graph

x5. ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨

31

®ªà¥áâ-®áâ¨, ¢ ¯à¥¤¥« å ª®â®àëå £à 䨪 äã-ªæ¨¨ ¨¬¥¥â à §-ë¥ - ¯à ¢«¥-

-¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠᫥¢				¨ á¯à ¢ ®â ¤ --ëå â®ç¥ª. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, â®çª¨
x = 2 p1		¨ x = 2 + p1		п¢«повбп в®зª ¬¨ ¯¥а¥£¨¡ ¨б室-®© дг-ªж¨¨.
	3		3

5.3. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª áãé¥á⢮¢ -¨ï â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡

…᫨ äã-ªæ¨ï ¢ â®çª¥ x0 ¨¬¥¥â ¯¥à¥£¨¡, â® ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ¢ í⮩ â®çª¥ «¨¡® -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, «¨¡® à ¢- -ã«î.

’®çª¨, ¢ ª®â®àëå ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¨«¨ -¥ áãé¥- áâ¢ã¥â, - §ë¢ îâ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ â®çª ¬¨ ¢â®à®£® த .

•à¨¬¥à 3. • ©â¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¢â®à®£® த äã-ªæ¨¨ y = x3.

•¥è¥-¨¥. ‚ëç¨á«ï¥¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨ y = x3: y00 = 6x. •à¨à ¢-¨¢ ¥¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î ¨ - 室¨¬, çâ® x = 0 | ªà¨- â¨ç¥áª ï â®çª ¢â®à®£® த . Žâ¬¥â¨¬, çâ® â®çª x = 0 ï¥âáï â®çª®©

¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = x3 (á¬. £à 䨪 äã-ªæ¨¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 2 x4).	4	.
•à¨¬¥à 4. • ©â¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¢â®à®£® த äã-ªæ¨¨ y = x
•¥è¥-¨¥. ‚ëç¨á«ï¥¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨ y = x4: y00	= 12x2.

•à¨à ¢-¨¢ ¥¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î ¨ - 室¨¬, çâ® x = 0 | ªà¨â¨- ç¥áª ï â®çª ¢â®à®£® த . Žâ¬¥â¨¬, çâ® â®çª x = 0 -¥ ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = x4 (á¬. £à 䨪 äã-ªæ¨¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3 x4).

ˆ§ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯à¨¬¥à®¢ ¢¨¤-®, çâ® ªà¨â¨ç¥áª ï â®çª ¢â®à®£® த ¬®¦¥â ¡ëâì â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ , ¬®¦¥â ¨ -¥ ¡ëâì. •â®â ¢®¯à®á à¥è ¥âáï á ¯®¬®éìî ¤®áâ â®ç-ëå ¯à¨§- ª®¢ áãé¥á⢮¢ -¨ï â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ .

5.4. „®áâ â®ç-ë© ¯à¨§- ª áãé¥á⢮¢ -¨ï â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡

•ãáâì äã-ªæ¨ï f (x) ®¯à¥¤¥«¥- ¨ -¥¯à¥àë¢- ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®áâ¨

â®çª¨ x0, ¢ª«îç ï á ¬ã â®çªã. •ãáâì, ¤ «¥¥, ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ¢ í⮩

â®çª¥ à ¢- -ã«î ¨«¨ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ’®£¤ , ¥á«¨ f 00(x) < 0 ¯à¨ x < x0 ¨ f 00(x) > 0 ¯à¨ x > x0 ¨«¨ f 00(x) > 0 ¯à¨ x < x0 ¨ f 00(x) < 0 ¯à¨ x > x0, â®

â®çª M0(x0;f (x0)) ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = f (x). •à¨¬¥à 5. • ©â¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = x3 3x2.

