Задачник по теории вероятностей

Найдем условные моменты первого, второго, третьего и четверо того порядков:

	M l - — = - ^ 5 5	= 0 . 0 3 ,	A l 2 = — ; р - - =		jgg	=4,05,
	А1з=			_	= -	1,53,
j^m	Si4-14s2+36	$3+24s4	=	147+14129+36 . 69+2419 .^ ^^
Л14	pj				щ |	=48,93.

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвер­ того порядков:

= [_ 1,53—3 0,03 4,05 + 2 (0,03)^] 4« = — 121,245,

=[48,93—4 0,03.(— 1,53)+

+6 .(0,03)« -4.05—3 (0,03)*] 4* = 12578,679.

Найдем	искомые асимметрию	и эксцесс, учитывая, что Од^ж
= K D ^ =	V^ 64,78 (дисперсия Dg	была найдена ранее, см. задачу
529):	а , = т,/аЬ = -~ 121,245/(l/'64J8)« = —0,25,
е^=mJOB—3=12578,679/(		У 64,78)*—3=26,97.

534. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п=100:

а) X/ 10,2 10,4 10,6				10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0;
П;	2	3	8	13	25	20	12	10	6	1
б) Xi	12. 14		16	18	20	22.
п^	5	15	50	16	10	4

Глава двенадцатая

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ

§ 1. Линейная корреляция

Если обе линии регрессии К на X и X на V—прямые, то кор­

реляцию называют линейной.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид
-. -	а-.	_
yx—y^rs	— ix—x),		(•)
^Дв Vx—условная средняя; х и у^—выборочные средние			признаков
X и г; Сх и Оу—выборочные средние		квадратические отклонения;
Гв—выборочный коэффициент корреляции, причем

гв = ( 2 f^xyXy—nxyyinOjfOy).

190

Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на У имеет вид

( • •)

Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целе­ сообразно перейти к условным вариантам:

Ui = (Xi—Ci)/hu

t;y=(£/y—С2)/Л2.

где Cj—«ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета); в ка­ честве ложного нуля выгодно принять рарианту, которая располо­ жена примерно в середине еариационного ряда (условимся прини­ мать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); hi—шаг, т. е. разность между двумя соседними вариантами X; Сг—ложный нуль вариант К; Лг—шаг вариант К.

В этом случае выборочный коэффициент корреляции

Гв= ( 2 Пауии-'пйд)/{пОаОу),

причем слагаемое 2Li"tiv^^^ удобно вычислять, используя расчетную табл. 7 (см. далее решение задачи 535). .

Величины сГ, V, o„, а^ могут быть найдены либо методом произ/ ведений (при большом числе данных), либо непосредственно по фор­ мулам:

'и = (^Паи)/п, v^'^n^v/n, Оа=К й*—(il)2, o^ = Vv^ — {v)^.

Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения рег­ рессии (•) и (*«) величины по формулам:

x^uhi + C-if "y^vhz + Cz, Ox^ojii,

Oy=^(S^2-

Для оценки силы линейной корреляционной связи служит вы­ борочный коэффициент корреляции г^.

Для обоснованного суждения о наличии связи между количест­ венными признаками следует проверить, значим ли выборочный ко­ эффициент корреляции (см. гл. ХП1, § 12).

535. Найти выборочное уравнение прямой линии рег­ рессии К на X по данным, приведенным в корреляцион­ ной табл. 5.

Т а б л и ц а 5

Y	20	25	X	35	40	«..
			30
						V
16	4	6	10	—	_	10
26	-.	8				18
36	—	—	32	3	9	44
46	«..	.».	4	12	6	22
56	—*	—	—~	1	5	6
Пх	4	14	46	16	20	п = 100

191

Р е ш е н и е . Составим корреляционную табл. 6 в условных ва­ риантах, выбрав в качестве ложных нулей Ci=30 и С2==36 (каж­ дая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).

Т а б л и ц а 6

и

.V	-2	1 ~^	1 ^	1	! ^	1 %
— 2	4	6	—	—	—	10
—1	—	8	10	—	—	18
0	—	—	32	3	9	44
1 1	—	—	4	12	в	22
2	—	—	—	1	5	6
Па	4	1 ^^	46	16	20	л=100

Найдем и и v:

«=(2«tt£/)M = (4.(—2)+14.(—1) + 46.0+1б. 1+20.2)/100 = 0,34; t' = (2''vt')/«==(10(---2)+18(--l) + 44.0+22.1+6.2)/100==---0,04. Найдем вспомогательные величины и^ и v^:

I ? ^ ( 2 / i e a a ) / n = ( 4 . 4 + 1 4 . 1 + l6.1+20.4)/100=l,26; t^=(S'*v^'^)/'»=(^0'4+181+22.1+6.4)/100 = 1.04.

