.3 – Схема работы толкателя

Теперь, когда зависимость хода штока толкателя от времени движения найдена, определим выражения для силы толкателя, действующей на РН и

КА и запишем уравнения их движения.

Выражения для силы толкателя, действующей на РН будет иметь сле-

дующий вид:

a) в с. к. xиyиzи	~		о		F ( ) ;
	F		a	И
	И
б) в с. к. x y z								о	F ( ) ,
	F		А a
о о о	И				И			И
а на КА:
а) в с. к. xКАyКАzКА		~			А			1		о	F ( );
		F							А a	И
		КА					КА		И
б) в с. к. xоyоzо	~				о		F ( ).
	F		А a			И
	КА		И

Уравнения движения РН и КА записываются в стандартной форме и име-

ют вид:

61

FИ ,

mИ RИ

~

~

dKИ

(

И

KИ )

rА

F ,

dt

(5.1.4)

mКА RКА

FКА ,

~

~

dKКА

(

КА

KКА )

rКА

F.

dt

КА - кинетические моменты РН и КА,

Здесь:

K И

J И

И , K КА

J КА

а

J

, J

-

соответствующие

тензоры

инерции;

АT

) ,

И

КА

r

(R

R

КА

КА

КА

R - определяется из (5.1.1) при найденном

из (5.1.3).

Если к системе (5.1.4) присоединить кинематические уравнения Эйлера,

то эта расширенная система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть проинтегрирована любым численным методом и, следовательно,

может быть определена кинематическая картина процесса отделения КА от последней ступени РН.

Таким образом, решение задачи отделения одного или нескольких КА от последней ступени на «ближнем» участке сводится к решению обычной за-

дачи Коши для систем дифференциальных уравнений, описывающей процесс отделения.

Если в результате решения задачи окажется, что угловые возмущения КА превышают допустимые, то необходимо провести исследование возможности ужесточения требований по точности установки толкателей, разбросу поло-

жения ц. м. КА и РН, разбросу жесткости пружин, возможности снижения энергии толкателей. Такие задачи решаются в каждом конкретном случае от-

дельно.

Теперь перейдем к описанию относительного движения КА и последней ступени РН на участке орбитального полета после срабатывания системы от-

деления.

62

Как будет видно из приведенного здесь аналитического описания относи-

тельного движения КА и РН на орбитальном участке существенным момен-

том является выбор как величины вектора скорости отделения КА, так и его

направления в пространстве.

При малых, по сравнению с орбитальной, скоростях отделения КА (Vотд 0.5 2 м / с ) в случае его отделения по направлению нормали или би-

нормали к траектории полета РН через один виток (полвитка для второго случая) после отделения расстояние между РН и КА сократится до нуля, т.е.

произойдет столкновение. И только при ненулевой составляющей вектора скорости отделения каждого КА на направление вектора орбитальной скоро-

сти можно обеспечить гарантированное расхождение КА как между собой,

так и с РН.

Для обоснования сказанного рассмотрим расчетную схему относительно-

го движения одного КА и РН после срабатывания средств отделения.

Начало подвижной системы координат, относительно которой рассматри-

вается движение КА и для которой будут записаны дифференциальные урав-

нения, находится в центре масс РН, рисунок 5.4. Ось x направлена по каса-

тельной к орбите РН, ось y направлена к центру Земли, ось z перпендику-

лярна плоскости орбиты и достраивает систему координат до правой. Угло-

вая скорость w подвижной системы координат равна угловой скорости об-

ращения РН вокруг Земли w {0, 0, w}.

В качестве допущений примем следующее. КА и РН рассматриваются как материальные точки, поле тяготения Земли – центральное сферическое, ор-

бита РН - круговая. Значение высоты полета несущественно, т.к. аэродина-

мическими силами можно пренебречь из-за их малого влияния (по крайней мере в течении двух - трех витков ). Силы воздействия на КА и РН управ-

ляющих органов не учитывается, т.е. рассматривается свободное относитель-

ное движение.

63

Дифференциальное уравнение относительного движения КА запишется в виде: [24],

m1

F1

Fe

Fk

(5.1.5)

где:

M m

F1

1

r1

- сила притяжения со стороны Земли,

r 3

1

r1 - расстояние от центра Земли до КА, m1 - масса КА,

Fe

m1ae - переносная сила инерции,

Fk

m1ak - сила инерции Кориолиса,

ae

a0

(

), ak

2(

) ,

M - масса Земли,

m1 - масса КА.

Поскольку

const ,

следовательно

,

2

2

0

ae

r0

h и

m

F m

2 (r h ) 2m (

).

(5.1.6)

1

1

1

0

1

64

	Учитывая, что РН движется по круговой орбите радиуса r0 const , сила
притяжения				Земли - F1 , действующая на него будет равна
		m M			2 r0 , где: m0 - масса РН.
F1		0		m0
		2
		r
	0

РН

x	z

Орбита РН h ro

КА

r1 y rо

Рисунок 5.4 – Рачетная схема

Отсюда имеем: M 2 r03 . Тогда уравнение движения принимает сле-

дующий вид:

	2					2 r 2
		(r	h) 2(		)		0	(r		)	(5.1.7)
							3
		0				r		0
						1

65

Для получения аналитического решения данного нелинейного дифферен-

циального уравнения произведем ряд преобразований и упрощений. Учиты-

вая малую относительную скорость отделения КА по сравнению с орбиталь-

ной скоростью РН, траектории движения КА и РН будут близки и, следова-

тельно, без заметных погрешностей исходное уравнение можно упростить.

