Sam

1 м/сек. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изме-

нятся эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха?

15.Кривая проходит через точку (1; 5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

16.За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 1;8

ми высотой H = 2;45 м через отверстие в дне диаметром 2r = 6 cм? Ось цилиндра вертикальна.

17.Найти кривую, для которой треугольник, образованный осью Oy, касательной и радиус-вектором точки касания, равнобедренный.

18.Через сколько времени после начала вращения маховик будет обладать угловой скоростью 1 об=с, если он начал вращаться с угловой скоростью 5 об=с, а через 2 мин его скорость равнялась 3 об=с ? Сила трения, замедляющая движение маховика, пропорциональна угловой скорости вращения.

19.Найти кривую, для которой треугольник, образованный нормалью с осями координат, был бы равен треугольнику, образованному осью Ox, касательной и нормалью.

20.Найти кривую, касательная к которой отсекает на оси Oy отрезок, равный

1=n-й суммы координат точки касания.

21. Найти кривую, средняя ордината которой на отрезке [0; x], то есть величи-

	x
	1
на	x Z	u dx, пропорциональна последней ординате, соответствующей правому концу

0

отрезка [0; x].

22.Определить кривые, у которых отрезок, отсекаемый нормалью на оси Ox, равен y2=x.

23.Определить кривые, у которых отрезок, отсекаемый нормалью на оси Oy, равен x2=y.

25 Найти уравнения кривой прходящей через точку (0; 2), если площадь криволинейной трапеции, ограниченй дугой этой кривой, в два раза больше длины этой дуги.

26. Тело охлаждается за 10 минут от 100 градусов до 60 градусов. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20 градусов. Когда тело остынет лдо

11

25градусов?

27.Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия , если в течение года из каждого грамма радия распадается 0.45 мг.

28.За 30 дней распалось 50 первоночального количества радиоктивного вещества.Через сколько времени останется 2 от первоночального количества?

29.Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти угловую скорость диска через 3 мин после начала вращения, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью

200 об=мин, по истечении 1 мин вращается со скоростью 120 об=мин.

30. Материальная точка массой 1 г движется из состояния покоя прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени от начала движения и обратно пропорциональной скорости. В момент t = 10 скорость равнялась 40 см=c. Какова будет скорость точки спустя минуту после начала движения ?

Решить уравнения.

1. (x + 2y) dx ¡ x dy = 0.

3. (x ¡ y) dx + (x + y) dy = 0.

5. (y2 ¡ 2xy) dx + x2 dy = 0.

7. xy0 ¡ y = (x + y) ln

x + y

.

x

9. (y + p

) dx = x dy.

xy

11.

xy0

p

+ y.

=

x2 + y2

13.

x2 dy = (y2

¡

xy + x2) dx

.

15.

(4x ¡ 3y) dx + (2y ¡ 3x) dy = 0.

17. xy0

= 2

x2 + y2

+ y.

19.

2

y2

xy

.

2x

y0

=p

+

21. y0 =

y

ln

y

.

x x

23.

(x + 2y) dx ¡ x dy = 0.

25.

xy0

= x

¡

y

.

27.

2x2y0 = y2 + xy.

29. x2y0 = y2 + 6xy + 6x2.

2.2x3y0 = y(2x2 ¡ y2).

4.y2 + x2y0 = xyy0.

6.(x2 + y2)y0 = 2xy.

8.xy0 ¡ y = x tg xy .

10.xy0 = y ¡ xey=x.

12.xy0 = y(ln x ¡ ln y).

14.2x2y0 = x2 + y2.

16. xy0

=

3y3+12yx2

.

2y2+6x2

18. x2(y0 ¡ 1) = y2.

20.

(y +

x2 + y2

) dx ¡ x dy = 0.

22.

y

= e¡y=x + y=x

.

0

p

24. yy0

= x +

1

y.

2

26. x dy ¡ (x + y) dx = 0.