Найдем аа и о^

aa = l/l? - ~(u)«= F^l,26—0,342=1,07; а^ = К t;«—(t»)2 = |/'l,04—0,042= 1,02.

Найдем ^figt^uv, для чего составим расчетную табл. 7. Суммируя числа последнего столбца табл. 7, находим

2 у- (/ = 2 '^«v"^= ^^•

V

Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки:

Совпадение сумм свидетельствует о правильности вычислений. Пояснения к составлению табл. 7.

1. Произведение частоты п^^ на варианту и, т.е. Лц^гг, записы­ вают в правом верхнем углу клетки, содержащей значение частоты. Например, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: 4-(—2)= —8;,6-(—1)= —6.

192

со
а	^	11 99	1 ^		1 ^
X
	Si
1	^	х»«		оо
	II	т		1		см
	^
					0 0
1 ^
					jiJ
						СО
1	о		^	о	^
						СО
				1 О
		IJ 1		1 Т
	7			00		1
		и		m

1	*			1 см^,^	- 1 — л
				1 00-<	1	о
1	'^			II
		1	см		1	с^
					1	ь«
1	^'		^ ^		1	о
				W-		1
						Г"
1	"^				11	^ < ^
	СМ

1 ^

Ы~

L.W

F1 юF <£> S3

[ см 1 d

см	R	^	'^
17
zl		1
^	1		о
R		н8
1	1

1 сч 1	1	1	1	1	00 1 ю
1					1
т					о 1
	1	О	1 "^ 1	см	1 W	::5^
/ /						Si
1/ о		1	1		II
1/					^

193

2. Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной строки, и их сумму помещают в клетку этой же стро­ ки «столбца и». Например, для первой строки а = — 8 + ( — 6 ) = — 1 4 .

3.	Наконец, умножают варианту v нг U и полученное					произве­
дение записывают в соответствующую клетку «столбца t/(/».						Напри­
мер, в	первой	строке	таблицы	t; = — 2, /7=—14,	следовательно,
i;£/ = (—2).(—14) = 28.
4.	Сложив все числа «столбца t>t/», получают сумму ^vU, ко-
торая	равна	искомой	сумме	^Пц^^ии. Например,	V	табл. 7
					для

2 ^ ( 7 = 8 2 , следовательно, искомая сумма y\ntipUV=^S2.

V Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения na^v записывают в левый нижний угол клетки, содер­ жащей значение частоты; все числа, помещенные в левых нижних углах клеток одного столбца, складывают и их сумму помещают в «строку К»; наконец, умножают каждую варианту и нг V и резуль­ тат записывают в клетках последней строки.

Сложив все числа последней строки, получают сумму 2 ^^f

и

которая также равна искомой сумме y\nui,uv. Например, для табл. 7

2 ^ ^ = 82, следовательно,

^Пц^иу^82.

и

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

	y\nuvUV'-ruIv		82— 100-0,34 • (—0,04) ^ -^
'"^	поао^	^	100.1.07.1,02	==^'^^-

Найдем шаги h^ и hz (разности между любыми двумя соседними вариантами):

Лх ==25—20=5; Аа = 26—16 = 10.

Найдем X н"у,учитывая, что Сх = 30, 0^ = 36:

x=;7I./ii + Ci=0,34 . 5+ 30 = 31,70; l7=^./ia + C2 = (—0,04). 10+36 = 35,60.

Найдем Qjf и Oyi

a;p = /ii.a„ = 5.1,07 = 5,35; а^,=Лаа^ = 10-1,02 = 10,2.

Подставив найденные величины в соотношение (*), получим искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X:

5^;,-35,60 = 0,76 i | | (;^-31,70).

или окончательно J^;^=1,45JC—10,36.

194

536. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии У на X и X на У по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:

а)

						X
Y	5	!	10	15	20	25	30	35	40	%
100	2		1							3
120	3	'	4	3						10
140	—		—	5	10	8	—	-—	—	23
160	—		—	—	1	—	6	1	1	9
180								4	1	5
Пх	5	1	5	8	11	8	6	5	2	л=50

б)

X

	Y	•в 1	23	28	33 j	38	j 43	48	%
	125
		—	1						1
	150	1	2	5	—	—-	--	—	8
	175	—	3	2	12	—	^ —	—	17
	200	—	—	1	8	7	—	—	16
	225	—	—	—	-—	3	3	-— !	6
	250						1	1	2
	Пх	1	6	8	20	10	4	1	л=50

195

в)

						X
	Y	5	1С	15	20	25	30	35	"у
	100
							6	1	7
	120						4	2	6
	140	—	—	8	10	5	—	—	23
	160	3	4	3	—	—	—	—	10
	180	2	1	—	I	—	—	—	4
	Пх	5	5	11	11	5	10	3	л = 50

