Krivye_i_poverkhnosti

Известно, что в случае, когда I 2 0 кривая второго порядка имеет единственный центр

симметрии. Такая кривая второго порядка называется центральной. Это эллипс, гипербола, мнимый эллипс, точка, пара пересекающихся прямых. В противном случае, кривая называется нецентральной (это парабола, параллельные прямые, совпадающие прямые).

В случае, когда I3 0 кривая второго порядка называется невырожденной (эллипс, мнимый эллипс, гипербола, парабола). Если I3 0 , то кривая является вырожденной.

Определение типа кривой по инвариантам.

Невырожденные кривые

I3

0

эллипс

x 2

y 2

1

I

2

0 , I1 I3

0

a 2

b

2

мнимый эллипс

x 2

y 2

1

I

2

0 , I1 I3

0

a 2

b

2

гипербола

x 2

y 2

1

I

2

0

a 2

b

2

парабола

y 2

2 px

I 2

0

Вырожденные кривые

I3

0

Точка (вырожденный

x2

y 2

0

I

2

0

эллипс)

a

2

b

2

Пара пересекающихся

x 2

y 2

1

I

2

0

прямых (вырожденная

a

2

b

2

гипербола)

Пара мнимых параллельных

y 2

a2

прямых

I 2

0

Пара параллельных прямых

y 2

a2

Слившиеся прямые

y 2

0

Поверхности второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точек 3-

мерного действительного пространства, координаты которых в декартовой системе удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени

(*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, в таких случаях говорят, что уравнение (*) определяет мнимую поверхность второго порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 17 приведенных ниже канонич. видов, каждому из которых соответствует определенный класс поверхностей. Именно, невырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

- эллипсоид,

-мнимый эллипсоид,

- однополостный гиперболоид,

-двуполостный гиперболоид,

- эллиптический параболоид,

- гиперболический параболоид;

вырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

цилиндрические поверхности, -

- эллиптический цилиндр,

-мнимый эллиптический цилиндр,

- гиперболический цилиндр,

у 2 = 2рх -параболический цилиндр';

конические поверхности -

- коническая поверхность,

-мнимая коническая поверхность;

вырождающиеся распадающиеся поверхности:

- пара пересекающихся плоскостей,

- пара мнимых пересекающихся плоскостей,

- пара параллельных плоскостей,

х 2 + а 2=0 -пара мнимых параллельных плоскостей. x2= 0 -пара совпадающих плоскостей.

Рекомендуемые ссылки

1.http://mathmath.ru/index.php

2.http://phyzmech.narod.ru/files/curve_2_poryadka.pdf