917
.pdfВыразим из формулы в определении скалярного произведения двух векторов косинус угла между векторами:
|
|
|
. |
|
| |
|∙ |
|||
|
|
|||
Таким образом, косинус угла между векторами равен отношению ска- |
лярного произведения векторов к произведению модулей этих векторов.
Рассмотрим связь между скалярным произведением векторов и проекцией одного вектора на ось другого вектора. Рассмотрим проекцию вектора
на ось вектора |
: пр |
∙ cos |
, где |
– угол наклона вектора |
к оси |
|||||
вектора |
. С уч том этого запишем скалярное произведение векторов |
и |
: |
|||||||
|
| | ∙ |
∙ cos |
| | ∙ |
∙ cos |
| |
|пр . |
|
|
|
|
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
| |пр . |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, рассмотрим проекцию вектора |
на ось |
вектора |
: |
|||||||
пр |
| | ∙ cos |
, где |
– угол наклона вектора |
к оси вектора |
. С уч том |
|||||
этого запишем скалярное произведение векторов |
и |
: |
|
|
|
|||||
|
| | ∙ |
∙ cos |
∙ | |
| ∙ cos |
|
пр . |
|
|
|
Таким образом:
пр .
Получена следующая связь между скалярным произведением векторов и проекцией одного вектора на ось другого вектора: скалярное произве-
дение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого, выполненную на ось первого вектора.
|
Из формулы |
| |пр |
выразим проекцию вектора |
на ось век- |
|||
тора |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
. |
|
|
|
|
| | |
|
|||
|
Из формулы |
пр |
выразим проекцию вектора |
на ось век- |
|||
тора |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, проекцию одного вектора на ось другого вектора можно рассматривать как отношение скалярного произведения векторов к модулю вектора, на ось которого находят проекцию.
Алгебраические свойства скалярного произведения векторов
1. . Свойство перестановочности сомножителей.
Это свойство говорит о том, что скалярное произведение любых двух векторов не зависит от порядка сомножителей.
Доказательство. По определению скалярного произведения векто-
ров:
| | ∙ |
∙ cos , |
∙ | | ∙ cos . |
Так как | | ∙ |
∙ | |, то |
. |
2. |
, где – действительное число. Свойство сочета- |
тельности относительно умножения на число.
60
Доказательство. Воспользуемся формулой, позволяющей находить скалярное произведение двух векторов через проекцию одного вектора на ось другого вектора и свойством проекции, по которому при умножении вектора на число его проекция умножается на это число. Получаем:
пр |
∙ пр |
пр |
. |
Можно также показать, что |
|
, где и – дей- |
ствительные числа. Для этого воспользуемся свойствами 1 и 2 скалярного произведения векторов:
|
. |
|
3. |
с |
с. Свойство распределительности относи- |
тельно сложения.
Доказательство. Воспользуемся формулой, позволяющей находить скалярное произведение двух векторов через проекцию одного вектора на ось другого вектора и свойством проекции, по которому проекция суммы двух векторов равна сумме их проекций. Получаем:
|
|
|
с |
| |пр |
|
̅ | | пр |
пр ̅ | |пр |
|
|
||||||||
| |
|пр |
̅ |
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.32. Раскрыть скобки и упростить выражение: |
|
|
||||||||||||||
5 |
3 |
|
2 ̅ |
̅. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся алгебраическими свойствами скалярного |
||||||||||||||||
произведения. Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
3 2 ̅ ̅ |
5 |
|
|
3 2 ̅ 5 |
3 |
̅ |
|
|
|||||||
2 ̅ 5 |
3 |
|
̅ 5 |
3 |
|
|
|
2 ̅ 5 |
|
2 ̅ 3 |
|
̅ 5 |
|||||
|
̅ |
3 |
10 ̅ 6 ̅ 5 |
̅ |
|
3 |
̅ |
10 ̅ 6 ̅ 5 |
̅ |
|
̅ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
||||||||||
