vasyliev_phys_optica_manual

Задача 4.4 (№ 5.216/5.231)

Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность плоско- параллельной пластины толщины l. Показатель поглощения вещества пла- стины линейно меняется вдоль нормали к ее поверхности от значения k1 до k2. Коэффициент отражения от каждой поверхности пластины равен ρ. Пре- небрегая вторичными отражениями, определить коэффициент пропускания такой пластины.

РЕШЕНИЕ

Приняв за начало отсчета обращенную к падающему пучку поверхность пла- стины, зависимость показателя поглощения от координаты x вдоль нормали к

поверхности пластины можно записать в виде k(x) = k1 + k2 - k1 x .

l

Интенсивности падающего пучка I0 и пучка, прошедшего без отражения через поверхность пластины, I1 связаны соотношением I1 = (1- ρ) I 0 .

Интенсивность света I2, распространяющегося внутри пластины с показателем поглощения k(x), убывает по закону Бугера dI 2 = −I 2 k dx . С учетом явной зави-

симости k(x), уравнение, описывающее убывание интенсивности света I2(x)

принимает вид

	dI	2	æ
			= -ç
	I 2
			è

	k	2	- k	1	ö
k1 +					x÷ dx .
			l
					ø

После интегрирования имеем

æ	k	2	- k	1	ö	+ ln A ,
ln I2 = -xçk1 +					x÷
			2l
è					ø
где A - неизвестная константа, для определения которой необходимо учесть
граничные условия на обращенной			к		падающему пучку поверхности

I 2 (x = 0) = I1 , откуда следует А=I1.

После полного прохождения толщины пластины интенсивность света на про- тивоположной поверхности I2 (x = l) = I1e−(k1 + k2 )l2 .

В свою очередь, интенсивность пучка I3 на выходе пластины, т.е. пучка, не ис-

пытавшего отражения на поверхности x=l, равна

I3 = (1- ρ) I2 = (1- ρ)2 I0 e−(k1 + k2 ) l2 ,

откуда следует, что полный коэффициент пропускания пластины

τ = I3 = (1- ρ)2 e−(k1 +k2 ) l 2 .

I0

ЗАНЯТИЕ 7

Тема занятия: оптика движущихся источников.

В предложенных задачах рассматриваются следующие вопросы:

7.1- эффект Доплера в общем случае;

7.2- продольный эффект Доплера;

7.3- основы радиолокации;

7.4- доплеровское уширение линий.

ЗАДАЧА 7.1(5.226/)

Одна из спектральных линий, испускаемых возбужденными ионами He+, имеет длину волны λ = 410 нм. Найти доплеровское смещение Δλ этой линии, если ее наблюдать под углом θ = 300 к пучку движущихся ионов с кинетической энергией Т = 10 МэВ.

Решение

В основе явлений, рассматриваемых на этом занятии, лежит эффект Доплера. Поясним, что понимают под этим названием. Допустим, что S является источником волн. Очевидно, частота колебаний волны определяется процессами, происходящими в самом источнике S. Однако в нашем распоряжении нет методов непосредственного измерения частоты колебаний источника, поэтому о ней судят по измерениям, производимым вне источника волны. В каком же соотношении находятся эти величины - действительная частота колебаний источника и частота колебаний, измеряемая наблюдателем? Доплер (1842 г.) впервые указал на то, что воспринимаемая частота колебаний, а также длина волны зависят не только от процессов, происходящих внутри источника волн, но и от того, находятся ли приборы, примененные для измерения частоты, в покое или движутся по отношению к источнику света. Изменение воспринимаемой частоты колебаний,

обусловленное движением наблюдателя относительно источника волн, и называют эффектом Доплера. При исследованиях оказалось, что в случае световых волн этот эффект не зависит от того, что движется - источник света или приборы, регистрирующие частоту световых колебаний. Математическим выражением эффекта Доплера является следующая формула:

	λ = λ 0	1 − β c o s θ			; β =	v
						c
		1 − β 2

где v - относительная скорость источника и приемника, с - скорость света в вакууме, θ - угол между направлениями

относительного движения источника и приемника и линией наблюдения, а λ и λ0 - длины волн, фиксируемые наблюдателем и неподвижно излучаемым источником. В нерелятивистском случае (β<<1) формула упрощается( Δλ = λ - λ0 ) -

λ	= −	v	co s θ
λ 0		c

По условию задачи известным является кинетическая энергия. Из нее можно определить скорости возбужденных ионов, которые и являются источниками излучения. Так как кинетическая энергия ионов Т << mHe·c2 энергии покоя атомов гелия, то можно использовать классическую формулу для кинетической энергии:

T =	mv2	. Тогда	v	=		2T			. Так как mHe·c2 = 4·938.3 МэВ, то
			c			m H e c	2
2

2Т

λ= − λ 0 β co s θ = λ 0 m H e c 2 co s θ = - 26 нм.

