Optics ebook-ver
.pdfОптика
Разрешающей способностью дифракционной решетки называется отношение
R =
Наименьшая разность длин волн двух спектральных линий , при которой спектральный прибор разрешает эти линии, называется разрешающим расстоянием. , фигурирующая
в формуле, является спектральным расстоянием. Его можно определить с помощью кри- терия Релея: спектры двух волн и 0 считаются разрешенными, если минимум одной
волны совпадает по положению с максимумом в том же порядке для второй волны. Найдем такое минимальное . Возьмем максимум порядка m для волны + и ближайший минимум для волны . Из критерия Релея
m( + ) = m + N1
Выражаем разрешающее расстояние и получаем
R = mN
Часть VI
Граничные условия. Дисперсия света и вращение плоскости поляризации.
В этой части будут рассмотрены явления, требующие более тщательного рассмотрения или иных моделей описания, нежели перечисленные ранее. Так, ни геометрическая, ни волновая оптика в полной мере не дают объяснения такому явлению как дисперсия света, а также не объясняют, как возможно вращение плоскости поляризации в оптически активных веществах.
24 Формулы Френеля.
Рассмотрим границу раздела двух сред. Из электродинамики известно, что в отсутствии токов и свободных зарядов должны сохраняться тангенциальные составляющие напряженности электрического и магнитного полей. Будем считать, что магнитная проницаемость для обоих сред равна единице.
Пусть на границу падает волна Ei, после чего она разделяется на отраженную Er è ïðî- шедшую Ed волны, описываемые функциями
h n i
Ei;r;d = Ai;r;d Exp !i;r;d t (rsi;r;d) i;r;dc
Вектора si;r;d есть единичные вектора направления волны. Падающая и отраженная волны находятся в одном полупространстве, поэтому ni = nr. Как уже было указано, граничные условия требуют, чтобы тангенциальные составляющие векторов были равны на границе раздела двух сред. Тангенциальную составляющую можно выделить, домножив поля векторно на единичный вектор нормали.
[Ein] + [Ern] = [Edn]
30
Оптика
Но очевидно, чтобы оно выполнялось в любой момент времени, необходимо, чтобы поля менялись синхронно, то есть !i = !r = !d. А для того чтобы это выполнялось на всей границе, необходимо
ki[sin] = kr[srn] = kd[sdn] |
( ) |
Из граничных условий также следует, что тангенциальные составляющие лежат на одной оси.
Через Oxy обозначим плоскость раздела. Oz направим из первой среды во вторую, а Ox по оси тангенциальных составляющих. Тогда можно ввести следующие обозначения
Cos = (nsi)
Cos = (nsd)
Cos 0 = (nsr)
Условие ( ) в новых обозначениях примет вид
!nc i Sin = !nc i Sin 0 = !nc d Sin
Откуда сразу же следуют закон отражения и закон преломления Снеллиуса.
Далее определим отношение амплитуды отраженной и прошедшей волны к амплитуде исходной. Для этого необходимо разбить вектора напряженности электрического и магнитного поля на составляющую, параллельную плоскости падения, и составляющую, перпендикулярную ей.
Рассмотрим уравнения порознь. Для составляющих, параллельных плоскости падения (индексы опущены), имеем проекции на ось Ox
Ei Cos + Er Cos = Ed Cos
Им соответствуют перпендикулярные составляющие векторов магнитной напряженности, для которых выполняется равенство тангенциальных составляющих, с учетом того, что в рассматриваемых средах nE = H
niEi niEr = ndEd
Знаки получены с учетом того, что такие пары компонент (H?; Ek) должны вместе с вектором направления s составлять правую тройку векторов для каждой из рассматриваемых волн. Выражаем из этих двух уравнений величины
r = |
Er |
t = |
Ed |
|
Ei |
Ei |
|||
|
|
После тригонометрических преобразований получаем для них формулы
r = |
|
Tg( |
) |
t = |
2 Sin Cos |
|
|
|
|
Tg( + |
) |
Sin( + ) Cos( |
|
) |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
Абсолютно аналогично для перпендикулярных составляющих электрической напряженности и параллельных составляющих магнитной имеем уравнения
Ei + Er = Ed
ni Cos niEr Cos = ndEd Cos
31
Оптика
Откуда точно так же выражаются коэффициенты r и t
r = |
Sin( |
) |
t = |
2 Sin |
Cos |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin( + |
) |
|
Sin( |
+ ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Получившиеся формулы для r и t называются формулами Френеля. В частности, из этих
уравнений следует, что при отражении от оптически менее плотной среды фаза колебания волны меняется на . Угол, соответствующий + = =2, дает, как несложно
видеть, коэффициент отражения для параллельной составляющей, равный нулю, так как тангенс обращается в бесконечность. Полученный в результате отраженный свет оказывается линейно поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Угол, при котором это происходит, называется углом Брюстрера, ему соответствует значение
тангенса Tg = nd ni
25 Дисперсия света.