|
Заметим, что умножение векторных двучленов выполняется как в |
||||||||||||||||
обычной алгебре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: 10 |
̅ 6 |
|
̅ 5 |
̅ |
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Геометрические свойства скалярного произведения векторов |
||||||||||||||||
|
1. Если угол между векторами |
|
и |
острый, то скалярное произ- |
|||||||||||||
ведение этих векторов положительно: |
|
0. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Доказательство. Если |
|
– острый угол, то cos |
0 и |
|
||||||||||||
| |
| ∙ |
|
∙ cos |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если угол между векторами |
|
и |
тупой, то скалярное произве- |
|||||||||||||
дение этих векторов отрицательно: |
|
|
0. |
|
|
|
|
||||||||||
|
Доказательство. Если |
|
– тупой угол, то cos |
0 и |
|
|
|||||||||||
| |
| ∙ |
|
∙ cos |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Если векторы |
|
и перпендикулярны, то их скалярное произ- |
||||||||||||||
ведение равно нулю: |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Доказательство. |
Если |
|
|
и |
|
перпендикулярны, то cos |
0 и |
|||||||||
|
| |
| ∙ |
∙ cos |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
|
4. |
Если скалярное произведение двух векторов |
и равно нулю, |
||||
то векторы и перпендикулярны. |
|
|
|
|
||
Доказательство. Если один из векторов |
|
и |
нулевой, то | |
| ∙ |
||
∙ cos |
0 и его можно считать перпендикулярным другому век- |
|||||
тору. Если среди векторов |
и нет нулевых, то из равенства | | ∙ |
∙ |
||||
cos |
0 следует, что cos |
0 и отсюда |
|
, то есть векторы пер- |
||
|
пендикулярны.
5. Скалярное произведение вектора на этот же вектор равно квад-
рату его длины: |
| |
| . |
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. |
|
| | ∙ | | ∙ cos 0 |
| | ∙ | |
| ∙ 1 |
| | . |
|||||||
Замечание 1. Скалярное произведение |
называется скалярным |
|||||||||||
квадратом вектора |
и обозначается символом . |
Можно записать: |
||||||||||
|
. В частности: |
̅ |
| |̅ |
1, ̅ | |̅ |
1, |
|
| |̅ |
1. |
||||
Замечание 2. Из равенства |
| |
| выразим модуль век- |
||||||||||
тора: | |
| |
|
|
|
|
|||||||
√ , то есть модуль вектора равен квадратному корню из |
||||||||||||
скалярного квадрата вектора. |
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2.33. Векторы |
и |
образуют угол |
|
|
; зная, что | | 3, |
|||||||
|
|
|||||||||||
4, вычислить: 1) |
; 2) |
; 3) |
; 4) |
; 5) |
|
; |
|
|||||
6) 3 |
2 |
2 |
; 7) |
3 |
2 . |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Воспользуемся определением скалярного произведения. Полу- |
||||||||
чаем: |
| | ∙ |
∙ cos |
3 ∙ 4 ∙ cos |
|
12 ∙ |
|
6. |
||
|
|
||||||||
2) |
Воспользуемся геометрическим свойством скалярного произведе- |
||||||||
ния. Получаем: |
| | |
3 |
9. |
|
|
|
|
|
|
3) |
Воспользуемся геометрическим свойством скалярного произведе- |
||||||||
ния. Получаем: |
|
4 |
16. |
|
|
|
|
||
4) |
Воспользуемся алгебраическими и геометрическими свойствами |
||||||||
скалярного произведения. Получаем: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
| |
| |
|
| | |
||
2 |
3 |
2 ∙ |
6 |
4 |
13. |
|
|
|
|
Заметим, что квадрат суммы двух векторов раскрывается по формуле |
|||||||||
сокращ нного умножения из обычной алгебры. |
|
|
|||||||
5) |
Воспользуемся алгебраическими и геометрическими свойствами |
скалярного произведения. Получаем:
| |
| |
| | |
| | 2 |
3 |
2 ∙ 6 4 |
37. |
|
|
|
|
62 |
Заметим, что квадрат разности двух векторов раскрывается по формуле сокращ нного умножения из обычной алгебры.