28.

(y + pxydx

¡

x dy = 0.

30. xy0

= 4p

+ y.

x2 + y2

Решить уравнения.

12

1. y0

¡

2yx

= 1 + x2.

2. y0 ¡ y cos x = sin 2x.

1+x2

3. y0

¡ y ctg x = 2x sin x.

4. xy0 ¡ 2y = 2x4.

5. y0 ¡ 2xy = 3x2 ¡ 2x4.

6.y0 ¡

2y

= (x + 1)3.

x+1

7. y dx ¡ (2x + y3) dy = 0.

8. y0 + y tg x = cos2 x.

9. (2ey ¡ x)y0 = 1.

10. (xy0 ¡ 1) ln x = 2y.

11. xy2y0 = x2 + y3.

12. y = x(y0

¡ x cos x).

13. y0 + 2xy = xe¡x2 sin x.

14. y0 +

2x

=

2x2

.

2

2

1+x

1+x

15.y0 + 2y = x2 + 2x.

16. (x2 + 2x ¡ 1)y0 ¡ (x + 1)y = x ¡ 1.

17. x ln x ¢ y0

¡ y = x3(3 ln x ¡ 1).

18. (a2 ¡ x2)y0 + xy = a2:

19. 2xy0 ¡ y = 3x2.

20. (x + 1) dy ¡ (2y + (x + 1)4) dx = 0.

21. y0 =

1

.

2

.

22. y0 ¡ 2xy = 2xex

x sin y + 2 sin 2y

x3 ¡ 2

23.

x(x3 + 1)y0 + (2x3

¡

1)y =

.

24.

y0 + y cos x = sin x cos x

.

x

25.

x ln x

¢

y0

¡

(1 + ln x)y + 1 p

(2 + ln x) = 0

. 26.

(xy + x2y3)y0 = 1

.

x

2

27. y0 ¡ y = 2xex+x2 .

28. xy0 ¡ y = x2 sin x.

29. x2y0 + 2x3y = y2(1 + 2x2).

30. y0 =

3x2

.

x3 + y + 1

Решить задачу Коши.

1. y0 + 4x3y = 4(x3 + 1)e¡xy2;

y(0) = 1.

2. y0

+ y = xy2;

y(0) = 1.

3. 2(xy0 + y) = y2 ln x;

y(1) = 2.

4. y0

+ xy = (x ¡ 1)exy2; y(0) = 1.

5. y0 ¡ 9x2y = (x5 + x2)y2=3;

y(0) = 0.

6. y0

¡ y = xy2;

y(0) = 0.

7. xy0 ¡ y = y2;

y(0) = 0.

8. xy0 + y = xy2;

y(0) = 0.

9. y0

¡ 2xy = 2x3y2;

y(0) = 0.

10. 8xy0 ¡ 12x2y = ¡(x2 + 3)y2e¡2x; y(1) = p

.

2

11. xy0 + y = y2 ln x;

y(1) = 1.

12. 2xy0 ¡ 3y = ¡(5x2 + 3)y3;

1

.

y(1) = p

2

13. y0 + 2xy = 2x3y2;

y(0) = p

.

2

14. 3y0 + 2xy = 2xy¡2e¡2x2 ;

y(0) = ¡1.

13

15. xy0

+ y = 2y2 ln x;

y(1) =

1 .

2

16. xy0

¡ y = ¡y2(ln x + 2) ln x;

y(1) = 2.

17. y0 ¡ y tg x = ¡32 y4 sin x; y(0) = 1.

y(0) = 1.

18.

2y0 + 3y cos x = e2x(2 + 3 cos x)y¡1;

19.

2xy0 ¡ 3y = ¡(20x2 + 12)y3;

y(1) = 21 p

.

2

20.

2(y0 + y) = xy2;

y(0) = @.

21.

2(xy0 + y) = y2 ln x; y(1) = 2.

22.

