Пособие по решению задач (1)

некоторой точки O тела равен M0 .Показать, что элементарная работа сил,

приложенных к свободному твердому телу, определяется соотношением:

A Rdr0 M0ωdt ,

где, ω – угловая скорость тела, а r0 – радиус вектор точки

Решение:

Рис. 21.

Элементарная работа системы сил, по определению, равна

A	F dr
	k	k .

O

.

k

Для нашей задачи она имеет вид

A Fk d (r0 rk ) dro Fk Fk drk Rdr0 Fk drk ,

k	k	k	k
	R

т.к. rk ω rk drk ω rk dt , тогда

A Rdr0 Fk ω rk dt .

k

Выполняя циклическую перестановку в смешанном произведении, получаем

71

A Rdr0 ω rk Fk dt Rdr0 ω dt rk Fk Rdr0 M0ω dt .

k	k
	M0

A

Rdr	M	ωdt
0	0

Ч.Т.Д

.

№ 39. Показать, что потенциальная энергия пружины, состоящей из двух последовательно соединенных частей AB и BD с жесткостями с1 и с2

соответственно совпадает с потенциальной энергией пружины жесткости

с с1с2 . Решить аналогичную задачу для параллельно соединенных пружин.

с1 с2

Решение:

а) Рассмотрим первую часть нашей задачи, схематический рисунок которой имеет вид

Запишем выражение системы

очевидно, что	F F
	1	2

Рис. 22.

для элементарной работы исследуемой механической

A F dl	F dl	2	,
1 1	2

F

F с l				c1
	1 1	l2			l1 ,
F с2l2				c2

Полное удлинение пружины – l l1 l2 , тогда

72

	l	l	c
				2
1
			c	c		c c
			2	1	F l
							1	2	.
				c		c	c
l		l
				1		2		1
	2		c	c
			2	1

Далее

									c c
A F dl F dl							Fdl			1	2	ldl	,
1	1			2		2		c		c
									2		1
		c c			l	2		c c
A W							c				.
			1	2					1	2
	c	2	c		2		c	2	c
				1							1

б) Рассмотрим вторую часть нашей задачи, схематический рисунок которой

имеет вид

Рис. 23.

Запишем выражение для элементарной работы исследуемой механической системы

		A F dl F dl							F F				dl Fdl			,
			1		2			1			2
		F с l
			1 1		F	F1		F2 с1 с2 l ,
		F2 с2l
			1		2		1			2				1	2			,
	A F dl F dl						F	F			dl			с	с		ldl
			A W с1 с2						l2	c с1 с2 .
								2
Ответ: a) c	c1c2	; б)	c с	с
	c2 c1		1		2
							73

ДИНАМИКА СИСТЕМ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

№ 40. Реактивная тележка движется по прямолинейным горизонтальным

направляющим; масса тележки меняется по									закону	M M	0 t ,
относительная		скорость	u			истечения	газов	из	двигателя	постоянна,
начальная	скорость тележки					равна v0	. Найти		зависимость скорости
тележки	от	времени,	если			при движении		на	неё действует		сила
сопротивления		F v v		2	.	Какова будет зависимость в случаях,					когда

одна из констант

или

равна нулю?

Решение:

Запишем уравнение движения для данного случая в векторной форме:

M ddtv F Mc ,

где	c	это вектор относительной скорости массы. Так как наша задача

одномерная, то уравнение примет вид:

	M	dv	v
		dt

т.к. M M0 t M

			M	dv	v
				dt
		v			dv
	a)
			v v2 u
		v
		0

Рассмотрим интеграл вида

v	2

v	2

Mu ,

u
t			dt
				.	(*)
	M	0	t
0

74

dx

1

2Cx B

2Cx B

A Bx Cx

2

C

atan

C

Cx

2

Bx

Z 2atanh

4AC B

2

Z

2

A

1

4 AC B

2

2Cx B

ln

Z ,

4 AC B

2

4 AC B

2

2Cx B

здесь

Z

const

.

Пусть

4 u

2

, тогда (*) перепишем

v

t

1

2 v

1

ln

ln M 0 t

,

2 v

v

0

0

1

2 v

2 v

0

1

ln M 0 t ln M 0

ln

ln

2 v

2 v

0

ln

2 v

2 v

0

ln

M

0

t

,

2 v

2 v

M

0

0

2 v

2 v0 M

0 t .

M 0

2 v

2 v0

Итого

1

2 v

0

M

0

t

v

, где

.