6) Воспользуемся алгебраическими и геометрическими свойствами скалярного произведения. Получаем:
3 |
2 |
|
2 |
|
3 |
2 |
3 |
2 |
2 |
|
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
3 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
6 |
4 |
3| | |
2 |
6 |
4 |
3| | |
4 |
4 |
|
3 ∙ 3 |
|
4 ∙ 6 |
4 ∙ 4 |
|
61. |
|
Заметим, что умножение векторных двучленов выполняется как в обычной алгебре.
7) Воспользуемся алгебраическими и геометрическими свойством
скалярного произведения. Получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
2 |
|
3 |
2 |
|
3 |
2 |
|
3 |
2 |
3 |
|
|
3 |
2 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
2 |
2 |
3 |
2 |
|
3 |
3 |
3 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
|
2 |
9 |
|
6 |
6 |
4 |
|
|
9| | |
6 |
|
6 |
4 |
|
|
9| | |
12 |
4 |
|
9 ∙ 3 |
12 ∙ 6 |
||
4 ∙ 4 |
|
73. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что квадрат суммы двух векторов раскрывается по формуле |
|||||||||||||
сокращ нного умножения из обычной алгебры. |
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ: 1) |
6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) 37; 6) 61; 7) 73. |
|
|||||||||||
|
Пример 2.34. Векторы |
и взаимно перпендикулярны; вектор ̅об- |
||||||||||||
разует с ними углы, равные |
|
; зная, что | |
| |
3, |
|
5, | ̅| |
8, вычис- |
|||||||
|
|
|||||||||||||
лить: 1) 3 |
2 |
|
3 ̅; 2) |
|
|
̅ ; 3) |
2 |
3 ̅ . |
Решение. Воспользуемся сначала алгебраическими свойствами скалярного произведения (умножение векторных многочленов выполняется как в обычной алгебре), затем – геометрическим свойством скалярного произведения (скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю) и
определением скалярного произведения. Получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1) 3 |
|
2 |
|
|
3 ̅ 3 |
|
|
9 ̅ 2 |
|
6 ̅ 3 ∙ 0 |
|
|
|
|||||||||||
9 |
∙ | |
| ∙ | |
̅∙| |
cos |
|
|
2 |
|
|
|
|
6 ∙ |
∙ | ̅∙| cos |
|
|
|
9 ∙ 3 ∙ 8 ∙ |
|
2 ∙ 25 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6 |
∙ 5 ∙ 8 ∙ |
|
|
62. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ | ̅| |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2) |
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
| | |
2 |
|
|
|
|
|
2 ̅ 2 ̅ | ̅| |
3 |
|
|
|
2 ∙ 0 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
∙ | |
| ∙ | |
̅∙| |
cos |
|
|
2 ∙ |
|
|
|
∙ | ̅∙| cos |
|
|
8 |
|
|
9 |
25 2 ∙ 3 ∙ 8 ∙ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
∙ 5 ∙ 8 ∙ |
|
|
64 |
|
162. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3) |
|
|
2 |
|
|
3 ̅ |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 ̅ |
|
2 |
6 |
|
|
2 ̅ |
||||
9 ∙ | ̅| |
| | |
|
4 |
|
4 ∙ |
6 ̅ 12 ̅ 9 ∙ | ̅| |
3 |
4 ∙ 0 |
||||||||||||||||||
4 |
∙ 5 |
6 ∙ | | ∙ | |
|
̅| ∙ cos |
|
|
|
12 ∙ |
|
∙ | |
̅| ∙ cos |
|
9 ∙ 8 |
109 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6 |
∙ 3 ∙ 8 ∙ |
|
|
12 ∙ 5 ∙ 8 ∙ |
|
|
576 |
373. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) |
62; 2) 162; 3) 373. |
|
|
|
Пример 2.35. Даны единичные векторы , , ̅, |
удовлетворяющие |
||
условию |
̅ 0. Вычислить |
̅ ̅. |
|
|
|
Решение. Так как векторы , , |
̅– единичные, то их модули равны 1: |
||
| | |
| ̅| |
1. Найд м скалярный квадрат равенства |
̅ 0. По- |
|
лучаем: |
|
|
|
̅0 ,
̅|0| ,
|
2 |
|
̅ |
̅ |
|
0, |
|
|
|
2 |
|
2 ̅ |
2 |
̅ |
| ̅| |
0, |
|
| | |
2 |
|
2 ̅ 2 ̅ | ̅| |
0, |
||||
2 |
̅ |
̅ |
| |
| |
|
|
| ̅| |
, |
2 |
̅ |
̅ |
1 |
|
1 |
1 |
, |
|
2 |
̅ |
̅ |
3, |
|
|
|
|
|
̅̅ .