4y0 + x3y = (x3 + 8)e¡2xy2;

y(1) = p

.

2

23.

2(y0 + xy) = (x

¡

1)exy2

;

y(0) = 2

.

24.

4y0 + 4x3y = 4x3 + 1e4xy2;

y(0) = 1.

25.

2y0 + y cos x = y¡1 cos x(1 + sin x);

y(0) = 1.

26.

2(y0 + xy) = (1 + x)e¡xy2;

y(0) = 2.

27. y0 + 4x3y = 4y2e4x(1 ¡ x3);

y(0) = ¡1.

28.

3y0 + 2xy = 2xy¡2ex2 ;

y(0) = ¡1.

y(0) = 2.

29.

2y0 + 3y cos x = (8 + 12 cos x)e2xy¡1;

30. y0 + 2y cth x = y2 ch x;

y(1) =

1

.

3xy0 + 5y = (4x

5)y4;

sh 1

31.

¡

y(1) = 1

.

Решить уравнение Риккати.

1. y0 = ¡2e¡2xy2 + 4e2x.

2. y0 = ¡y2 + 1 + x2.

3. y0 =

1

y2 +

1

.

4. y0 ¡ 2y2 = ¡2x2(3 ¡ 4x4).

2

2x2

5. y0 = y2 ¡ 9.

6.y0 ¡ 4y2 = ¡100.

7. y0 + y2 = ¡1=(4x2).

8.y0 ¡ e¡2xy2 = e2x.

9. x2y0 = x2y2 + xy + 1.

10.y0 + 3y2 = ¡3x2 + 3x6.

11.y0 + 3y2 = 3 + 27x2.

12.y0 ¡ 4y2 = 4x3 ¡ 64x8.

13.y0 ¡ y2 + 2yex = e2xex.

14. y0 + 4y2 = 12x¡2.

15. xy0 ¡ (2x + 1)y2 = ¡x2.

16. y0 + 3exy2 = 2e¡x.

17.y0 ¡ exy2 = ¡2e¡x.

18. x2y0 + (xy ¡ 2)2 = 0.

19. y0 ¡ y2 = x¡2.

20.y0 + 4y2 = 2x2(3 + 8x4).

21. y0 + 3y2 = 6x¡2.

22.y0 + 2exy2 = e¡x.

23.y0 ¡ y2 = 6x2 ¡ 4x6.

24.3y0

+ y2 =

2

.

x2

25.y0 + 5y2 = 2 + 20x2.

26. y0

= 2xy ¡ y2 + 5 ¡ x2.

14

27. y0	= ¡y2 + 4.	28.y0 + 4e¡2xy2 = 6e2x.
29. y0	+ 2y2 = 2x¡2.	30.2y0 + 5y2 = 8 + 80x2.

Найти общее решение уравнения в полных дифференциалах.

1.2(x2 ¡ y)dx + (3 ¡ 2x)dy = 0.

2.(sin xy + xy cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0.

3.xy2 dx ¡ xyx+1 dy = 0.

4.(x2+y y2 + ex)dx ¡ x2xdy+y2 = 0.

5. (y ch x + sh y) dx + (x ch y + sh x) dy = 0.

6. x(2x2 + y2) dx + y(x2 + 2y2) dy = 0.
7. 3x2(1 + ln y) dx = µ2y ¡ y ¶ dy.
				x3
1				x
8.µ1 +		ex=y¶dx +	µ1 ¡		ex=y¶dy = 0.
	y			y2

9.ey dx + (cos y + xey) dy = 0.

10.(10xy ¡ 8y + 5)dx ¡ (5x2 ¡ 8x + 4)dy = 0.

11.(sin 2x ¡ 2 cos(x + y)) dx ¡ 2 cos(x + y) dy = 0.

12 (y2 + y sec2 x) dx + (2xy + tg x) dy = 0.

13 (cos(x + y2) + sin x) dx + 2y cos(x + y2) dy = 0.

