727
.pdfГЛАВА 1. Числовые ряды
§1. Ряд и его сумма 1. Основные понятия
Пусть задана последовательность чисел u1,u2 ,u3 ,...,un ,un 1,....
Выражение вида
|
|
u1 u2 u3 ... un un 1 ... или un |
(1.1) |
n 1 |
|
называют числовым рядом. |
|
Числа u1,u2 ,u3 ,...,un ,un 1,... называются членами ряда, а
иn – n-ым или о б щ и м членом ряда. Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру n его члена записать этот член ряда.
Сумма n первых членов ряда (1.1) называется n-ой ч а - с т и ч н о й суммой ряда и обозначается символом Sn:
Sn u1 u2 |
u3 ... un |
(1.2) |
Если существует конечный предел S lim Sn , то говорят, |
||
|
n |
|
что этот ряд сходится. В |
этом случае число |
S называется |
с у м м о й сходящегося ряда (1.1). Если же частичная сумма Sn не имеет конечного предела при n , то ряд (1.1) называется р а с х о д я щ и м с я , такой ряд суммы не имеет. Если ряд (1.1) сходится и его сумма равна S, то разность S – Sn называется n - ым остатком ряда и обозначается Rn. Остаток Rn = un+1 + un+2 + … также является числовым рядом.
1. |
Записать пять первых членов ряда по данному обще- |
||||||||||
му члену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) un |
1 |
; |
б) un |
n |
; |
в) un |
2n 1 |
|
. |
||
|
|
|
(n 1)! |
||||||||
|
n 1 |
||||||||||
n(n 1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение.
Подставляя в формулу общего члена последовательно значения 1, 2, 3, 4, 5, получим:
а) u |
1 |
|
|
1 |
; u |
|
|
1 |
|
|
1 |
; u |
|
|
1 |
|
1 |
; u |
|
|
1 |
|
1 |
; |
|||||||
|
|
1 |
|
1 2 2 |
2 |
|
2 |
3 6 |
|
3 |
|
3 4 12 |
4 |
|
4 5 20 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) u1 21! 12 ; u2 33! 12 ; u3 45! 245 ; u4 57! 1207 ; u5 69! 7209 .
Напомним, что факториалом натурального числа n называет-
ся |
|
|
произведение |
|
натуральных |
чисел |
|
|
от |
1 |
до n: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n! 1 2 3 4 ... n ; |
0! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2. Записать формулу общего члена каждого ряда: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) 1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
...; |
|
|
|
б) 1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
...; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
22 |
|
23 |
|
24 |
|
|||||||||||||||||
в) |
|
2 |
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
8 |
...; |
|
|
|
г) 1 8 27 64 125; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
8 |
|
11 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
д) |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
... ; |
е) 1 |
3 |
|
9 |
|
|
27 |
|
|
81 |
.... |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
3 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 4 |
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
3 |
5 |
7 9 |
|
|
Решение.
а) Члены ряда представляют собой дроби, где в числителях – единицы, в знаменателях – натуральные числа; следователь-
но, общий член un 1n .
б) Члены ряда представляют собой дроби, где в числителях – единицы, знаменатели могут быть получены по формуле 2n1,
где n = 1, 2, 3, …; следовательно, общий член u |
1 |
. |
n 2n 1
в) Члены ряда представляют собой дроби, где в числителях – четные числа вида 2n, знаменатели могут быть получены по
формуле 3n + 2; следовательно, общий член un |
2n |
|
. |
|||||||
|
|
|||||||||
3n |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Исследовать ряды на сходимость и, в случае сходимо- |
||||||||||
сти, найти их сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 0 + 0 + 0 + … + 0 + …; |
б) 1 + 1 + 1 + … + 1 + …; |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
в) 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …; |
г) |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n 1 n(n 1) |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
д) |
; |
е) |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
(2n 1)(2n 3) |
2n(n 3) |
|
|
|
||||||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
Решение.
а) Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0. б) Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится, его сумма
Sn n при n .
в) Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, т.к. последовательность его частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (S1 = 1,
S2 = 0, S3 = 1,…) не имеет предела.
|
1 |
|
|
г) Для исследования ряда |
на сходимость за- |
||
|
|||
|
|||
n 1 n(n 1) |
|
пишем его общий член в виде суммы простейших дробей:
1 |
|
A |
|
B |
|
|
A(n 1) Bn |
, откуда 1 A(n 1) Bn |
n(n 1) |
|
|
n(n 1) |
|||||
|
n n 1 |
|
|
При n = 0: 1 = А; при n = – 1 имеем: 1 = – В, т.е. В = – 1.
|
1 |
1 |
1 |
|
||
Таким образом, общий член ряда |
|
|
|
|
|
. |
n(n 1) |
n |
n 1 |
Запишем частичную сумму ряда с учетом полученной новой формулы общего члена ряда, подставляя вместо n последова-
тельно 1, 2, 3, …, n:
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
||||||||
Sn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
4 |
n 1 |
|
n |
n |
|
n 1 |
В этом равенстве все слагаемые, кроме первого и последнего,
|
|
|
1 |
|
|
|
|
попарно уничтожаются, поэтому lim Sn lim 1 |
|
|
|
|
1, |
||
n 1 |
|||||||
n |
n |
|
|
|
т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.
2.Прогрессии
Вкачестве примеров числовых рядов можно также рассмотреть арифметическую и геометрическую прогрессии, известные из школьного курса математики.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d , называет-
ся арифметической прогрессией . Число d называется
разностью прогрессии . Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an a1 d (n 1) .
13
Сумма n первых членов арифметической прогрес-
сии вычисляется как: S |
n |
|
a1 an |
n |
2a1 d (n 1) |
n . Т.к. |
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
числовой ряд, члены которого представляют собой члены арифметической прогрессии, – сумма бесконечного числа слагаемых, можно рассматривать его как расходящийся ряд,
поскольку lim an и lim Sn . |
|
n |
n |
4. Исследовать на сходимость ряд 1 2 3 4 ... n ....
Решение. Члены ряда 1 2 3 4 ... n ... – члены арифметической прогрессии с разностью d = 1, для нее
lim Sn , ряд расходится.
n
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется
геометрической прогрессией . Число q называется
знаменателем прогрессии . Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn b1 qn 1. Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется
как: Sn b1 (1 qn ) . Исследуем на сходимость ряд, члены ко-
1 q
торого представляют собой геометрическую прогрессию:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 b1q b1q2 b1q3 |
... b1qn 1 b1qn ... b1qn 1 |
|
|
(1.3) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
1) |
|
Если |
|
|
q |
|
1, члены ряда представляют бесконечно убы- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
вающую |
геометрическую |
|
прогрессию. |
Для |
нее |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
b1(1 qn ) |
|
|
1 |
|
|
qn |
|
|||||||||||
lim b q |
|
и lim S |
n |
lim |
|
|
|
|
|
b |
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
1 |
|
q |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
1 q |
||||||||||
|
|
b1 |
, ряд (1.3) сходится и его сумма равна |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
Если |
|
q |
|
1, то lim b1qn и |
lim Sn , ряд расходится. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
14 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Если q 1, т.е. b1 1n b1 , то lim b1qn b1 и |
|||
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
Sn b1 b1 b1 |
... b1 |
... b1n , lim |
Sn ряд расходится. |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
4) |
Если q 1, т.е. b1 ( 1)n b1 |
b1 b1 b1 ... , то |
n 1
lim Sn не существует, ряд расходится.
n
Итак, ряд, члены которого являются членами геометрической прогрессии, сходится при q 1, расходится при q 1.
Например, при b1 = 1 и при:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q 2 : |
|
2n 1 |
1 2 22 |
|
23 |
... 2n ..., ряд расходится; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
n 1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
q |
|
|
: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... , ряд сходится. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
33 |
3n |
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
n 1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5. Исследовать на сходимость ряд |
|
||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
1 |
|
|
1 |
|
.... |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
4 |
8 |
2n 1 |
2n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
1 способ. Члены данного ряда являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым чле-
ном |
|
b1 1 |
и знаменателем |
||||
q |
1 |
1, |
значит, ряд схо- |
||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
дится и имеет сумму (1.4): |
|||||||
S |
|
1 |
|
|
2 . |
||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
Рис.1 |
|
2 способ. Сложим геометрически первые несколько членов ряда, считая за единицу площадь квадрата со стороной 1. Каждый следующий член в два раза меньше предыдущего; на рис.1 видно, что сумма площадей всех фигур никогда не превзойдет двух квадратов. Ряд сходится и имеет сумму 2.