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅попарно образуют друг с другом углы, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 2.36. Векторы |
, |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
каждый из которых равен 60 . Зная, что | |
| |
4, |
|
2, | ̅| |
6, определить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
модуль вектора |
|
|
̅ |
|
|
|
|
̅. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Найд м скалярный квадрат вектора ̅ |
|
|
|
|
̅. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
̅ |
̅ |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
̅ |
2 ̅ |
| |
̅| |
| | |
|
2 ∙ | |
| ∙ |
|
|
∙ cos 60 |
|
||||||||||||||||||||
2 ∙ | | ∙ | |
̅∙| cos 60 |
|
2 ∙ |
∙ | |
̅| ∙ cos 60 |
| |
̅| |
4 |
|
|
2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ |
|
|
2 ∙ 2 ∙ 6 ∙ |
|
|
|
|
6 |
|
|
100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
̅ |
√100 |
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Ответ: 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пример 2.37. Векторы |
и |
|
|
образуют угол |
̅ |
|
|
|
; зная, что | |
| |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
√3, |
|
1, вычислить угол |
между векторами |
|
|
|
|
|
и |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторами. Получаем: cos |
|
|
|
̅ |
|
|
|
. Найд м скалярное произведение векто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ̅|∙| | |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ров ̅и : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
1 |
|
|
2. |
|||||||
|
|
|
|
Далее найд м скалярный квадрат векторов |
̅и |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
| |
| |
2 ∙ | | ∙ |
|
|
|
∙ cos |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 ∙ √ |
|
|
∙ 1 ∙ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
√3 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
| | |
|
2 ∙ | | ∙ |
∙ cos |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 ∙ √ |
|
|
∙ 1 ∙ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√3 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
√7, |
|
|
√1 |
1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Тогда косинус угла между векторами |
̅и |
равен: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
и угол между векторами |
̅и равен: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
̅∙ |
|
|
|
√ ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√ |
7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Выражение скалярного произведения векторов через коорди- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наты перемножаемых векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть векторы |
|
|
|
|
и |
заданы своими координатами: |
; ; |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
; |
|
; |
|
|
. Запишем разложение векторов |
и по ортам координат- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ных осей: |
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
̅ |
̅ |
и найд м их скалярное |
произведение, используя алгебраические и геометрические свойства скалярного произведения:
|
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
|
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
̅ |
|
̅ |
|
|
|
̅ |
|
̅ |
|
̅̅ |
̅ |
̅̅ |
|
|
̅ |
̅ |
|
̅ |
̅ |
|
| |̅ |
|
∙ 0 |
|
∙ 0 |
∙ 0 |
|
| |̅ |
∙ 0 |
∙ 0 |
|
∙ 0 |
|
|
∙ 1 |
∙ 1 |
∙ 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
Получена формула, позволяющая находить скалярное произведение |
|||||||||
двух векторов по известным координатам этих векторов: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме |
|||||||||
произведений соответствующих координат векторов. |
|
|
|
||||||
Пример 2.38. Найти скалярное произведение векторов |
|
|
|||||||
4; 6; |
3 и |
8; 2; |
9 . |
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулой нахождения скалярного произве- |
|||||||||
дения векторов через их координаты: |
|
|
|
. В условиях |
|||||
примера |
4, |
8, |
6, |
2, |
3, |
|
9. Подставляем: |
||
4 ∙ 8 |
6 ∙ 2 |
3 ∙ 9 |
47. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 47. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.39. Даны точки |
8; |
4; 7 , |
3; 1; |
5 , |
6; 6; 9 , |
||||
4; 3; 0 . Найти скалярное произведение векторов |
и . |
|
|
||||||
Решение. Предварительно найд м координаты векторов |
и |
, |
учитывая, что при нахождении координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала:
3 |
8 ; |
1 |
4 ; 5 7 |
5; 3; 12 , |
|
4 |
6 ; 3 |
6; 0 |
9 |
10; 3; |
9 . |
|
|
|
|
65 |
|
Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения век-
торов через их координаты: |
|
|
|
. Получаем: |
||
∙ |
5 ∙ 10 3 ∙ |
3 |
12 ∙ |
9 |
149. |
|
Ответ: 149. |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.40. Даны векторы |
4; 2; |
4 , |
6; 3; 2 . Найти: |
|||
1) ; 2) |
; 3) 2 |
3 |
2 . |
|
|
|
Решение.