•¥è¥-¨¥. • 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨î: y00(x) = 6x. ˆ§ ãà ¢- -¥-¨ï 6x = 0 ¯®«ãç ¥¬ ®¤-ã ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã ¢â®à®£® த : x = 0. ˆáá«¥- ¤ã¥¬ §- ª y00(x) ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠í⮩ â®çª¨. ‘«¥¢ ®â â®çª¨ x = 0 ¢ë¯®«-¥-®

y00(x) < 0 (¢ë¯ãª«®áâì £à 䨪		- ¯à ¢«¥- ¢¢¥àå),	á¯à ¢ | y00(x) > 0
(¢ë¯ãª«®áâì £à 䨪 - ¯à ¢«¥-		¢-¨§), â® ¥áâì â®çª	x = 0 ï¥âáï â®ç-
ª®© ¯¥à¥£¨¡	à áᬠâਢ ¥¬®© äã-ªæ¨¨ (á¬. à¨áã-®ª1		¢ ¯à¨¬¥à¥ 4 x4).
•à¨¬¥à	6. • ©â¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = x 3 .

32	x5. ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨
•¥è¥-¨¥. •â	äã-ªæ¨ï ¢ â®çª¥ x = 0 ¨¬¥¥â ¡¥áª®-¥ç-ãî ¯à®¨§¢®¤-ãî,

ª á ⥫ì- ï ª £à 䨪ã äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ (0;0) ᮢ¯ ¤ ¥â á ®áì Oy. ‚â®à ï

1

¯à®¨§¢®¤- ï ¢ â®çª¥ x = 0 -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ƒà 䨪 äã-ªæ¨¨ y = x 3 ¨¬¥¥â ¯¥à¥£¨¡ ¢ â®çª¥ (0;0), â ª ª ª ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï y00(x) = 952=3 ¨¬¥¥â á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ®â â®çª¨ x = 0 à §-ë¥ §- ª¨.

•à¨¬¥à 7. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡

äã-ªæ¨¨

2

p3

y = x

+

2

.

x

•¥è¥-¨¥. • ©¤ñ¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨:

9xp3 x

;

y0(x) = 2x + 3x 3

; y00(x) = 2 9x

3 = 2 1

2

1

2

4

1

1

1

y00(x) = 0 ¯à¨ x =

¨ x =

;

p

p

27

27

y00(x) -¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ x = 0:

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¨-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¢¢¥àå ¨ ¢-¨§:

1

< x <

1

; y00(x) > 0;

äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª« ¢-¨§;

p27

1

y00(x) < 0;

p

< x < 0;

äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª«

¢¢¥àå;

27

0 < x <

1

;

y00(x) < 0; äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª«

¢¢¥àå;

p

27

1

< x < +

1

;

y00(x) > 0;

äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª« ¢-¨§:

p27

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, - ¨-â¥à¢ « å 1;

p127

¨

p127

;+1 äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª«

¢-¨§,

-

¨-â¥à¢ « å

p127

;0 ¨ 0;

p127

| ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå.

‚ â®çª å x = p127 ¨ x = p127 ¢в®а п ¯а®¨§¢®¤- п ¬¥-п¥в §- ª, §- з¨в нв¨ в®зª¨ п¢«повбп в®зª ¬¨ ¯¥а¥£¨¡ ¤ --®© дг-ªж¨¨. ’®зª x = 0 -¥

x5. ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨

33

ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ , â ª ª ª ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï -¥ ¬¥-ï¥â §- ª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ íâã â®çªã (y00(x) < 0 ¨ á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ®â â®çª¨ x = 0).

5.5.„®áâ â®ç-ë© ¯à¨§- ª áãé¥á⢮¢ -¨ï â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ (á ¯®- ¬®éìî ¯à®¨§¢®¤-ëå ¢ëá襣® ¯®à浪 )

•ãáâì n | -¥ª®â®à®¥ - âãà «ì-®¥ ç¨á«® ¨ ¯ãáâì äã-ªæ¨ï y = f (x) ¨¬¥- ¥â ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0 ¯à®¨§¢®¤-ãî ¯®à浪 n 1, ¢ á ¬®© â®çª¥ x0 | ¯à®¨§¢®¤-ãî n-£® ¯®à浪 . •ãáâì ¢ â®çª¥ x0 ¢л¯®«-повбп б«¥- ¤гой¨¥ б®®в-®и¥-¨п:

f 00(x0) = : : : = f (n 1)(x0) = 0; f (n)(x0) =6 0:

’®£¤ :

1)¥á«¨ n | -¥çñâ-®¥ ç¨á«®, â® â®çª x0 ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ äã-ª- 樨 y = f (x);

2)¥á«¨ n | çñâ-®¥ ç¨á«®, â® â®çª x0 -¥ ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ äã-ª- 樨 y = f (x).