1

x cos y

14.

µ10xy ¡

¶dx + µ5x2

+

¡ y2 sin3 y¶dy = 0.

sin y

sin2 y

2

2x

2x

2x

15.

µ3x2

+

cos

¶dx ¡

cos

dy = 0.

y

y

y2

y

1 x

1 x

16.

(1 +

ey ) dx + (1 ¡

ey ) dy = 0.

y

y2

17.

2(3xy2 + 2x3) dx + (6x2y + y2) dy = 0.

18.

(5xy2 ¡ x3) dx + (5x2 ¡ y) dy = 0.

19.

(y3 + cos x) dx + (3xy2 + ey) dy = 0.

20.

(2x2 + 3y2) dx + (x2 + 6xy ¡ 3y2) dy = 0.

µ

3y

¶

¡

3

21.

xy2

+

x

dx

1

dy = 0.

2

x

22. sin x cos

y dx + cos x sin y dy = 0.

23. e¡ydx ¡ (2y ¡ xe¡ydy = 0.

24. x(2x2 + y2) dx + y(x2 + 2y2) dy = 0.

25.

(x2 + sin y) dx + (1 + x cos y) dy = 0.

26.

(ex+y + 3x2) dx + (ex+y + 4y3) dy = 0.

x2

27.

(y + x ln y) dx + µ

+ x + 1¶ dy = 0.

2y

15

28.

y

dx + (y3 + ln x) dy = 0.

x

x

x

29.

(2x + ey )dx + (1 ¡ xy )ey dy = 0.

30.

³ex + x2

´ dx ¡ µy2

+ x¶ dy = 0.

y

1

Интегрируюший множитель

Пусть уравнение

P (x; y)dx + Q(x; y)dy = 0:

(1)

не являеется уравнением в полных дифференциалах, То есть

@P

@Q

6=

;

@y

@x

Интегрирующим множителем для уравнения (1) называется функция m(x; y) =6 0, после умножения на которую уравнение (1) превращается в уравнение в полных дифференциалах.

То есть для уравнения
mP dx + mQ dy = 0	(2)

уже выполнятся условие

(mP )0y = (mQ)0x:

Если функции P (x; y); Q(x; y) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует.

После преобразоваеия (2) получается уравнение для нахождения интегрирующего множителя m(x; y)

m(Py0 ¡ Qx0 ) = Qmx0 ¡ P my0 :

(3)

Общего метода нахождения решения уравнения (3) не имеется. В некоторых слчаях его решение можно искать путем подбора. Например,

	m = m(x); m = m(y); m = m(xy); m = m(x + y); m = m(			x	):
				y
	В частности, если выражение
		Py0 ¡ Qx0				(4)
		Q

зависит только от x, то интегрирующий множитель можно искать в виде m = m(x);

	если выражение
		Py0 ¡ Qx0	(5)
		P

16

зависит только от y, то интегрирующий множитель можно искать в виде m = m(y):

Замечание. В некоторых случаях общее решение уравнения (1) можно получить

выделяя в нем полные дифференциалы с помощью формул

d(xy) = y dx + x dy;

d(yn) = nyn¡1 dy;

d(ln y) =

dy

;

y

d

x

=

y dx ¡ x dy

; x dx + y dy =

1

d(x2 + y2)

µy ¶

y2

и т.д.

2

Пример 1. Решить уравнение

y dx ¡ (4x2y + x) dy = 0:

Здесь P = y, Q = ¡(4x2y + x),

Py0 = 1; Q0x = ¡(8xy + 1)

Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах

В соотвеетствии с (4):
	Py0 ¡ Qx0		1 + (8xy + 1)			2
	Q	=		¡(4xy + 1)x		= ¡	x

не зависит от y. Поэтому, интегрирующий множитель ищем в виде m = m(x) и

определяем его из уравнения (3):

1 dm

2

1

= ¡

; m(x) =

:

m dx

x

x2

Умножая рассматриваемое уравнение на

1

, получаем уравнение в полных диф-

ференциалах

x2

y

1

dx ¡ (4y +

) dy = 0:

x2

x

y

+ 2y2 = C:

x

его общее решение. Заметим, что умножая уравнение на x12 , было потеряно решение x = 0 (проверяется подстановкой x = 0 в исходное уравнение).