Чтобы описать такое явление, как зависимость коэффициента преломления от частоты волны, недостаточно одних граничных условий и уравнений Максвелла. Дисперсия возникает вследствие взаимодействия электромагнитных волн с веществом, и е¼ описание входит в раздел молекулярной оптики, где прибегают к осцилляторной модели.
Будем рассматривать один периферийный электрон (называемый также оптическим) как линейный осциллятор, который описывается уравнением
m•r = kr gr + eE
Где k коэффициент квазиупругой возвращающей силы, g коэффициент затухания, введенный для учета поглощения света, а E внешнее электрическое поле, действующее
на электрон. Вообще говоря, следовало бы учесть также магнитное поле и микроскопи- ческое поле ~
E, но мы пренебрегаем их вкладом по сравнению с внешним полем за счет малости r по сравнению со скоростью света в силе Лоренца и положения о том, что среда
разряжена.
Перепишем уравнение
•r + 2 r + !02r = me E
В качестве внешнего поля возьмем монохроматическую волну A Exp[i!t ikr]. За счет достаточной малости радиуса атома мы можем пренебречь вкладом kr, считая поле однородным по всему объему атома. Окончательный вид уравнения
•r + 2 r + !02r = aei!t
Искать решение этого уравнения будем в виде r0ei!t. Подстановка этой функции на место r в уравнении даст следующее выражение для r0
a
r0 = !02 !2 + 2i !
Пусть p = er дипольный момент этого атома. Дипольный момент возникает за счет от-
клонения электрона от положения равновесия, благодаря чему нейтральный атом поляризуется. Дипольный момент связан с внешним электрическим полем пропорционально коэффициенту поляризации атома , откуда
e2E |
|
p = m(!02 !2 + 2i !) |
= E |
32
Оптика
Теперь из связи вектора электрической индукции можно получить выражение для ". Пусть концентрация частиц в среде , тогда вектор поляризуемости p
D = E + 4 p = E(1 + 4 ) = "E
Окончательно 4 e2
m(!02 !2 + 2i !)
Таким образом, показатель преломления n0 = p" имеет как действительную часть, так и мнимую. Мнимая часть обозначается { и называется коэффициентом поглощения.
"= n2 {2 + in{
Ó" можно отделить мнимую часть от действительной и получить систему уравнений для { и n, из которой определяются приближенные зависимости этих коэффициентов от частоты !.
Теперь мы можем усложнить модель, вводя в не¼ влияние соседних молекул. Для эффективного значения магнитного поля (суммы внешнего и внутреннего) мы возьмем уже
готовую формулу без вывода
4
Eef = E + 3 P
Вектор P поляризация вещества er. Исходное уравнение тогда преобразуется в
•r + 2 r + !02r = m Aei!t + 3 P |
||||||||
|
e |
4 |
|
|||||
Или после домножения на e |
|
|
|
|
|
|
|
|
P• + 2 P_ + !02P = |
|
e2 |
Aei!t + |
4 |
P |
|||
|
m |
3 |
Аналогично предыдущему случаю, поиск решения в виде P0ei!t дает следующее выраже-
íèå |
3 e2E |
|
|
P = |
= E |
||
3m(!02 !2 + 2i !) 4 e2 |
Коэффициент преломления легко выражается из полученного соотношения
"(!) = 1 + 4 = 1 + |
|
|
|
12 e2 |
|||||||
3m(!02 !2 + 2i !) 4 e2 |
|||||||||||
Величина |
|
|
1 |
|
" 1 |
|
|
4 e2 |
|
||
R |
= |
|
|
|
= |
||||||
" + 2 |
3m(!02 !2) |
||||||||||
|
|
Называется удельной рефракцией вещества.
26Вращение плоскости поляризации. Эффект Фарадея и Зеемана.
