2022_008
.pdfЗадачу рационально решить с помощью противоположного события. Для события "не менее " противоположным является событие "менее ".
Это событие означает, что из |
семян взойдут или или . |
Величина принимает |
значения. По теореме сложения вероятно- |
стей противоположных событий и теореме сложения вероятностей несовместных событий запишем выражение для искомой вероятности:
|
|
|
. |
|
|
|
|||
Вычислим вероятность |
|
|
|
. Имеем следующие числовые данные: |
|||||
, |
, |
, |
. Подставляем в формулу Бернулли: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим вероятность |
|
|
|
. Имеем следующие числовые данные: |
|||||
, |
, |
, |
. Подставляем в формулу Бернулли: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим вероятность |
|
|
|
. Имеем следующие числовые данные: |
|||||
, |
, |
, |
. Подставляем в формулу Бернулли: |
|
|||||
Окончательно: |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) |
; 2) |
; 3) |
. |
|
|
||||
Пример 3.10.2. Найти вероятность того, что из |
посеянных семян |
||||||||
не взойдёт |
, если всхожесть семян оценивается вероятностью |
. |
Решение. Для решения задачи используем локальную теорему Лапласа. Одно семя рассматриваем как одно независимое испытание. Число
всех |
независимых |
|
испытаний |
равно числу |
посеянных семян, |
то |
есть |
||||||||||||
|
. По условию вероятность всхожести семян равна |
, |
то есть |
||||||||||||||||
|
. Соответственно, вероятность невсхожести семян равна |
|
, то |
||||||||||||||||
есть |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Имеем следующие числовые данные: |
, |
, |
|
, |
||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполняем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
|
, находим искомую вероятность: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Ответ: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 3.10.3. Всхожесть семян данного растения составляет |
. |
|||||||||||||||||
Найти вероятность того, что из |
посеянных семян взойдёт не менее |
. |
Решение. Для решения задачи используем интегральную теорему Лапласа. Одно семя рассматриваем как одно независимое испытание. Число
всех независимых испытаний равно числу посеянных |
семян, |
то есть |
|
. По условию всхожесть семян составляет |
. |
Поэтому вероят- |
|
ность всхожести каждого семени постоянна и равна |
, |
то есть |
. |
171 |
|
|
|
Соответственно, невсхожесть семян составляет |
. Поэтому вероятность |
|||
невсхожести каждого семени постоянна и равна |
, то есть |
|
. |
|
Имеем следующие числовые данные: |
, |
, |
, |
|
, |
. |
|
|
|
Выполняем вычисления:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, |
что |
, |
|
, находим иско- |
|||||||||||||||||||||
мую вероятность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Ответ: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 3.10.4. На базу отправлено |
|
изделий. Вероятность то- |
|||||||||||||||||||||||
го, что изделие в пути получит повреждение, равна |
. Найти вероят- |
ность того, что на базу прибудет повреждённых изделия.
Решение. Одно изделие рассматриваем как одно независимое испытание. Число всех независимых испытаний равно числу отправленных из-
делий, то есть |
. По условию вероятность повреждения изделия |
|
равна |
, то есть |
. Так как число испытаний достаточно ве- |
лико и вероятность наступления события в одном испытании достаточно мала, то для решения задачи используем формулу Пуассона.