1) Воспользуемся сначала геометрическим свойством скалярного произведения, затем – формулой нахождения модуля вектора. Получаем:
| | |
4 2 |
4 |
36. |
2) Воспользуемся сначала геометрическим свойством скалярного произведения, затем – формулой нахождения модуля вектора через координаты вектора. Получаем:
|
6 |
3 |
2 |
49. |
|
3) Найд м сначала координаты векторов 2 3 и |
2 , используя |
правила выполнения линейных операций над векторами в координатной форме:
2 |
3 |
2 ∙ 4 3 ∙ 6; 2 ∙ 2 3 ∙ |
3 ; 2 ∙ 4 |
3 ∙ 2 |
|
|||
10; 13; 14 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
2 ∙ 6; 2 |
2 ∙ 3 ; |
4 |
2 ∙ 2 |
16; |
4; 0 . |
|
Далее воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения |
||||||||
векторов через их координаты: |
|
|
. Получаем: |
|||||
2 |
3 |
2 |
10 ∙ 16 13 ∙ |
4 |
14 |
∙ 0 |
212. |
|
Ответ: 1) 36; 2) 49; |
212. |
|
|
|
|
|
||
Пример 2.41. Даны |
точки |
1; 3; |
7 , |
2; |
1; 5 , |
0; 1; 5 . |
||
Найти: 1) |
; 2) |
; 3) 2 |
2 |
|
. |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Предварительно найд м координаты вектора |
, учитывая, что при |
нахождении координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала:
2 1 ; 1 3; 5 7 3; 4; 12 .
Далее воспользуемся геометрическим свойством скалярного произведения, затем – формулой нахождения модуля вектора. Получаем:
| | |
3 |
4 |
12 |
169. |
2) Предварительно найд м координаты вектора , учитывая, что при нахождении координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала:
0 1 ; 1 3; 5 7 1; 2; 2 .
Далее воспользуемся геометрическим свойством скалярного произведения, затем – формулой нахождения модуля вектора. Получаем:
| | |
1 |
2 |
2 |
9. |
|
|
|
66 |
|
3) Предварительно найд м координаты вектора , учитывая, что при нахождении координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала:
0 2; 1 |
1 ; 5 5 |
|
2; 2; |
10 . |
|
Найд м также координаты векторов |
и |
, учитывая, что вектор |
|||
противоположен вектору |
и вектор |
противоположен вектору : |
|||
2; |
2; 10 , |
|
|
3; 4; 12 . |
|
Далее найд м координаты векторов 2 |
и 2 |
, используя |
правила выполнения линейных операций над векторами в координатной форме:
2 |
2 ∙ 3 |
2; 2 ∙ |
4 |
2 ; 2 ∙ 12 |
10 |
4; |
6; 14 ; |
|
||
2 |
2 ∙ 2 |
|
3 ; 2 ∙ 2 4; 2 ∙ 10 |
12 |
|
|
||||
7; 8; |
32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения |
||||||||||
векторов через их координаты: |
|
|
|
|
. Получаем: |
|
||||
2 |
2 |
|
4 ∙ |
7 |
6 |
∙ 8 |
14 ∙ |
32 |
524. |
|
Ответ: 1) 169; 2) 9; 3) |
524. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.42. Показать, что векторы |
|
2; |
6; 1 и |
|
|
|
||||
5; 3; |
8 перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произве- |
||||||||||
дение равно нулю. Найд м скалярное произведение векторов |
и |
через их |
||||||||
координаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∙ 5 |
6 ∙ |
3 |
1 ∙ |
8 |
0. |
|
|
Пример 2.43. Определить, при каком значении |
векторы |
̅ |
|
|||||||
3 ̅ 2 и |
̅ 2 ̅ |
взаимно перпендикулярны. |
|
|
|
|||||
Решение. Векторы |
и заданы как разложение по ортам координат- |
|||||||||
ных осей. |
Запишем координаты векторов: |
|
; |
3; 2 , |
|
1; 2; |
. |
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Найд м скалярное произведение векторов |
и |
через их координаты: |
||