§ 2. Криволинейная корреляция

Если график регрессии — кривая			линия, то корреляцию			назы­
вают криволинейной, В	частности,	в случае		параболической		корре­
ляции второго порядка выборочное уравнение регрессии К на X
имеет вид
	yj, = Ax^ +	Bx+C.
Неизвестные параметры	А, В и С находят (например, методом Га­
усса) из системы уравнений:
( S п^х^) л + ( S п^х^) В + (^			п^х^) С = 2		^хУхХ\
( 2 ^хХ^) л +	( 2 ^хХ^) ^ + (Zif^xx) с = 2				f^x'yxXf	(*)
(Еп^х^)	А + (Еп^х)	В + пС =		Еп;^^.

Аналогично находится выборочное уравнение регрессии X на Y: Ху^ЛгУ^ + Вгу + Сг.

Идя оценки силы корреляции Y на X служит выборочное корре* ляционное отношение (отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y)

"^ух =^межгр/^общ»

или в других обозначениях

Здесь

Ух = У ^межгр = К ( 2 ^х (Ух—'У^)/п. <Уу= 1^^общ =

=К(2^ИУ-^)^)/Л.

196

где п—объем выборки (сумма всех частот); Пх — частота значения х признака X; Пу—частота значения у признака К; у^ — условная

средняя признака К; у—общая средняя признака К.

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение

X к У:

у'

537. Найти выборочное уравнение регрессий у^ = ^Ах^-^Вх + С по данным, приведенным в корреляцион­ ной табл. 8.

Оценить силу корреляционной связи по выборочному корреляционному отношению.

								Т а б л и ц а		8
					X
	Y	2			3	5		''у
	25	20		—		—			20
	45	—		30		I			31
	ПО	—			1	48			49
	Пх	20		31		49		/1=100
	Р е ш е н и е . Составим			расчетную табл. 9.
								Т а б л и ц а		9
X	"х	Ух	'';с^	«х^*	п^х*	"х^*	"х^х	«xi'x^	''х'Ух'''
2	20	25	40	80	160	320	500	1000	2000
3	31	47,1	93	279 i	837	2 511	1460	4 380	13 141
5	49	108,67	245	1225	6125	30 625	5325	26 624	133 121
2	100		378	1584	7122	33 456	7285	32 004	148 262

Подставив	числа, содержащиеся в последней строке табл. 9,
в (*), получим	систему уравнений		относительно неизвестных коэф­
фициентов Л, В, С:
	33456 Л +	7122 В+	1584 С = 148262,
	7122 А +1584 В +		378 С = 32004,
	1584 Л +	378 Б +	100 С = 7285.

197

Решив	эту систему	(например,	методом Гаусса), найдем: Л =2,94,
В=7^7^	С=—1,25.	Подставив	найденные коэффициенты в уравне­
ние регрессии ух = Ах^+Вх+С^			окончательно получим

^^=2,94х*+7,27х— 1.25.

Для того чтобы вычислить выборочное корреляционное отноше­ ние t)yxf предварительно найдем общую среднюю у, общее среднее квадратическое отклонение Оу и межгрупповое среднее квадратиче­ ское отклонение а- :

Ух

У = ( S Луу)/л=(20>25+31>45+49> 110)7100=72,85;

Oy=\^(Zny(y-^y)*)/n=

= ^"(20(25—72,85)«+31 (45—72,85)» + 49 (110~72,85)«)/100 =37,07;

<^77	^У(Епх(Ух-У)*)/п^
^х

= V^(20(25—72,85)«+31 (47,1—72.85)« + 49 (108,67-. 72,85)»)/100 = =35,95.

Найдем искомое выборочное корреляционное отношение:

г\ух = о - lOy = 35,95/37,07=0,97.

^х'

538. Найти выборочное уравнение регрессии у^=Лл:^4- +Вх + С и выборочное корреляционное отношение г\ух по данным, приведенным в корреляционной таблице:

а)

				X
Y	0	1	2	3		4	«1/
0	1 ^^	1	1				20
3	1	20					21
5	3	5	10	2			20
10			7	12			19
17				14	1	20	20
Пх	22	26	18			20	л=100

198

б)

у				X		1 %
	0	4	6	7	10
7	19	1	1 1				21
13	2	14				1	16
40		3	22	2			27
80				15			15
200					21		21
Пх	21	18	23	17	21	л = 100
в)
Y	0		4	X
				5		%
1
	50		5	1		56
35			44			44
50			5	45		50
Пх	50		54	46		/1 =	150
г)
				X
Y	0	1	2	3	4		%
10
	20	5					25
11	7	15	3	1			26
20		3	17	4	7	!	24
35			8	13			28
50				5	42		47
Пх	27	23	28	23	49	д = 150

199