лекции

	Типовые элементы структурных схем САУ
1.	Звено	y p W p x p

Узел

2.разветвления

3.	Сумматор	x3	x1 x2

	4.	Элемент	x3	x1 x2
		сравнения

5. Линия связи

Для упрощения (свертывания) сложных алгоритмических схем применяют три главных правила преобразования, с помощью которых определяют эквивалентные передаточные функции типовых соединений звеньев.

Преобразование структурных схем САУ.

1. Последовательное соединение

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение.

Определить передаточную функцию всей системы.

31

Wc	p ?
x1 p W1 p x p
y p W2			p x1 p W2 p W1				p x p
Wc	p	y p				W2 p W1 p x p			W2	p W1	p
		x p				x p

2. Параллельное соединение

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение.

	Wc p ?
	y p x1 p x2 p W1 p x p W2 p x p
	W1 p W2 p x p
	Wc p	W1 p W2 p x p		W	p W p
		x p
				1	2

3. Соединение с положительной (отрицательной) обратной связью.

Передаточная функция соединения с отрицательной (положительной) обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (минус) произведение передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи.

Соединение звеньев с отрицательной обратной связью.

Wc p ?

e p x p x1 p

x1 p W2 p y p

y p W1 p e p W1 p x p W2 p y p

y p W1 p W2 p y p W1 p x p

y p 1 W1 p W2 p W1 p x p

y p

W1 p x p

1 W p W

p

1

2

W1 p x p

W1 p

Wc p

y p

x p

x p

1 W1 p W2 p

W1 p W2

p

1

32

Структурная схема звеньев с положительной обратной связью.

Wc	p		W1 p
			W1 p W2	p
	1

С помощью этих правил удается преобразить любую исходную алгоритмическую схему, не содержащую перекрестных связей, к одноконтурной схеме.

Алгоритмическую схему замкнутой системы управления (и саму систему) называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке образуется цепь, не содержащая параллельных соединений и обратных связей. Цепь, полученная при размыкании замкнутой системы (см. рис. а) между точками А и В, не содержит параллельных соединений и обратных связей.

Получаемая при размыкании одноконтурной системы цепь последовательно соединенных элементов, стоявших внутри замкнутого контура, называется разомкнутым контуром системы (см. рис. б). В соответствии с этим определением

Передаточная функция разомкнутого контура Wр.к.(р)

одноконтурной системы равна произведению передаточных

функций всех элементов, стоящих внутри контура системы. Передаточные функции элементов, стоящих вне замкнутого

контура, никогда не входят в произведение Wр.к.(р).

Для нашей системы

Wр.к. p W1 p W2 p W3 p W4 p ,

33

передаточные функции W5(p) и W6(p) не входят в это произведение, т.к. эти элементы стоят вне замкнутого контура.

Преобразование системы с обратной связью

Если система состоит из простых звеньев, соединенных последовательно, и сигнал проходит только по одной цепи, то при замыкании этой цепи, путем подачи выходной переменной на вход

(главная ОС) будет получена одноконтурная замкнутая система.

а) G

1

х=G±xос

б) G

1

W

2

W*Wос

2

1

y

Wос

хос

±

±

Wос

в)

G

1

2

y

г)

G

y

W

±

W*Wос

а) исходная система, б) с единичной ОС, в) с единичной прямой

связью, г) эквивалентное звено

Рисунок 4.1 – преобразование системы с обратной связью

Пример:

							f(t)			g(t) – входное
g(t)				e					x(t)	воздействие,
										f(t) – возмущение,
						W(s)
										е – ошибка
	x -
										(рассогласование).

= 1 + 2

= ( ) −

= − ( ) + ( ) ( )

f(t)

M(s)

g(t)	e	W(s)	x(t)
	x -		y(t)=0*
			y(t)=0**

= ( ) ( ) − ( ) + ( ) ( )

34

(1 + ( )) = ( ) ( ) + ( ) ( )

(1 + ( )) = ( ) ( )

=

( )

= Ф ( )

( )

1 + ( )

Ф ( ) =

=

( ) −

=

1

( )

1 + ( )

( )

Ф ( ) =

=

−

= −

( )

( )

( )

1 + ( )

21.04.2014

Многоконтурные структурные схемы

При определении передаточной функции многоконтурной системы используется принцип вложенности: определяется минимальный вложенный контур и его передаточная функция. А далее переходят к следующему контуру, при этом первый контур заменяется звеном с

полученной передаточной функцией.
Wc p ?				W1 p
WI	p
				W1 p W2 p
	1
Wc	p			W1 p W3 p
				W4 p WI p W3 p
	1