15
3. Обобщенный гармонический ряд
Об о б ще нн ы м гармониче ским рядом
рихле) называется ряд вида:
1
n p
n 1
(рядом Ди-
(1.5)
где р – любое действительное число. Как будет доказано ниже, этот ряд сходится при p 1 и расходится при p 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Например, 1 |
|
|
|
... |
|
... |
1 |
, здесь |
p 2 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ряд 1 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
... |
1 |
|
расходится, т.к. |
p |
1 |
1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ряд |
1 |
|
|
... |
... |
1 |
|
|
|
|
|
(1.6) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
называется гармоническим , он расходится.
4. Свойства сходящихся рядов
10. Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него приписыванием или отбрасыванием конечного числа членов.
20. Если ряды
u1 u2 u3 ... |
un un 1 ... |
иv1 v2 v3 ... vn vn 1 ...
сходятся и имеют соответственно суммы А и В, то сходится ряд (u1 v1) (u2 v2 ) ... (un vn ) ... и имеет сумму A B , т.е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычи-
тать.
30. Если ряд u1 u2 u3 ... un un 1 ... сходится и име-
ет сумму S, то его можно почленно умножить на одно и то же число С (C 0 ). При этом полученный ряд
Cu1 Cu2 ... Cun ...
тоже сходится и имеет сумму C S . |
|
|
|
|
|||
40. Если ряд u u |
2 |
u |
... u |
n |
u |
n 1 |
... сходится, то |
1 |
3 |
|
|
|
сходится и его остаток un 1 un 2 un 3 ....
16
50. Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
§2. Необходимый и достаточные признаки сходимости рядов
1. Необходимый признак сходимости ряда Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд
u1 u2 u3 ... un un 1 ... (2.1)
сходится, то его общий член un стремится к нулю при n , то есть
lim un 0 |
(2.2) |
n |
|
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если общий член ряда (2.1) отличен от нуля при n , т.е.
lim un 0, то ряд расходится.
n
6. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:
|
|
|
1 n |
||
а) n ; |
б) 1 |
|
|
|
; |
|
|||||
n 1 |
n 1 |
|
n |
|
|
5n2 8n |
|
|
7n n4 |
|
|
г) |
|
; |
д) |
|
; |
|
15n2 2 |
n! |
|||||
n 1 |
|
n 1 |
|
Решение.
1
в) ;
n 1 n
|
n 2 . |
е) |
n 1 ln( n 1)
а) n 1 2 3 4 5 ... n ... . Предел общего члена
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда |
lim un |
lim n 0, необходимый признак сходимо- |
|||||||||||||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сти не выполняется, ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
n |
|
1 1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
n |
|||||
б) 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
... 1 |
|
|
... . Пре- |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
n |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
||
дел |
общего |
члена |
ряда |
|
|
lim un lim 1 |
|
|
|
e 0 (второй |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замечательный предел), необходимый признак сходимости не выполняется, ряд расходится.
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
в) |
1 |
|
|
|
... |
... – |
гармонический ряд. Пре- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 n |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
дел его общего члена |
lim u |
|
lim |
1 |
0 , необходимый при- |
||||||||||||||
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знак сходимости выполняется, ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Из вышесказанного известно, что этот ряд расходится, но необходимый признак сходимости это утверждение не доказывает.
lim
n
|
5n2 |
8n |
|
|
|
|
|||
г) |
|
|
|
|
. Найдем предел общего члена ряда: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 115n2 2 |
|
|
|
|
||||
|
5n2 8n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
– получили неопределенность вида |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
15n2 2 |
|
|
|
|
|
для раскрытия которой следует разделить числитель и знаменатель на переменную в наивысшей из участвующих в выражении степеней (в данном случае и в числителе, и в знаменателе старшая степень переменной равна 2):
lim 5n2 8n n 15n2 2
|
|
|
|
5n2 8n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
||
|
|
lim |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
n 15n2 2 |
|
|||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
5 |
8 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
n |
|
|
5 |
|
|
1 |
0 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
15 |
|
|
2 |
|
|
15 |
|
3 |
|
|||||
|
n2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
необходимый признак сходимости не выполняется, ряд расходится.