																	r0		3
	Примем в уравнении (5.1.7), что коэффициент																		при «малом»							равен
																	r1
	единице, а при «большом»							r0 , ( r0					) разложим его в ряд и удержим толь-
	ко линейную часть. Таким образом:
								3					3									3
	3			3		2													2
								2				)					y					2		y
		r0		r1		r1				(r0			2
															1 2								1 3		.
		r		r		r				r 2						r				r				r
	1			0		0			0								0		0					0

С учетом этого, после приведения подобных членов, уравнение движения будет иметь вид:

	2			) 3			y			2(			(5.1.8)
		(h						r0
							r0
Или в матричной форме, поскольку
										{0, r ,0}T			:
	{x, y, z}T , h			{x, y,0}T , r
							0				0
x		0			y		0				i	j	k
y		0		3			r		2	2 0		0	(5.1.9)
					r0		0
z		z					0			x		y	z

В результате получим однородную линейную систему 3х дифференциаль-

ных уравнений второго порядка в скалярной форме:

x 2 y,

y	3 2 y 2 x, (5.1.10)

z 2 z.

Эта система легко интегрируется и при произвольных начальных услови-

ях вида: x(0) y(0) z(0) 0, x(0)	x0 , y(0)	y0 , z(0)	z0 имеет следующее
решение:

66

z(T2 )

z0 sin( 2T T2 )

x

2 y0

(1

cos

t)

4

x0

sin

t

3x

t,

0

y

2x0

(cos t

1)

y0

sin

t,

(5.1.11)

z0

z

sin

t.

Из этого решения видно, что законы движения вдоль оси 0z и на плоско-

сти (x, y) независимы друг от друга. При «малых» относительных перемеще-

y

y0	направление
	движения фазо-

вой точки

x

y0

	Рисунок 5.5 – Траектория относительного движения
ниях - sin	cos	, когда можно пренебречь кривизной поля тяготения

из полученного решения следует известный закон относительного движения

в плоскопараллельном поле тяготения: x x0t, y y0t, z z0t . Этот закон ис-

пользуется при расчете траекторий «опасных» точек при разделении, т.е. при

«малых» относительных перемещениях.

Если в уравнениях (5.1.11) положить: z0 0, x0 y0 0, т.е. отделение КА производится по бинормали к траектории движения РН, период обращения которого равен T , то из третьего уравнения системы следует, что

0 , т.е. через полпериода расстояние между РН и КА бу-

67

дет равно нулю - произойдет столкновение. Если производить отделение по нормали к траектории ( z0 x0 0, y0 0 ), то из первых двух уравнений

(5.1.11) следует, что траекторией относительного движения будет эллипс, ри-

сунок 5.5:

		2 y		2					2
x				0
								y		1	(5.1.12)
	y0							y0

Следовательно, в этом случае столкновение РН с КА произойдет через период.

Если в уравнениях (5.1.11) положить z0 0, y0 0, x0 0 , т.е. отделение КА также производится в плоскости орбиты, но в отличии от предыдущего слу-

чая проекция вектора скорости КА на направление орбитальной скорости РН ненулевая, то траектория относительного движения КА также будет эллипс,

рисунок 5.6):

		(x 2 A) 3x0 t 2						y B		2
										1,
				2R				R
										(5.1.13)
			y0		2x0
	A			, B			, R		A2	B 2 .

Центр этого эллипса (О1) будет перемещаться, как это видно из (5.1.13)

вдоль оси x со скоростью 3x0 влево. Следовательно, в этом случае траекто-

рия относительного движения КА - незамкнутая кривая, и при соответст-

вующем выборе начальной скорости x0 столкновение КА и РН не произой-

дет.

68

Получено аналитическое обоснование утверждения, сделанного в начале раздела о выборе направления отделения КА - при одновременном отделении

y

x

B	R

O1

3x0

2A

2R

Рисунок 5.6 – Траектория относительного движения от РН нескольких КА вектор относительнойскорости каждого должен иметь

ненулевую проекцию на направление вектора орбитальной скорости РН в момент отделения. Одним из вариантов выполнения этого условия при одно-

временном отделении нескольких КА в плоскости перпендикулярной про-

дольной оси РН, является его разворот по рысканию либо тангажа на 90о с

последующей стабилизацией в этом положении на момент отделения КА.

5.1.3 Определение направления отделения космических аппаратов в про-

странстве

Если отделяются два КА, то они должны быть установлены по плоско-

стям стабилизации II-IV, рисунок 5.7. При этом скорости отделения КА пол-

ностью проектируются на направление вектора орбитальной скорости РН, и

их расхождение между собой и с РН после отделения самое благоприятное.

При отделении одного КА направление скорости отделения также должно

совпадать с направлением вектора орбитальной скорости РН. В этом случае

69

2V1x

направление отделения КА совпадает с продольной осью РН, плоскость I–III

РН совпадает с плоскостью угла тангажа, продольная ось РН совпадает с вектором орбитальной скорости.

При одновременном отделении 3х КА от РН положим, что КА расположены симметрично, как показано на рисунке 5.8, т.е. углы между КА равны

120о.

III

II	IV	x
КА №2	КА №1
V	V

	I
	Рисунок 5.7 – Направление отделения двух КА
При	одинаковом модуле вектора скорости отделения всех КА
(V1 V2	V3 V ) ндопустим в первом приближении, что наиболее благопри-

ятным случаем с точки зрения расхождения КА между собой и РН после сра-

батывания средств отделения будет случай когда: V2 x , т.е. картина рас-

хождения КА №1 и КА №2 будет почти такой же как и картина расхождения КА №1 и РН. При этом расхождение КА №3 и РН будет не хуже, т.к. V3x V1z .

При единичном модуле вектора скорости КА эти условия запишутся в ви-

де:
2sin	sin	sin	sin	или
2sin	sin( 60	), sin( 60		) sin( 60	) .

70