POS_EE_part1

Переход от показательной формы к тригонометрической осуществляется по формуле Эйлера

Ae jψ = A cos ψ + jAsin ψ,

обратный переход, принимая во внимание представление комплексных чисел, также несложен:

I =	& 2	&	2	,	U =	&	2	&	2	-
	Re(I )	+ Im(I )				Re(U )		+ Im(U )

- модули комплексных чисел;

ψi	= arctg	Im( I&)	,
		Re(I&)

-начальные фазы.

			&
	ψu	= arctg	Im(U )	-
			&
			Re(U )

Кроме аналитической формы представления, в электротехнике широко используется и графическое представление величин (рис.

3.1):

+j

Im(Đ)

&

Im(U )

0

	I&		1) в прямоугольной де-
		&	картовой системе координат в
		U	виде синусоидальных функ-
	ϕ
ψi			ций времени;
	ψu	+1	2) в	полярной	системе
Re(Đ)			координат	в виде	вращаю-
		&	щихся векторов;
	Re(U )

Рис. 3.1

3) на комплексной плос-

кости в виде вращающихся векторов, изображенных для момента времени t = 0.

Величина электрического сопротивления, в отличие от ЭДС, тока и напряжения, не вектор, а скаляр.

Всоответствии с законом Ома, записанным в комплексном виде,

ис учетом вариантов представления комплексных чисел широко известна запись:

&
Z =	U	= R + j( X L − X C ) = Ze jϕ	, Ом,
	I&
где R – линейное активное сопротивление, Ом;

XL − идеальное индуктивное сопротивление, определяемое как

XL = ω L, Ом;

XC − идеальное емкостное сопротивление, определяемое как

XC = 1/( ω C), Ом;

= 2A, Um

Z = R2 + ( X L − X C )2 − модуль полного комплексного сопро-

тивления, Ом;

ϕ = arctg X L − X C − фаза полного комплексного сопротивления,

R

град (рад).

При последовательном соединении полное комплексное эквивалентное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений отдельных участков:

n	n		n	n
Z э = ∑ Z k = ∑ Rk + j			∑ X Lk	− ∑ X Ck .
k =1	k =1	k =1		k =1

Основные элементы схем замещения цепей синусоидального тока и их параметры сведены в табл. 3.1.

3.1.2. Примеры решения задач

Пример 1

Заданы графические изображения тока и напряжения, известны их амплитудные значения Im = 141 B (рис.3.2).

1.Записать аналитические выражения функций в тригонометрической и комплексной формах.

2.Определить полное комплексное сопротивление цепи.

	u, i
	i	u
		t
0
		0,001 с
		Т=0,01 с
		Рис. 3.2

3.Вычертить электрическую схему цепи и определить ее пара-

метры.

4.Построить векторную диаграмму тока и напряжения.

Решение

1. Исходя из общего вида записи, определяются: i=Im sin(ωt+ψi),

u=Um sin(ωt+ψu),

угловая частота:

ω = 2πf = 2π/T = 2π/0,01≈ 628, c-1.

		Пассивные элементы электрической цепи					Таблица 3.1
Элементы схем замещения				Полное	Модуль полного	Аргумент	Упрощенная
			Запись закона	комплексное	комплексного	полного
							векторная
Название	Обозначение		Ома	сопротивление,	сопротивления,	комплексного
							диаграмма
				Ом	Ом	сопротивления

Идеальный

ре-

R

&

&

/ R

&

I

=U

R

Đ

зистивный

эле-

&

&

R

R

0

U

мент

U R

= RI

Идеальный

ин-

L

&

&

jXL=jωL=

&

дуктивный

эле-

I

=UL /( jXL) ,

XL=ωL

90

o

U

&

&

j900

ϕ= 90o

мент

U L

= jX L I

= ωLe

Đ

Идеальный

ем-

C

&

&

) ,

−jXC=−j/(ωC)=

o

I

=U /(−jX

костный элемент

C

C

=[1/( ωC )]e

− j900

XC=1/(ωC)

– 90o

ϕ= -90

Đ

&

&

&

UC

= − jX C I

U

Реальная индук-

L

R

&

&

&

2

2

X L

U

тивная катушка

I

=U Z

Z=R+jXL

Z =

R

+ X L

ϕ = arctg

ϕ>0 Đ

R

Последователь-

Đ

ное соединение

R

С

− X C

ϕ<0

резистивного

и

&

&

2

2

I

=U Z

Z=R-jXC

Z =

R

+ X

ϕ = arctg

&

идеального

ем-

C

R

U

костного

эле-

ментов

Обобщенный

Z

&

&

Z=

ϕ=arctg

X L − XC

элемент

I

=U Z

Z=R+j(XL-XC)

= R2 +(XL − XC )2

R

Величины начальных сдвигов фаз:

для тока - из графика видно, что ψi = 0,

для напряжения –

определяем из пропорции:

0,01 − 2π

ψ

=

0,001·2π

=

π

0,001 − ψ

0,01

.

u

u

5

График тока пересекает начало координат раньше, чем график

напряжения, поэтому ψu< 0.