Имеем следующие числовые данные: |
, |
, |
, |
||
. |
|
|
|
|
|
Выполняем вычисления: |
|
|
|
||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
. |
|
|
|
|
|
|
10.2. Случайные величины |
|
|
|
Справочный материал. |
|
|
|
||
Законы распределения дискретных случайных величин. |
|
|
|||
1. Биномиальное распределение. Пусть проводится |
независимых |
||||
испытаний, в каждом из которых вероятность |
появления события |
по- |
стоянна. Пусть – дискретная случайная величина числа появлений собы-
тия в этих испытаниях. Она принимает значения |
|
с вероятно- |
|||||||||
стями, вычисленными по формуле Бернулли: |
|
|
|
|
|||||||
|
, где |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Табличная форма биномиального распределения имеет вид: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для биномиального распределения |
, |
. |
|
|
||||||
|
2. Распределение Пуассона. Пусть проводится |
независимых испы- |
|||||||||
таний, в каждом из которых вероятность |
появления события постоянна. |
Пусть вероятность наступления события в каждом испытании стремится к при неограниченном увеличении числа испытаний , причём произ-
ведение |
стремится к постоянному числу . Пусть – дискретная слу- |
|
172 |
чайная величина числа появлений события |
в этих испытаниях. Она при- |
|||
нимает значения |
с вероятностями, вычисленными по формуле |
|||
Пуассона: |
|
|
, где |
. |
|
|
Табличная форма распределения Пуассона имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для распределение Пуассона |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3. Геометрическое распределение. Пусть проводится |
независимых |
|||||||||||||
испытаний, в каждом из которых вероятность |
появления события по- |
стоянна. Пусть – дискретная случайная величина числа испытаний, которые нужно провести до первого появления события . Она принимает зна-
чения |
с вероятностями, вычисленными по формуле: |
||||||||||||||
|
|
|
, где |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табличная форма геометрического распределения имеет вид: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для геометрического распределения |
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4. Гипергеометрическое распределение. Это распределение исполь- |
|||||||||||||
зуют при решении следующей задачи. Пусть в партии из |
изделий имеется |
||||||||||||||
стандартных. Из партии случайно отбирают |
изделий, причём отобран- |
ное изделие перед отбором следующего в партию не возвращается. Требу-
ется найти вероятность того, что среди отобранных изделий |
стандарт- |
|||
ных. Пусть – дискретная случайная величина числа |
стандартных изде- |
|||
лий среди отобранных. Она принимает значения |
|
|
|
с |
вероятностями, вычисленными по формуле: |
|
|
|
, где |
|
|
|
||
. |
|
|
|
|
Для гипергеометрического распределения |
|
|
, |
|
|
|
.
Пример 3.10.5. Игральная кость брошена раза. Составить закон распределения случайной величины , выражающей число появлений шестёрки. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. По условию – случайная величина числа появлений шестёрки. При трёх бросаниях игральной кости шестёрка может ни разу не вы-
пасть, или выпасть раз, или |
раза или |
|
раза. Поэтому |
может прини- |
мать следующие значения: |
, |
, |
, |
. Так как числа |
выпадений шестёрки независимы между собой, то вероятности этих значений найдём по формуле Бернулли. Будем учитывать, что вероятность появ-
ления шестёрки при одном бросании игральной кости составляет и вероятность непоявления шестёрки при одном бросании игральной кости составляет . Получаем:
173
;
;
;
.
Составляем биномиальный закон распределения в виде таблицы:
Выполним контроль вычислений. Для этого проверим, что сумма ве-
роятностей всех значений случайной величины равна |
. Получаем: |
|
|
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. Вычисления верные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Так как случайная величина |
имеет биномиальное распределение, |
|||||||||||
то её математическое ожидание находим по формуле: |
|
|
|
; диспер- |
||||||||||
сию находим по формуле: |
. Получаем: |
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
.
Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:
. Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ответ:
; |
|
; |
|
. |
|
|
10.3. Элементы математической статистики Справочный материал.
Пусть даны эмпирические частоты и теоретические частоты , вычисленные исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности :
...
...
Алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.
1) Вычислить наблюдаемое значение критерия |
|
|
. |
||
|
|
||||
2) Вычислить число степеней свободы |
, где – число раз- |
||||
личных вариант выборки. |
|
|
|
|
|
3) |
Задать уровень значимости . В качестве |
обычно берут |
; |
||
или |
. |
|
|
|
|
4) По таблице Приложения 4 критических точек распределения |
|
||||
найти критическую точку |
. |
|
|
|
|
|
|
174 |
|
|
|
|
5) Если набл |
кр, то гипотезу принимают. Если |
набл |
кр, то гипо- |
тезу отвергают. |
|
|
|
|
|
Пример 3.10.6. Используя критерий Пирсона, при уровне значимо- |
|||
сти |
установить, |
случайно или значимо расхождение между эмпириче- |
||
скими частотами |
и теоретическими частотами , |
которые вычислены |
исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности :
|
Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия |
|
. Для это- |
||||||
го составим расчётную таблицу: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее вычислим число степеней свободы: |
. |
|
||||||
|
По таблице |
Приложения 3 критических точек распределения |
, |
||||||
уровню значимости |
|
, числу степеней свободы |
найдём крити- |
||||||
ческую точку: |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
Так как набл |
кр, то гипотезу о нормальном распределении гене- |
ральной совокупности отвергаем, то есть расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.