∙ 1 |
3 |
∙ 2 2 ∙ |
|
6. |
Приравниваем полученное выражение к нулю: |
6 |
0. Отсюда: |
||
6. |
|
|
|
|
Ответ: 6. |
|
|
|
|
Пример 2.44. Найти угол между векторами |
2; 4; 4 |
и |
||
3; 2; 6 . |
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между
векторами: cos |
|
|
. Найд м скалярное произведение векторов и |
|||||||||
| |∙| |
| |
|||||||||||
через их координаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∙ 3 |
|
4 ∙ 2 4 ∙ 6 10. |
||
Далее найд м модули векторов и |
через их координаты: |
|||||||||||
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
4 |
|
6, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
2 |
6 |
|
7. |
|||||
|
|
|
67 |
|
|
|
|
2 ∙ 2 0 ∙ 2 2 ∙ 2 0.
Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны и, следовательно, угол между диагоналями параллелограмма
равен 90 . |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 90 . |
|
|
|
|
|
Пример 2.47. Вектор ̅, перпендикулярный к векторам |
3 ̅ 2 ̅ |
|||
2 |
и |
18 ̅ 22 ̅ 5 , образует с осью |
тупой угол. Найти его коор- |
||
динаты, зная, что | ̅| 14. |
|
|
|
||
|
Решение. Обозначим координаты вектора |
̅через , , |
. Запишем: |
||
̅ |
; ; |
. Так как по условию вектор ̅перпендикулярен векторам и , |
|||
то скалярное произведение вектора ̅с векторами |
и равно нулю: |
̅0, ̅ 0.
Запишем скалярное произведение через координаты векторов: |
|||||||||
3 |
|
2 |
|
2 |
|
0, 18 |
22 |
5 |
0. |
По условию | ̅| |
14. |
|
|
||||||
Запишем |
модуль |
вектора |
̅ |
через его координаты: | ̅| |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Получаем уравнение: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвед м в квадрат: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
196. |
|
|
|
||
Полученные уравнения объединим в систему: |
|||||||||
3 |
2 |
2 |
0, |
|
|
|
|||
18 |
22 |
5 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
196. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим систему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на |
6. Полу- |
||||||||||||||||||
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
34 |
|
|
17 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отсюда |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Подставляем полученное выражение в первое уравнение: |
|
||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
2 ∙ 2 |
0, 3 |
2 |
|
0, |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Подставляем полученные выражения для |
|
и |
в третье уравнение: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
196, |
|
|
|
|
4 |
|
|
196, 49 |
196 ∙ 9, |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
, |
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Так как по условию вектор ̅образует с осью |
тупой угол, то |
||||||||||||||||||
0. Поэтому бер м |
6. Находим остальные координаты: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∙ |
6 |
|
4, |
2 ∙ |
6 |
|
12. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Запишем координаты вектора |
|
̅: |
̅ |
4; |
6; 12 . |
|
|||||||||||||
|
Ответ: |
4; |
6; 12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 2.48. В треугольнике |
|
|
: |
|
, |
|
̅. Выразить вектор |
||||||||||||
, направленный по высоте |
, через векторы |
и |
̅. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
|
|
|
|