После этого выражения для мгновенных значений приобретут

вид:

i=2 sin(628 t), A,

u=141 sin(628t-p/5), B.

Для перехода к комплексной форме записи определяются дейст-

вующие значения тока и напряжения:

I

= I m /

2 = 2 /

2 » 1,41, A;

U = U m /

2 = 141/

2 » 100, B.

Комплексные значения тока и напряжения в показательной

форме имеют вид

&

j0o

&

= 100 × e

− j36o

I = 1,41× e

, A ; U

, B .

2. Полное комплексное сопротивление цепи

&

100e

− jπ/5

U

= 70,92e− jπ/5 , Ом.

Z = & =

1,41e

j0

I

Воспользовавшись формулой Эйлера, получим

Z = 70,92cos(– p/5) + j70,92sin(– p/5) = 57,37 –

j 41,68, Ом,

следовательно,

R = 57,37 Ом, XC = 41,68 Ом, C = 1/(wXC) = 7,64×10-5 = 76,4, мкФ.

3. Электрическая схема замеще-

XC

ния содержит активное сопротивление

R

R = 57,37 Ом и емкостное XC = 41,68

Ом с величиной емкости С = 76,4 мкФ

(рис. 3.3).

Рис. 3.3

4. Векторная диаграмма тока и напряжения показана на рис. 3.4.

+j	Đ	+1
0
	φ=−36
		&
		U
	Рис. 3.4

Пример 2

Даны комплексные значения тока и напряжения: I& = (4 + j3), A ,

&	+ j20), B, частота питающей сети f = 50	Гц.
U = (20

1. Записать ток и напряжение в комплексной показательной форме и выражения для их мгновенных значений.

2. Вычислить величину Z.

3. Построить векторную диаграмму тока и напряжения.

4. Вычертить схему замещения участка электрической цепи.

Решение

1.Модуль тока

I =

Re(I&)2 + Im(I&)2 =

42 + 32 = 5, A,

начальная фаза тока

ψi= arctg (Im(Đ) / (Re(Đ)) = arctg(3/4)=36,9°,

комплекс тока в показательной форме записи

I& = 5e j36,9o , A .

Модуль напряжения

U =

&

2

&

2

= 20

2

+ 20

2

= 28,3,

В,

Re(U )

+ Im(U )

начальная фаза напряжения

&

20

Im(U )

ψu = arctg

= arctg

= 45o ,

&

20

Re(U )

комплекс напряжения в показательной форме записи

&

= 28,3е

j45°

, В.

U

Амплитудные значения:

тока I m = I 2 = 52 = 7,1, A;

напряжения U m = U					= 28,3				= 40, B .
				2				2
Мгновенные значения:
тока i = 7,1sin(314t + 0,64), A;
напряжения u = 40 sin (314t+π/4), B.
2. Полное комплексное сопротивление цепи
&			28,3e			j 45o
Z =	U	=					= 5,66e j8,1o			, Ом.
	I&
			5e	j36,9o

3.В алгебраической форме (переход по формуле Эйлера через тригонометрическую форму)

Z = 5,66cos(8,1˚) + j5,66sin (8,1˚) = 5,6 + j 0,8, Ом.

4.Векторная диаграмма тока и напряжения представлена на

рис. 3.5

+j

&
U
	Đ
	φ = 8,1o
ψu = 45o
ψi = 36,9o		+1
0
Рис. 3.5
5.Схема замещения цепи (рис. 3.6)		R	L
			Рис. 3.6
Пример 3
Задана электрическая цепь (рис. 3.7),		R	L
содержащая последовательно вклю-
ченные катушку индуктивности с ак-	U&
тивным сопротивлением R = 10 Ом и			C
индуктивным сопротивлением XL = 2
Ом и конденсатор с емкостным со-		Рис. 3.7
противлением XC = 5 Ом. Напряжение

питания цепи U = 36 В. Вычислить величину тока и построить векторную диаграмму тока и напряжений.

Решение

Полное комплексное сопротивление цепи

Z = R + j( X L - XC ) = 10 - j3 = 10,44е− j16°42′, Ом.

Согласно закону Ома в комплексной форме ток в цепи составит

		&				36е	j0°
&	=	U		=				= 3,45е	j16°42′	, A .
I			Z			10,44е− j16°42′

По известным значениям тока и сопротивлений участков цепи вычисляются падения напряжения на отдельных участках схемы замещения электрической цепи:

U R = RI = 10 × 3,45 = 34,5, B,

U L = X L I = 2 × 3,45 = 6,9, B, UC = X C I = 5 × 3,45 = 17,25, B.