Ответ: Значимо. |
|
Упражнения |
|
1. В партии очень большого объёма имеется |
небракованных из- |
делий. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание изделий окажется: 1) менее бракованных; 2) более двух бракованных.
2. Определить вероятность того, что среди проб руды окажется проб с промышленным содержанием металла, если вероятность промышленного содержания металла одинакова для каждой пробы и равна .
3. |
Вероятность неточной сборки прибора равна |
. Найти вероят- |
||||
ность того, что среди |
приборов окажется от |
до |
(включитель- |
|||
но) точных. |
|
|
|
|
|
|
4. |
Вероятность изготовления нестандартной детали равна |
. Най- |
||||
ти вероятность того, что среди |
деталей окажется |
нестандартных. |
||||
5. |
Монета брошена |
раза. Составить закон распределения случайной |
величины , выражающей число появлений герба. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
175
6. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна . Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Составить закон распределения случайной величины , выражающей число патронов, выданных стрелку. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
7. В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны детали. Составить закон распределения случайной величины , выражающей число стандартных деталей среди отобранных. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
8. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами и теоретическими частотами , которые вычислены исходя из гипотезы
о нормальном распределении генеральной совокупности :
176
Заключение
В настоящее время в агропромышленном комплексе востребованы кадры, способные эффективно использовать имеющиеся технологии, а также создавать новые технологии. Создание технологий связано с разработкой математических моделей процессов или объектов и их дальнейшего исследования.
Математические модели разрабатываются при решении инженерных задач, задач экологии, биологии, химии, при этом используются методы аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики. Это говорит о важности математического образования, владения основами математического моделирования и математическими методами исследования созданных моделей.
С этой целью в учебно-методическое пособие включены задачи на математическое моделирование, где математические модели представлены в виде функциональных зависимостей характеристик изучаемых процессов или объектов. Причём в одних задачах модель дана и нужно выполнить её исследование, в других – модель требуется сначала составить, а затем выполнить её исследование.
Модели разнообразны: от линейной зависимости, когда применяются средства аналитической геометрии, до сложных зависимостей, содержащих производную неизвестной функции, когда применяются средства математического анализа и математическая модель выражается дифференциальным уравнением.
Для решения таких задач нужно владеть навыком применения математических методов к решению типовых задач дисциплины «Математика». В связи с этим в упражнения пособия включены типовые задачи, когда требуется, например, найти определить матрицы, составить уравнение прямой, найти производную функции, решить дифференциальное уравнение, разложить функцию в степенной ряд, найти вероятность случайного события.
Для включения в работу над упражнениями всех обучающихся, независимо от уровня их подготовки, каждая глава пособия разбита на три уровня сложности, включает справочный материал по теории и примеры, при этом обучающийся поэтапно продвигается к выполнению более сложных заданий и может оценить свой уровень формирования умений и навыков.
Пособие позволит обучающимся получить основательные умения и навыки в области математики, применять их при изучении специальных дисциплин, с пониманием читать математическую литературу, решать профессиональные задачи, подготовиться к текущему и итоговому контролю.
177
Библиографический список
1.Баврин, И. И. Высшая математика для педагогических направлений : учебник для бакалавров / И. И. Баврин. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 568 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-12889-5. – Текст : электронный // Образовательная плат-
форма Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468943.
2.Баврин, И. И. Высшая математика для химиков, биологов и медиков : учебник и практикум для вузов / И. И. Баврин. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 397 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-07021-7. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468944.
3.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа
:учебное пособие / Г. Н. Берман. – 9-е изд., стер. – Санкт-Петербург : Лань,
2020. – 492 с. – ISBN 978-5-8114-4862-3. – Текст : электронный // Лань :
электронно-библиотечная система. – URL: https://e.lanbook.com/book/126705.