Пример 2. Решить уравнение

(y2 + x2 + a)y dxdy + (y2 + x2 ¡ a)x = 0;

17

где a параметр.

Запишем уравнение в виде

(x2 + y2)(x dx + y dy) ¡ a(x dx ¡ y dy) = 0

или

(x2 + y2) d(x2 + y2) ¡ a d(x2 ¡ y2) = 0:

Выделяем полный дифференциал:

d((x2 + y2)2 ¡ 2a(x2 ¡ y2)) = 0:

Общее решение:

(x2 + y2)2 ¡ 2a(x2 ¡ y2) = C:

Пример 3. Решить уравнение

x2y(y dx + x dy) = 2y dx + x dy:

x2y d(xy) = y dx + d(xy);

dx

1 d(xy)

; x 6= 0; y 6= 0;

d(xy) =

+

x2

x

xy

d(xy) = ¡d µx

¶ + x xy

:

1

1 d(xy)

Обозначим u = xy, v =

1

.

x

du

dv

v

du = ¡dv + v

;

=

¡ 1 (уравнение однородное):

u

du

u

v = uz(u);

dv

= z(u) + uz0(u);

du

z(u) + uz0(u) = ¡1 + z(u); uz0(u) = ¡1; z = ln

1

:

j

cu

j

Возвращаясь к переменным x, y, записываем ответ

x2y ln jcxyj = ¡1;

x = 0; y = 0:

Найти решения с помощью интегрирующего множителя.

1.(e¡y3x + y)dx ¡ (2x ¡ 15y ¡ y5 )dy = 0.

2.(1 + y2) dx ¡ 2y tg 2x dy = 0.

18

3.

(10y ¡ 8xy + x5 )dx + (5x ¡ 8 + x4 )dy = 0.

4. (

ex

+ y)dx ¡ (2x ¡ 15y)dy = 0.

y

5.

(y + sec2 x) dx + (2x + tg x ) dy = 0.

y

³

y

´

6. µ2xy ¡ y ¡

y2

¶dx ¡ 2y2

¡

y

dy = 0.

x2

x

7.

dx ¡ (xy + 1) dy = 0.

x

8.

1 + xy

dx +

1 ¡ xy

dy = 0.

µ

x

y

¶

y

y

¡

9.

1 +

3y2

dx

2y

dy = 0.

x2

x

10.y cos x 2) dy = 0.

11.ey2 dx + (xyey2 + = 0.dx ¡ (x cos x + 2yx1 tg2 y) dy

y

1x

12.

ex +

dx ¡

dy = 0.

x3

x2

¶

µ

y

3

¶

µ

y2

y

ex

13.

³y +

cos´

dx +

3x +

dy = 0.

2

14.

(5xy ¡

x

) dx + (5x2 ¡ 1) dy = 0.

y

15.

(y + (x2 + y2)ex) dx ¡ x dy = 0.

16.

1

dx +

µy +

ln x

¶dy = 0.

17.y ¡ 2x3 tg xy ´dx ¡ x dy = 0.

18.(x2 ¡ sin2 y) dx + x sin 2y dy = 0.

19.µ1 ¡ x¶dx + µ2xy + x + x2 ¶dy = 0. y y y2xy y

20. x dy ¡ (3x2 cos y ¡ sin y) cos y dx = 0.

21. y dx ¡ (x + x2 + y2) dy = 0.

2

1

1

y

x

µ

¡

¶ dx + µ

¡

¶ dy = 0.

xy

(x ¡ y)2

y(x ¡ y)2

y2

23. x dx +

1

(x2

+ y2) dy = 0.

y

24.