2

1

M 0

2 v0

б) Рассмотрим случай, когда 0

,

	v		dv	t			dt
			u v		M	0	t
	v	0		0

75

,

	1		ln u		v ln
		u v				M	0
	u v			0			M		0

t

u v			0
		v

1 ln M t

0

u	M		t
		0
		M		0



ln M	0
u v
	0

,

,

Ответ:

	a) v	1
		2



	1
	б)	v		u



, где

M	0
	M		0

			2 v		0
			2 v		0
t		u v
			0

M	0	t
	M 0

/

№ 41. Показать, что импульс ракеты, которая движется прямолинейно при отсутствии внешних сил, достигает максимального значения в тот момент,

когда скорость ракеты становится равной скорости истечения газов u

u

const

.

Решение:

Воспользуемся уравнением Мещерского

m t	dv	R	ext		dm t	u.
	dt				dt

В нашем случае уравнение примет вид

m t

dv

dm t

u,

dt

dt

В скалярной форме

dv

dm t

m t

dm

v t

dv

m t

u

,

dt

dt

m

u

m

0

0

76

m

Итого v t u ln

0

. Запишем выражение для импульса

m t

m

0

.

p t

m

t

v

t

m t

u ln

m t

Исследуем функцию на max

dp

m

m m

m

m

u ln

0

mu

0

u ln

0

u u

ln

0

1

dm

m

2

m

m

0

m m

В этом случае

m

ln

0

1 v u

m

0

.

Ч.Т.Д

№ 42. Для создания искусственной гравитации космический корабль,

движущийся по инерции, раскручивается вокруг оси симметрии реактивными силами. Сопла всех n реактивных двигателей установлены симметрично в плоскости, перпендикулярной оси коробля, на расстоянии R от оси, причем можно считать, что рабочее тело сосредоточено в точках 1,2,...,n .

Истечение газов происходит с постоянной относительной скоростью u ,

скорость центра корабля направлена по его оси. Определить количество m

рабочего тела, необходимое для раскручивания корабля от угловой скорости

0 до угловой скорости 1 .

77

Решение:

Рассмотрим схематичный чертеж

Рис. 24.

Момент импульса

K	0

I . Запишем уравнение движения корпуса коробля.

dK

0

d I

dI

I

d

0

dt

dt

dt

dt

dI

I

d

;dI

R

dm;

u

2

dt

dt

R

dI

d

I

78

ПОСЛЕСЛОВИЕ

В качестве заключительного замечания авторы обращают внимание читателей, что, хотя изложенные примеры решения задач содержат все необходимые шаги направленные на получение их решения, тем не менее они не могут заменить приобретение систематических знаний по курсу теоретической механики. Поэтому в качестве дополнительного материала для самостоятельной работы мы рекомендуем читателям ознакомится с содержанием следующего перечня [2–10] учебных пособий и учебников, приводимой в списке рекомендованной литературы.

79

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Пятницкий Е.С. Сборник задач по аналитической механике / Е. С.

Пятницкий, Н. М. Трухан, Ю. И. Ханукаев, Г. Н. Яковенко. - 3-е изд.,

перераб. и доп. - М: Физматлит, 2002. - 396 с.

2.Айзерман М.А. Классическая механика / М.А. Айзерман. - Изд. 3-е. -

М: Физматлит, 2005. - 378 с.

3.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф. Р. Гантмахер;

под ред. Е.С. Пятницкого. - Изд. 3-е, стер. - М: Физматлит, 2005. - 262 с.

4.Голубева О.В. Теоретическая механика / О.В. Голубева. - 2-е изд.,

перераб. - М: Высшая школа, 1968. - 487 с.

5.Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т.1: Механика / Л.Д. Ландау, Е.

М. Лившиц. - 3-е изд., доп. - М: Наука, 1973. - 208 с.

6.Ольховский И. И. Задачи по теоретической механике для физиков:

учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям техники и технологий / И.И.

Ольховский, Ю. Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Изд. 2-е, испр. -

Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2008. - 389 с.

7.Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков / И.И.

Ольховский. - 3-е изд.; перераб. и доп. - М: Московский государственный университет, 1978. - 574 с.

8.Павленко Ю. Г. Задачи по теоретической механике / Ю.Г. Павленко.

-Изд. 2-е, перераб. и доп. - М: Физматлит, 2003. - 534 с.

9.Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике / Ю. Г. Павленко.

-2-е изд. ; перераб. - М: Физматлит, 2002. - 391 с.

80