УСР 23БХ-1 / УСР_4_ Расчет основных показателей описательной статистики

УСР№4 Расчет основных показателей описательной статистики

**

23БХ-1

Случайной величиной называют переменную величину, которая в одних и тех же условиях принимает различные числовые значения, зависящие от случая. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только целые значения. Случайная величина, принимающая все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной. Счетные признаки, варьирующие дискретно, относятся к дискретным случайным величинам, а мерные признаки, варьирующие непрерывно, – к непрерывным случайным величинам.

Значения случайных величин невозможно предугадать даже при полностью известных условиях эксперимента, в котором они измеряются. Можно лишь указать вероятности того, что случайная величина принимает то или иное значение или попадает в то или иное множество. Но, зная распределения вероятностей этих случайных величин, можно сделать выводы о событиях, в которых участвуют случайные величины.

Законом распределения случайной дискретной величины (X) называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины (x₁, x₂, ..., x_n) и соответствующими им вероятностями (р₁, р₂, ..., р_n). 

Распределение Бернулли используется для того, чтобы определить вероятность успешного исхода при одном испытании. Биномиальное распределение используется для определения вероятности появления определенного числа успешных исходов при n независимых испытаниях. Распределение Пуассона описывает число событий, происходящих в одинаковых промежутках времени или на одинаковых площадях, при условии, что события происходят независимо друг от друга. Биномиальное распределение и распределение Пуассона для случайной величины Х можно рассчитать по таблицам.

К непрерывным распределениям относят нормальное, а также связанные с нормальным распределения: Стьюдента, – квадрат и F – распределение Фишера.

Биномиальное распределение.

Пусть производится n последовательных независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить событие А. Вероятность наступления события А в каждом испытании – р, а события – q = 1 – р.

Распределение Пуассона.

Если случайная величина X распределена по закону Пуассона, тогда вероятность того, что при n независимых испытаниях она примет определенное значение m

Нормальное распределение.

В любом более или менее симметричном вариационном ряду заметна одна характерная особенность – накапливание вариант в центральных классах и постепенное убывание их численности по мере удаления от центра ряда. Таким образом, прослеживается широко распространенная в природе закономерность: в статической совокупности большинство вариант оказывается среднего или близкого к нему размера, чем дальше они отстоят от среднего значения, тем реже встречаются в данной совокупности. Такая закономерность описывается законом нормального распределения.

Вероятность Р(x_i) любого значения x_i непрерывно распределяющейся случайной величины Х находится в интервале от х до x + dx и определяется функцией Гаусса-Лапласа (нормальное распределение)

Закон больших чисел и центральная предельная теорема.

Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений. Теоретическим обоснованием этого свойства случайных явлений является закон больших чисел, который утверждает, что при определенных, достаточно общих условиях, с увеличением числа случайных величин (объема выборки) их выборочное среднее арифметическое стремится к генеральной средней величине и перестает быть случайным.

Центральная предельная теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.