В итоге получим схему:

35

Некоторые правила структурных преобразований

1 Перенос сумматоров

2 Перестановка звеньев

3Перенос узла с выхода сумматора на вход

4Перенос узла с входа сумматора на выход

5Перенос узла с выхода звена на вход

6Перенос узла со входа звена на выход

7Перенос сумматора с выхода звена на вход

8Перенос сумматора со входа звена на выход

Замена передаточных

9функций прямой и обратной цепи

Приведение	к
10 единичной	обратной
связи

36

Е

y(t)

x(t) – задающее воздействие

ОР

y(t) – выходная величина

e(t) – ошибка

-

E – возмущение

U(t)

e(t)

x(t)

U(t) – управляющее

РУ

воздействие

( ) = ( )

( ) = − ру ( ), при ( ) = 0

Для разомкнутой цепи:

-

ОР

РУ

= −

ор

ру

( ) = ( − ру ( )) ор

( ) = ор − ру ( ) ор

( ) + ру ( ) ор = Е ор

( ) (1 + ру ор) = ор

Ф ( ) =

( )

Ф( ) = ор⁄ +

- уравнение для замкнутой системы

ор

ру

28.04.2014

Устойчивость САУ.

Устойчивость автоматической системы – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

а), А0 – невозмущенное состояние, А2 – возмущенное состояние; б) изображено неустойчивое состояние системы; в) – ее нейтральное состояние.

37

Устойчивость – свойство системы, которое обеспечивает ее работоспособность.

y	y	1
	1
2		2

0	t	t
		0

а)

б)

Рис. 7.1. К понятию устойчивости САУ.

На рис. 7.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 7.1, а) и устойчивой (рис. 7.1, б) системах. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1 на рис. 7.1, а) или колебательным (кривая 2 на рис. 7.1, а).

Устойчивую систему можно определить так же как систему, переходные процессы в которой являются затухающими. Устойчивость не зависит от входных и возмущающих воздействий, а зависит только от характера самой системы, т.е. от ДУ, которым система описывается.

Рассмотрим замкнутую систему

Рисунок 5.3 – структурная схема линейной системы

Передаточная функция данной системы имеет вид:

( ) ( )з(р) = 1 + ( ) = ( )

Где Wp – передаточная функция замкнутой системы, N – нумератор, D – денумератор.

( ) = 0 + 1 −1 + + −1 +( ) = 0 + 1 −1 + + −1 + – характеристический полином

Для физически реализуемых систем m n

38

Процессы в системе описываются ДУ:
( ) × ( ) = ( ) × ( )	( . )
- неоднородное уравнение этой системы.

Решение (5.2) в общем виде состоит из двух составляющих:

( ) = уст( ) + ( )уст( )- частное решение неоднородного уравнения

( ) – общее решение неоднородного уравнения

( ) × ( ) = 0

Система будет устойчивой, если переходный процесс yn(t), вызванный любыми возмущениями, будет затухать, т.е. если с течением времени yn(t) будет стремиться к нулю.

Решение ( ) однородного уравнения:

( ) = ∑ × ,

=1

Ck – постоянная интегрирования, определяющаяся начальными условиями и возмущениями; pk –корни характеристического уравнения; D(p) = 0, D(p) – полином, называемый характеристическим

– левая часть уравнения (5.2).

Корни характеристического уравнения могут быть вещественными, мнимыми, комплексно сопряженными.

Из теории комплексных переменных известно, что если вещественная часть корня pk отрицательна, то слагаемое × → 0 стремится к нулю при t .

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно,

чтобы все корни характеристического уравнения имели

отрицательные вещественные части.

Рисунок 5.3 – Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости

39

Алгебраические критерии устойчивости Критерий Гурвица

Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

a0 p a1 pn 1 ... an 1 p an 0 ,

устойчива, если при a0>0 положительны все определители ∆1, ∆2, . . .∆п вида

		a1	a3	a5 ...	0	0
		a0	a2	a4 ...	0	0
		0	a1	a3 ...	0	0
i		0	a0	a2 ...	0	0	, i 1, 2, n
		... ... ... ... ...				...
		0	0 ... ...		a2i 3	0
		0	0 ... ...		a2i 4	a2i 2

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4.

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1) a0 p a1 0

условие устойчивости: а0>0 и ∆1=а1>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

a0 p2 a1 p a2 0

условие устойчивости:

a0 0, 1 a1 0
2 a2 1 0 или a2	0

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

a0 p3 a1 p2 a2 p a3 0

условие устойчивости:

40