int-neop

40

Оглавление

35. Доказать, что Z

® sin x + ¯ cos x

dx = Ax + B ln ja sin x + b cos xj+ C;

a sin x + b cos x

ãäå A; B; C постоянные, x 6= k¼ ¡ arctg

b

:

a

36. Доказать, что

® sin x + ¯ cos x + °

Z

dx =

a sin x + b cos x + c

=Ax + B ln ja sin x + b cos x + cj + C Z

dx

;

a sin x + b cos x + c

ãäå A; B; C некоторые постоянные коэффициенты.

37. Доказать, что

Z

®sin2x + 2¯ sin x cos x + °cos2x

dx =

a sin x + b cos x

=A sin x + B cos x + C Z

dx

;

a sin x + b cos x

ãäå A; B; C некоторые постоянные коэффициенты, x 6= k¼ ¡

arctg

b

:

a

38. Найти интеграл Z

f(x)dx; ãäå

a)

f(x) =

8

1 ¡ x2;

åñëè jxj · 1;

<

1

x

;

åñëè

x

> 1;

:

¡ j

j

åñëè

j j

8

1;

¡ 1 < x < 0;

b)

f(x) =

> x + 1;

åñëè 0

·

x

·

1;

>

>

<

åñëè 1 < x < +1:

>

2x;

>

>

Z

:

Z

39. Найти интеграл a)

xf00(x)dx; b)

f0(2x)dx:

40.Найти f(x); åñëè f0(x2) = x1 (x > 0):

41.Найти f(x); åñëè f(0) = 0; à

8

< 1; ïðè 0 < x · 1;

f0(ln x) = : x; ïðè 1 < x < +1:

1. Неопределенный интеграл

41

42.Докажите утверждение.

Если первообразная элементарной функции f не является элементарной функцией, а ' - элементарная дифференцируемая функция, то функция f('(x))'0(x) элементарная, но не интегрируемая в классе элементарных функций.

43.При каких рациональных значениях параметра q интеграл Z p1 + xqdx является элементарной функцией?

42	Оглавление

Литература

[1]Б.М.Будак, С.В.Фомин, Кратные интегралы и ряды, М.:Наука, 1967.

[2]Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович, Сборник задач по теории функций комплексного переменного, М.:Наука, 1970.

[3]В.Грэнвиль и Н.Лузин, Курс диференциального и интегрального ис- числения. Часть II. Интегральное исчисление, Ì.-Ë.: ÎÍÒÈ, 1934.

[4]Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу (для университетов и педагогических институтов),

М.:Наука, 1961.

[5]В.А. Зорич, Математический анализ. Части I,II, М.:Наука, 1981, 1984.

[6]В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Основы математического анализа. Части I,II, М.:Наука, 1971, 1973.

[7]В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов, Математический анализ, М.:Наука, 1979.

[8]А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.:Наука, 1968.

[9]М.Л. Краснов, А.И. Кисел¼в, Г.И. Макаренко, Задачи и упражнения. Функции комплексного переменного. ... М.:Наука, 1971.

[10]Н.Н.Лузин, Интегральное исчисление, Л.: Советская Наука, 1949.

43

44	Литература

[11]И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, А.Ф. Калайда, Математиче- ский анализ. Части I,II, Киев:Вища школа, 1983, 1985.

[12]И.И.Ляшко, А.К.Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П.Головач, Справочное пособие по математическому анализу, Киев:Вища школа, 1984, 1986.

[13]И.А.Марон, Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах, М.: Наука, 1973.

[14]Математическая энциклопедия (в пяти томах), М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

[15]И.П. Натансон, Теория функций вещественной переменной.

М.:Наука, 1974.

[16]И.Н.Песин, Развитие понятия интеграла, М.: Наука, 1966.

[17]Д.А. Райков, Одномерный математический анализ. М.:Высшая школа, 1982.

[18]Я.И.Ривкинд, Дифференциальное и интегральное исчисление в задачах, Минск: Вышэйшая школа, 1971.

[19]У. Рудин, Основы математического анализа, М.:Мир, 1966.

[20]А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов, Теория функций комплексной переменной, М.:Наука, 1974.

[21]В.И.Соболев, Лекции по дополнительным главам математического анализа, М.:Наука, 1968.

[22]Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления. Тома I,II,III, М.:Наука, 1969, 1962, 1969.

[23]Г.М. Фихтенгольц, Основы математического анализа. Тома I,II,

М.:Наука, 1968.

Литература

45

[24]М.Г.Хапланов, Теория функций комплексного переменного, М.: Просвещение, 1965.

[25]Г.Е. Шилов, Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1-2, М.:Наука, 1969.

Предметный указатель

дробь рациональная, 17

неправильная, 17 правильная, 17 простейшая, 21

формула интегрирования по частям, 13

функция подынтегральная, 5

интеграл неопределенный, 5

метод интегрирования по частям, 13

подстановки, 11, 12 разложения, 10 замены переменной, 11, 12

обозначенияZ

f(x) dx, 5

Z

, 5 первообразная, 3

подстановка универсальная, 27 выражение подынтегральное, 5 знак неопределенного интеграла,

5

46