2x dx +

x

y

dy = 0.

y

x

µ

¡

¶

3

25. y dx + (xy

+ x ln x) dx = 0.

(3x2 + y2) dx ¡ µ

x3

+ 1¶dy = 0.

26.

2

y

27.

(y2 + yex=y) dx + (y2 ¡ xex=y) dy = 0.

28.

µ3x2y + y cos

2x

¶dx ¡

2x

cos

2x

dy = 0.

y

y

y

x

y

y

x

29.

µ

y3x¡ 4 ¡

2

¶dx + µ

¡ 4 ¡

2

¶dy = 0.

x

x

y

30.

(

e¡

+ 1)dx ¡ (2xy ¡ 15 ¡

5

)dy = 0.

y2

y2

19

31. (e¡y2x + y)dx ¡ (2x ¡ 15y)dy = 0.

Решить уравнения методом введения параметра.

1. y = y02 + 4y03.

3. y = (y0 ¡ 1)ey0.

5. x = y03 ¡ y0 + 2.

7. x + ln y0 + sin y0 = 0.

9. x = y03 + 2y0.

11. x + y0py02 + 1 = 0. 13. 2x + y0p1 + y02.

15. y = y02 ¡ 4y03.

17. (y0 + 1)3 = (y0 + y)2.

19. y04 + y02 = y2.

21. 2y0 ¡ y02 ¡ 4xy0 ¡ x2.

23. y04 + 2yy0 + y2 = 0. 25. x + ln y0 ¡ 2 sin y0 = 0.

27. x = y04 + 5y0.

29. xy02 = yy0 + 1.

Решить уравнения Лагранжа и Клеро.

1. 3y ¡ 3xy0 = ¡y03.

3. y = xy0 + 5(y0)¡2. 5. 2yy03 ¡ 2xy0 ¡ 1 = 0. 7. y = 2xy0 ¡ 4y02 + 3.

9. x = y(y0)¡1 ¡ 2(y0)¡2.

11. y + xy0 = ¡4py0. 13. y04 = 4(xy0 ¡ y).

15. xy0 ¡ y + ln y0 = 0.

17. y0 ¡ 2xy ¡ 8y03 = 1.

19. 2y02(y ¡ xy0) + 1 = 0. 21. x = y(y0)¡1 + 4(y0)¡2.

23. y + xy0 = 5py0.

2. y + y02 exp y0 = 0.

4. y0 = e2y0=y.

6. x = 2y0 ¡ ln y0.

8. y0 cos y0 ¡ sin y0 = y. 10. x(y02 ¡ 1) + 2y0 = 0. 12. y0(2x ¡ ln y0) = 1. 14. y0 sin y0 = cos y0 + y. 16. y + ln(1 + y02) = 0. 18. y + (y0 ¡ 1)ey0 = 0.

20. y02 + y03 = y2.

22. x = y0 sin y0.

24. y02 ¡ 2xy0 = x2 ¡ 4y.

26. y0 cos y0 ¡ sin y0 = 2y. 28. x(y02 ¡ 1) ¡ 4y0 = 0. 30. x + 2 ln y0 + cos y0 = 0.

2.	y	xy + 3 1 + y 2					.
	xy=02	0yy0	=p2y0		¡	40
4.		¡				.

6. y ¡ xy0 ¡ 3 ¡ y0 = 04. 8. y ¡ xy0 ¡ 2 ¡ ey0 = 0. 10. y = xy0 + 3y02.

12. y = 2xy0 + 8y03. 14. y = xy02 + 6y03. 16. xy0(y0 ¡ 3) = y.

18. y ¡ x(y + 1)0 + y02 ¡ 1 = 0. 20. 2xy0 ¡ y = 2 ln y0.

22. y = xy0 + 5y02. 24. y = 2xy0 ¡ 2y03.

20