- •Контрольная работа
- •Список литературы
- •Решение типового варианта контрольной работы.
- •Контрольная работа №10. Вариант 1.
- •Контрольная работа №10. Вариант 2.
- •Контрольная работа №10. Вариант 3.
- •Контрольная работа №10. Вариант 4.
- •Контрольная работа №10. Вариант 5.
- •Контрольная работа №10. Вариант 6.
- •Контрольная работа №10. Вариант 7.
- •Контрольная работа №10. Вариант 8.
- •Контрольная работа №10. Вариант 9.
- •Контрольная работа №10. Вариант 10.
- •Контрольная работа №10. Вариант 11.
- •Контрольная работа №10. Вариант 12.
- •Контрольная работа №10. Вариант 13.
- •Контрольная работа №10. Вариант 14.
- •Контрольная работа №10. Вариант 15.
- •Контрольная работа №10. Вариант 16.
- •Контрольная работа №10. Вариант 17.
- •Контрольная работа №10. Вариант 18.
- •Контрольная работа №10. Вариант 19.
- •Контрольная работа №10. Вариант 20.
- •Контрольная работа №10. Вариант 21.
- •Контрольная работа №10. Вариант 22.
- •Контрольная работа №10. Вариант 23.
- •Контрольная работа №10. Вариант 24.
- •Контрольная работа №10. Вариант 25.
- •Контрольная работа №10. Вариант 26.
- •Контрольная работа №10. Вариант 27.
- •Контрольная работа №10. Вариант 28.
- •Контрольная работа №10. Вариант 29.
- •Контрольная работа №10. Вариант 30.
Контрольная работа
Числовые ряды.
Функциональные ряды.
Степенные ряды.
Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.
Ряды Фурье.
Список литературы
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
Решение.
В данном случае
Вычислим
Следовательно, ряд расходится.
Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.
Для рассматриваемого ряда
;
Вычислим
Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
Так как в записи общего члена ряда есть факториал ( ), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда
Вычислим
В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.
Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь
Вычислим
Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.
Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его
Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.
Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
Полученный ряд эквивалентен исходному, так как
Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.
Так как , то
.
Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.
Оценим общий член ряда:
.
Ряд
Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
Пример2. Найти область сходимости ряда .
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
Ряд сходится, если
или ;
или ,
.
Ряд расходится, если .
Неопределенный случай: т.е. или ,
Пусть : ‑ сходится.
Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.
Пусть : .
Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Получили, что ‑ область сходимости ряда.
Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .
Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:
+...
Вычислим интеграл
.
Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .
Решение.
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :
Найдем , продифференцировав обе части равенства по :
Окончательно получим:
.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
в интервале (-2, 2):
по синусам на интервале .
Решение.
Разложение периодической (период ) функции имеет вид:
а) В нашем примере l=2.
где
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
;
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
Аналогично предыдущему
и окончательно получим:
Подставляя полученные значения в разложение , получим:
б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).
Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .
Найдем коэффициенты , используя формулу:
Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:
.
Таким образом, .