Алгоритм построения векторной диаграммы тока и напряже-

ний (рис. 3.8):

+j			&
			U L
&				I&
Uк	&			&
	U	R
				UC
	ϕ = – 16°42′			+1
0			&
			U
	Рис. 3.8

1) поскольку в цепи из последовательно соединенных элементов общим для последних является ток, построение векторной диаграммы начинается с откладывания вектора тока I&;

2)из начала координат по вектору тока откладывается вектор

&длина вектора определяется исходя из масштаба напряжений

U R (

mU);

	3)	из конца вектора		&	перпендикулярно вектору		&	строится
				U R			I
		&				&		o
	вектор		так, чтобы этот вектор опережал вектор тока				на 90 ;
		U L				I

&&

4)сумма векторoв U R и U L равна вектору падения напряжения

&
на катушке U к ;
5) из конца вектора	&	или	&	&
	U L		U к	проводится векторU C ; его на-

правление определяется из условия опережения вектором тока векто-

&	на угол π /2 (в случае идеального емкостного эле-
ра напряжения U C
мента);
6) сумма векторов падений напряжения		&	&	и	&	равна
		U R ,	U L		UC

вектору напряжения & , приложенного к электрической цепи.

U

Пример 4

В электрическую цепь с напряжением на входе u = 141 sinωt, В, включена катушка индуктивности с активным сопротивлением R = 3 Ом и индуктивным сопротивлением XL = 4 Ом.

Вычислить показания включенных в цепь амперметра и вольтметра, а также мощность, потребляемую цепью.

Решение

Полное комплексное сопротивление цепи

Z = R + jX L = 3 + j4 = 5е j53,1° , Ом.

Действующее значение напряжения (показание вольтметра)

U = U m /

2

= 141/

2

= 100, B.

Действующее значение тока (показание амперметра)

I =

U

=

100

= 20, A.

Z

5

Комплексное значение тока (начальная фаза напряжения соглас-

но условию задачи равна нулю)

&

&

100е

j0°

− j53,1°

=

U

=

= 20е

= 20 cos (−53,1°) + j20sin(−53,1°) =

I

Z

5е

j53,1°

= 12 − j16, A.

Величины активной и реактивной мощностей, потребляемых цепью, рассчитываются исходя из действующих значений величин

P = UI cos j = Ua I = RI 2 = 3× 202 = 1200, Вт,

Q = UI sin j = U p I = X L I 2 = 4 × 202 = 1600, вар,

либо с использованием комплексов

&	= P + jQ =100e	j0°	× 20е	j53,1°	= 2000е	j53,1°	=
S = U I

= 2000 cos 53,1° + j2000 sin 53,1° »1200 + j 1600, ВА.

Необходимо обратить внимание на то, что в формуле нахожде-

ния мощности S используется комплексно сопряженная величина то-

ка I .

Полная или кажущаяся мощность (действующее значение)

S = UI = 100 × 20 = 2000, BA.

3.1.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Определить напряжение на ин-

дуктивном элементе схемы, если R =	C1	R	L	C2
= 10 Ом, С1= 100 мкФ, С2 = 20 мкФ,	U
U = 24 В, L = 0,4 Гн, f = 50 Гц.
	&
Ответ: 45,5 В.
Задача 2	R1	C	R2	L
Определить модуль полного ком-
плексного сопротивления цепи, по-	U
строить векторную диаграмму тока и

напряжений, если L = 0,2 Гн, R1 = 10 Ом, C = 100 мкФ, R2 = 40 Ом,

U = 220 В, f = 50 Гц.

Ответ: 58,8 Ом.

Задача 3

Определить полное комплексное сопротивление участка цепи,

если i =1,35sin (314t+p/10), А, u = 245 sin (314 t – p/20), В.

Ответ: 161,7 – j82,39, Ом.

Задача 4

Вычислить потребляемую цепью

полную комплексную мощность, если

U = 127 В, R = 230 Ом, f = 50 Гц, U L = 0,5 Гн, C = 200 мкФ.

R

L

C

Ответ: 51 + j31,2, ВА.

Задача 5	дейст-				R	ХL1 ХC ХL2
Вычислить величину
вующего значения тока в цепи при
				U
U = 5 B, R = 3 Ом, XL1 = 1 Ом, XL2 =
= 1 Ом, XC = 6 Ом.
Ответ: 1 А.

3.2. Анализ разветвленных электрических цепей

3.2.1. Основные определения и алгоритм решения задач

Полная комплексная проводимость электрической цепи определяется согласно закону Ома

Y = I&& = G − j(BL − BC ) = Ye− jϕ , Ом, U

где G − активная проводимость цепи, См;

BL − индуктивная составляющая проводимости, См;

BC − емкостная составляющая проводимости, См, причем модуль полной комплексной проводимости

Y= G2 + (BL − BC )2 , См,

афаза ϕ = arctg BL − BC , град.

G

Величины G, BL, BC могут быть вычислены также исходя из заданных параметров электрической цепи. И в общем виде можно сказать, что величина проводимости какой-то ветви прямо пропорциональна соответствующему сопротивлению ветви и обратно пропор-