Опыт Фарадея-Верде показывает, что в постоянном магнитном поле происходит вращение плоскости поляризации линейно поляризованной волны. Эмпирически выведенная зависимость имеет вид
= lH
33
Оптика
Где угол поворота плоскости поляризации, l расстояние, пройденное в магнитном поле, H величина магнитного поля, а постоянная Верде. Плоскость поляризации вращается, если волна проходит вдоль направления вектора H. Воспользуемся осцилляторной моделью для описания этого явления. Уравнение для оптического электрона
•r + !02r = m |
E + c [rH] |
|
|
e |
1 |
Вектор H направим вдоль оси Oz, то есть H = Hk. Распишем векторное произведение
[rk]H = yHi xHj
Исходное уравнение разбивается на три скалярных, в которых компоненты x и y оказываются связанными. Уравнение для третьей компоненты опускаем.
x• |
eH |
|
e |
|
|
y + !0x = |
|
Ex |
|
mc |
m |
|||
eH |
|
e |
y• + mc x + !0y = mEy
Введем переменную = x + iy, домножим второе уравнение на мнимую единицу и сложим с предыдущим
• |
ieH _ |
|
e |
|
||
+ |
|
+ !0 |
= |
|
|
(Ex + iEy) |
mc |
m |
Разобьем падающую линейно поляризованную волну на две поляризованные по кругу, сумму Ex + iEy можно представить как E = Aei!t èëè êàê E . Решение будем искать в
âèäå = r0e i!t, чтобы оно удовлетворяло двум уравнениям для E и E .
|
|
|
Ae |
|||
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
= |
|
|
m |
||
|
|
|
eH! |
|||
|
!02 |
|
|
|||
|
!2 |
|
||||
|
mc |
Как и в предыдущем параграфе, можно выразить коэффициент преломления
|
|
|
|
4 e2 |
|||||
n |
2 |
= 1 + |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jejH! |
|||
|
|
2 |
! |
2 |
|
||||
|
|
!0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
mc |
Вращение плоскости поляризации можно объяснить как двойное лучепреломление, при котором существуют два луча с разными коэффициентами преломления, один из которых обладает правой поляризацией по кругу, а второй левой. Наложение двух этих волн порождает вращение линейно поляризованного света. Запишем разницу квадратов
|
4 |
2jej3H! |
|
|
|
|
(n + n+)(n n+) = |
m2c |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
! |
2 |
||
(!02 !2)2 j mcj |
|
|||||
|
|
|
e H! |
|
|
Вторым членом в знаменателе можно пренебречь по отношению к квадрату разности ча- стот. Сумму коэффициентов приближенно можно считать 2n, где n коэффициент пре-
ломления вещества.
n n+ = 4 jej3H!
n(!02 !2)2
34
Оптика
Угол поворота найдем как разницу фаз
= |
1 |
(kn l |
|
kn+l) = |
2 jej3!2 |
Hl = Hl |
|
2 |
n(!02 !2)2m2c2 |
||||||
|
|
|
|
Таким образом, мы определили выражение для постоянной Верде, которое хорошо сходится с экспериментальными данными.
Рассмотрим также такое явление, как эффект Зеемана расщепление спектральных линий в магнитном поле. Описание будем проводить опять же с помощью осциляторной модели. Уравнение движения оптического электрона
m•r + kr = jecj[rH]
Направим вектор магнитной напряженности по оси Oz и разобьем уравнение на три скалярных
x• + 2 y + !02x = 0 y• 2 x + !02y = 0 z• + !02z = 0
Ãäå = jejH=2mc Ларморова частота. Решение будем искать для (x; y) в виде aei!t è bei!t. Определитель системы для неизвестных a и b
Det |
2 |
!02 !2 |
2 |
|
2 |
3 |
= (!0 |
! |
) |
|
4 ! |
|
|
4 |
2i ! |
|
5 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
||
|
2i |
!0 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
Должен равняться нулю, чтобы существовали решения, отличные от тривиальных. Имеем два положительных корня для !
q
! = + 2 + !02
Квадратом ларморовской частоты можно пренебречь даже в очень сильных полях. Мы получили в качестве решения две волны, которые различаются на ларморовскую часто- ту от собственной частоты !0 электрона, то есть спектр излучения расщепляется на две волны, если они двигаются вдоль магнитного поля. Третье уравнение, как легко видеть, удовлетворяет решению для излучения с собственной частотой электрона !0, которое рас- пространяется поперек магнитного поля. Тройка величин
!0 ; !0; !0 +
Называется зеемановским триплетом.
35