4.Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие для вузов : в двух частях. Часть 1 / П. Е. Данко [и др.]. – 7-е изд., испр. – Москва : Мир и Образование, 2016. – 368 с.
5.Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие для вузов : в двух частях. Часть 2 / П. Е. Данко [и др.]. – 7-е изд., испр. – Москва : Мир и Образование, 2016. – 448 с.
6.Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021.
– 406 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-08389-7. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468330.
7.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 479 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534- 00211-9. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт
[сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/468331.
8.Гроссман, С. Математика для биологов: пер. с англ. / С. Гроссман, Дж. Тернер. – М.: Высшая школа, 1983. – 383 с.
9.Деменева, Н. В. Комплексные числа: учебное пособие / Н. В. Деменева ; Пермская ГСХА. – Пермь : Прокростъ, 2017. –– 112 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.
10.Деменева, Н. В. Линейная алгебра : сборник задач / Н. В. Деменева ; ФГБОУ ВО Пермская ГСХА. – Пермь : Прокростъ, 2016. – 142 с. –
URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.
11.Деменева Н. В., Аналитическая геометрия. Прямая линия на плоскости: учебное пособие / Н. В. Деменева; Пермский ГАТУ. – Пермь:
Прокростъ, 2019. – 196 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.
178
12.Деменева Н. В., Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка: учебное пособие / Н. В. Деменева; Пермский ГАТУ. – Пермь: Про-
кростъ, 2019. – 310 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.
13.Деменева Н. В., Аналитическая геометрия в пространстве: учебное пособие / Н. В.Деменева; Пермский ГАТУ. – Пермь: ИПЦ "Про-
кростъ", 2020. – 215 с. – URL: https://pgsha.ru/generalinfo/library/elib/.
14.Деменева Н. В., Прикладные задачи по теме "Производная функции" / Н. В. Деменева, С. Б. Югова. – Пермь: Изд-во ФГБОУ ВПО Пермская ГСХА, 2011. – 115 с.
15.Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. – 14-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 240 с.
16.Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии : учебное пособие для вузов / Д. В. Клетеник. – 17-е изд., стер. – СанктПетербург : Лань, 2021. – 224 с. – ISBN 978-5-8114-1051-4. – Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. – URL: https://e.lanbook.com/book/174993.
17.Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для вузов / Н. Ш. Кремер. – 5-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 538 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-10004-4. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/475438.
18.Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 576 с.
19.Нагибин, Ф. Ф. Экстремумы / Ф. Ф. Нагибин. – М.: «Просве-
щение», 1966. – 120 с.
20.Ноздрин, И. Н. Прикладные задачи по высшей математике / И. Н. Ноздрин, И. М. Степаненко, Л. К. Костюк. – Издательское объединение «Вища школа», 1976. – 176 с.
21.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : учебник : в 2 частях. Часть 1 / Д. Т. Письменный. – 14-е изд. – Москва: Ай-
рис-Пресс, 2015. – 280 с.
22.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : учебник : в 2 частях. Часть 2 / Д. Т. Письменный. – 11-е изд. – Москва: Ай-
рис-Пресс, 2015. – 252 с.
23.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2013. – 288 с.
24.Пономарёв, К. К. Составление дифференциальных уравнений / К. К. Пономарёв. – Минск: Издательство "Вышэйшая школа", 1973. – 560 с.
25.Привалов, И. И. Аналитическая геометрия : учебник для вузов
/И. И. Привалов. – 40-е изд., стер. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 233 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-01262-0. – Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/469966.
179
26.Ризниченко, Г. Ю. Математическое моделирование биологических процессов. Модели в биофизике и экологии : учебное пособие для вузов / Г. Ю. Ризниченко. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2021. – 181 с. – (Высшее образование). – ISBN 978-5-534-07037-8. –
Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. – URL: https://urait.ru/bcode/470480.
27.Цубербиллер, О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии : учебное пособие / О. Н. Цубербиллер. – 34-е изд.,стер. – СанктПетербург : Лань, 2021. – 336 с. – ISBN 978-5-8114-0475-9. – Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. – URL: https://e.lanbook.com/book/167791.
180