ЗАДАЧА 7.2(5.227/)

При наблюдении спектральной линии λ = 0.59 мкм в

направлениях на противоположные края солнечного диска на его экваторе обнаружили различие в длинах волн на δλ = 8 пм. Найти период вращения Солнца вокруг собственной оси.

Решение

Наблюдатель, находящийся на Земле, видит движение Земли вокруг Солнца так, как изображено на рисунке 7.1. Направление

вращения Солнца вокруг собственной оси показано на

Арисунке стрелкой. При этом

					скорости исследуемых точек
					А и В солнечной
					поверхности равны по
				В	величине и
	Рис. 7.1				противоположны по
					направлению. В силу
					того, что расстояние между

Солнцем и Землей во много раз больше размеров Солнца, то угол между линией наблюдения ( изображена пунктиром ) и

направлением движения источника для точки А равен 1800, а для точки В - нулю. Поэтому разность частот, излучаемых точками А и В, с точки зрения наблюдателя на Земле может быть определена с помощью формулы для классического эффекта Доплера:

D w

=

v

cos q после несложных вычислений. Расчет дает ( с -

c

w 0

скорость света ) d l

=

2 v А

. Скорость vА может быть вычислена

l 0

c

так: v A

=

2 p R C

, где RC - радиус Солнца, а ТС - период его

T C

обращения вокруг своей оси. Итак,

4 p R C l

TC

=

c

= 25 суток.

d l

ЗАДАЧА 7.3(5.230/)

Радиолокатор работает на длине волны λ = 50.0 см. Определить скорость приближающегося самолета, если частота биений между сигналом передатчика и сигналом, отраженным от самолета, в месте расположения локатора равна Δν = 1.00 кГц.

Решение

Биениями называется результат наложения двух волн одного направления с близкими частотами. В данном случае это излучаемая радиолокатором волна и волна, отраженная от самолета. В

результате сложения этих волн в месте расположения радиолокатора получается волна с медленно ( относительно основной частоты ) меняющейся амплитудой. Обычно за амплитуду биений принимают величину, равную

æ Dwtö

Амплитуда = 2А cosç ÷

è 2 ø

где А - амплитуда излучаемой волны, а ω = 2πν- ее частота. Если радиолокатор работает на длине волны λ, то частота этой волны

n = lс .

Частота же отраженной волны может быть найдена по формуле эффекта Доплера

	æ		v	ö
	nОТР = nç1	-		cosq÷ .
			c
	è			ø

Для продольного эффекта Доплера ( θ = 0 ) можно записать

частоту биений как

DnБ =	(n - nОТР )	=	v	.
	2
			l

Тогда скорость самолета v будет равна

v =	Dn × l	= 250 м/с.
	2

ЗАДАЧА 7.4(5.238/)

Газ состоит из атомов массы m, находящихся в термодинамическом равновесии при температуре Т. Пусть ω0 - собственная частота излучаемого атомами света.

а) Показать, что спектральное распределение излучаемого света

определяется формулой

I ω = I 0 × e − a (1 − ω / ω 0 )2 , ( I0 - cпектральная интенсивность,

соответствующая частоте ω0, а = m·c2/(2kT).

б) Найти относительную ширину Δω/ω0 данной спектральной линии, то есть ширину линии между частотами, при которых Iω = I0/2.

Решение

Посмотрим на газ в некотором направлении, в котором и направим ось х. Тогда атомы в газе будут в данный момент иметь различные проекции скорости теплового движения Vx на эту ось.

Распределение их по проекции скорости при термодинамическом равновесии определяется формулой Максвелла:

		æ	m ö 1/ 2			−	m V 2
	=						2 k T d V x ,
d n x		n ç		÷	e
		è	2 pk T ø

где dVx - интервал проекций скоростей, в котором находятся проекции скоростей у dnx атомов; n - число атомов в единице объема. Из условия задачи ясно, что ω0 - частота, излучаемая неподвижным атомом при данной температуре. В нашем случае каждый атом имеет некоторую проекцию Vx и излучает не частоту ω0, а частоту ω, которая связана с Vx формулой для продольного эффекта Доплера ( в нерелятивистском случае, как у нас, продольного эффекта Доплера нет ). Поэтому

			V		æ		V	x	ö
	w = w 0	(1 +		cos q ) = w 0	ç1	+			÷ .
			c				c
					è				ø

Отметим, что в этой формуле Vx > 0, когда излучающий атом движется нам навстречу. В единице объема таких атомов ( имеющих проекцию скорости в интервале от Vx до Vx + dVx ) будет dnх. Тогда энергия, излучаемая атомами в диапазоне от ω до ω +dω, будет пропорциональна числу излучающих атомов, то есть

	æ	m ö		1/ 2	−	m c2 ( ω − ω 0 )2	dw .
						2
dE(w ) ~ dn x (w ) =	n ç		÷		e	2 kTω 0
	è	2pkT ø

Спектральная интенсивность Iω, то есть энергия, переносимая

волной через единицу площади в данном направлении в единицу времени и имеющая частоты в единичном частотном интервале, будет иметь ту же частотную зависимость, что и dEω/dω. Поэтому окончательно получаем искомую формулу:

I ω =	I 0 ×	e	−	m c 2 (1 − ω / ω 0	)2	.
				2 k T

Вторая часть задачи решается с помощью несложных вычислений, которые дают следующий результат:

Dw	=	2 kT ln 2	.
w 0		m c 2

Задачи, рекомендуемые по этой теме в качестве домашнего задания: 5.224/, 5.228/, 5.231/, 5.233/. 5.239/.