|
|
|
7n n4 |
|||
|
д) |
|
|
|
. Предел общего члена ряда |
|
|
|
n! |
|
|||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
7n n4 |
|
|
||
lim |
|
|
|
|
|
– получили неопределенность, для рас- |
|
|
|
|
|||
n |
|
n! |
|
|
|
крытия которой нет стандартных приемов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, что на бесконечности растѐт быстрее – числитель или знаменатель. Напомним некоторые сведения из теории пределов.
Пусть a 1, |
0 , тогда |
|
18 |
1) lim |
a x |
, |
lim |
x |
0 , т.е. любая показательная после- |
|
|
||||
x x |
|
x a x |
|
довательность ах растѐт быстрее, чем любая степенная после-
довательность x . Говорят, что показательная последова-
тельность более высокого порядка роста, чем любая степен-
ная последовательность. Кроме того, показательная последовательность растет быстрее, чем произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов.
2) |
lim |
x |
, |
lim |
a x |
, т.е. любая степенная или |
|
|
|||||
|
x log a x |
|
x log a x |
|
показательная последовательности растут быстрее, чем любая логарифмическая последовательность.
3) lim |
x! |
, |
lim |
x! |
, |
lim |
x! |
, т.е. факториал |
|
|
|
||||||
x a x |
|
x xα |
|
x a x xα |
|
растѐт быстрее, чем любая показательная или степенная последовательность, или многочлен, или произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (случай в нашем примере).
4) lim |
x ! |
0 , |
lim |
x x |
, т.е. степенно-показательная по- |
|
|
||||
|
|
||||
x x x |
|
x |
x! |
|
следовательность растѐт быстрее факториала.
Таким образом, в нашем примере д) предел общего члена
|
7n n4 |
|
|
|
ряда lim |
|
0 |
, т.к. |
n! более высокого порядка роста, |
|
||||
n |
n! |
|
|
чем 7n n4 . Необходимый признак сходимости выполняется, вопрос о сходимости ряда остается открытым.
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) Для ряда |
|
предел общего члена ряда |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n 1 ln( n 1) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(n 2) |
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n ln( n 1) |
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|||
|
n ln( n 1) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(n 1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (n 1) 0. (Применили правило Лопиталя.) Необхо-
n
димый признак сходимости не выполнен, ряд расходится.
19
7. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для рядов:
а) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
...; |
|
|
б) |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
... |
2n |
...; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 3 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 7 |
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
в) 1 |
3 |
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
... |
2n 1 |
|
...; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
27 |
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
г) ln |
ln |
|
|
ln |
|
|
... ln |
...; |
д) cos |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е) |
|
|
|
|
|
|
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
ж) n arctg n ; |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
з) ln |
n |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
и) |
|
arcctg |
|
|
; |
к) cos |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 3 |
|
n 1 |
|
|
3n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнение необходимого признака сходимости не дает возможности судить о том, сходится ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости.
2. Достаточные признаки сходимости рядов
Рассмотрим некоторые признаки, позволяющие исследовать на сходимость ряды с положительными членами.
I Признак сравнения
Рассмотрим ряды с положительными членами
u1 u2 |
u3 |
|
... un ... |
(2.3) |
v1 v2 |
v3 |
... |
vn ... |
(2.4) |
Если члены ряда (2.3), начиная с некоторого члена, не превосходят соответствующих членов заведомо сходящегося ряда (2.4), то данный ряд (2.3) тоже сходится.
Если же члены ряда (2.3), начиная с некоторого члена, не меньше соответствующих членов заведомо расходящегося ряда (2.4), то данный ряд (2.3) тоже расходится.
8. Используя первый признак сравнения, исследовать на сходимость ряды:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
а) |
|
1 |
|
|
|
...; |
б) |
|
|
|
...; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
|
n |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
n 2 ln n ln 2 ln 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|