Занятие 2.

Тема занятия: Излучение абсолютно черного тела (АЧТ). Формула Планка.

Рекомендуемые задания на дом : №№ 5.254/5.272, 5.257/5.275, 5.258/5.276, 5.260/5.278

Задача 2.1 (№ 5.253/5.270)

Полость объемом V=1.0 л заполнена тепловым излучением при температуре

T=1000 K. Найти :

а) теплоемкость CV ;

б) энтропию этого излучения S.

РЕШЕНИЕ

а) Согласно определению теплоемкости

CМ	æ dEö			,
	= ç		÷
	è dT øV

где внутренняя энергия во всем объеме E = u×V , u - объемная плотность энер- гии излучения АЧТ, связанная с энергетической светимостью MЭ соотношени-

ем u =

4

MЭ . Последняя,

в

свою

очередь, подчиняется закону Стефана-

c

4

Больцмана для излучения АЧТ MЭ = σ T 4 . Таким образом,

σ T 4V , и, окон-

E =

c

чательно

Vσ T3

CV

æ dE ö

= 3 нДж K .

= ç

÷ =

16

c

è dT øV

б) Согласно второму началу термодинамики, дифференциал энторпии dS = dQT . Поскольку в рассматриваемом случае объем V постоянен, dQ = dE , и, следова-

	тельно,	dS =	dE	= 16	Vσ T3	dT . Учитывая, что при T=0 энтропия S0=0, после ин-
			T		c
							16Vσ T3
	тегрирования окончательно получаем S =									= 1 нДж K .
							3		c

Задача 2.2 (№ 5.256/5.274)

Преобразовать формулу Планка для объемной спектральной плотности излу- чения uω от переменной ω к переменным ν (линейная частота) и λ (длина волны).

Энергия теплового излучения АЧТ в интервале частот [ω, ω+dω] может быть

выражена через объемную спектральную плотность излучения

dEω = uω dω = uν dν = uλdλ ,

где u	ω	описывается формулой Планка u	=	hω3			1
				π 2c3 æ hω ö
		ω							- 1
						expç		÷
				è			kT ø

, а ω, ν и λ связаны

соотношениями ω = 2πν , dω = 2π dν и ω =	2 π c	,	dω = -	2π c	dλ , то есть вы-
	λ			2
				λ

бранному положительному dω соответствует dλ<0. Таким образом, выраже- ние для dE может быть переписано, соответственно, через dν и dλ :

dE =

h(2πν) 3

1

2π dν и dE =

h

æ

2π cö3

1

2π c

d λ ,

2

3

ç

÷

π

c

æ

2π hν ö

π

2

c

3

æ

2π hcö

2

- 1

è

λ ø

- 1

λ

expç

÷

expç

÷

è

kT ø

è

kTλ ø

откуда следует

u =

16π 2h

ν3

и u =

16π 2hc

1

c3

æ

2π hν ö

λ5

æ

2π hcö

ν

- 1

λ

- 1

expç

÷

expç

÷

è

kT ø

è

kTλ ø

4

Задача 2.3 (№ 5.259/5.277)

Найти с помощью формулы Планка выражения, определяющие число фото- нов в 1 см3 полости при температуре T в спектральных интервалах [ω, ω+dω]

и [λ, λ+dλ].

Энергия единицы объема dE, приходящаяся на электромагнитные колебания с частотой ω, т.е. c энергией фотонов hω, может быть выражена через объем- ную спектральную плотность излучения : dE = uωdω. Число таких фотонов равно dnω = hdEω , где частота связана с длиной волны соотношением ω = 2πλ c .

Число фотонов с энергией в спектральном интервале [ω, ω+dω], находящихся в объеме полости V, равно

dN		= dn V =	ω 3V		dω		.
	ω		π 2c3	æ hω ö
		ω				- 1
				expç	÷
				è	kT ø

Для нахождения числа фотонов в интервале [λ, λ+dλ] воспользуемся резуль- татом задачи 2.2 для объемной спектральной плотности излучения uλ :

dN		= dn V =	8πV			d λ			.
	λ		λ4	æ		2π hc ö
		λ						- 1
					expç		÷
				è		kTλ ø