•à¨¬¥à 8. • ©â¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = x3.
•¥è¥-¨¥. • 室¨¬: y00(x) = 6x, ®âáî¤ , ¢®§¬®¦- ï â®çª	¯¥à¥£¨¡ |
x = 0 (á¬. ¯à¨¬¥à 3). „ «¥¥, y000(x) = y000(0) = 6 = 0.
6
ˆâ ª, ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ x = 0 à ¢-	-ã«î, âà¥-

âìï | -¥ à ¢- -ã«î, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, x = 0 ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ (3 | -¥çñâ-®¥ ç¨á«®).

•à¨¬¥à 9. • ©â¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = x4.

•¥è¥-¨¥. • 室¨¬: y00(x) = 12x2, ®âáî¤ , ¢®§¬®¦- ï â®çª ¯¥à¥£¨¡ | x = 0 (á¬. ¯à¨¬¥à 4). „ «¥¥,

y000(x) = 24x; y000(0) = 0; y(4)(x) = y(4)(0) = 24 6= 0:

ˆâ ª, ¢â®à ï ¨ âà¥âìï ¯à®¨§¢®¤-ë¥ äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ x = 0 à ¢-ë -ã«î, ç¥â¢ñàâ ï | -¥ à ¢- -ã«î, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, x = 0 ï¥âáï â®çª®© ¯¥à¥£¨¡ (4 | çñâ-®¥ ç¨á«®).

5.6. • 宦¤¥-¨¥ ¨-â¥à¢ «®¢ ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡

€«£®à¨â¬ ¯à¨¬¥-¥-¨ï ¢â®à®© ¯à®¨§¢®¤-®© ¤«ï - 宦¤¥-¨ï ¨-â¥à¢ «®¢ ¢ë¯ãª«®á⨠¢¢¥àå ¨ ¢-¨§ ¨ â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ ¯®«-®áâìî - «®£¨ç¥- «£®- à¨â¬ã - 宦¤¥-¨ï íªáâ६㬮¢ ¨ ¨-â¥à¢ «®¢ ¬®-®â®--®áâ¨, ⮫쪮 ¢¬¥áâ® ¯¥à¢®© ¯à®¨§¢®¤-®© à áᬠâਢ ¥âáï ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï.

1. ‚ëç¨á«¨âì ¯à®¨§¢®¤-ãî f 00(x).

34	x5. ˆ-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨

2.• ©â¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¢â®à®£® த , â® ¥áâì â®çª¨, ¢ ª®â®àëå f 00(x) «¨¡® à ¢- -ã«î, «¨¡® -¥ áãé¥áâ¢ã¥â (- ©¤¥--ë¥ â®çª¨ à §¡¨-

¢ îâ ç¨á«®¢ãî ®áì - -¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¨-â¥à¢ «ë).

3.‚ ª ¦¤®¬ ¨§ ¯®«ã稢è¨åáï ¨-â¥à¢ «®¢ ®¯à¥¤¥«¨âì §- ª ¢â®à®© ¯à®- ¨§¢®¤-®© (¬®¦-® - à¨á®¢ âì á奬ã). Ž¯à¥¤¥«¨âì ¨-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«- ®á⨠¨ - «¨ç¨¥ â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ .

4.• ©â¨ ®à¤¨- âë â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ .

•à¨¬¥à 10. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨ y = 3x4 8x3 + 6x2 + 12.

•¥è¥-¨¥. 1. • 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî:	x 3
y00(x) = 36x2 48x + 12 = 36(x 1)			:
	1

2. ‚â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ®¯à¥¤¥«¥- ¯à¨ «î¡®¬ x ¨ ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¯à¨ x = 1 ¨ ¯à¨ x = 13. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¢â®à®£®

த : x = 1 ¨ x = 13.

3. ‡- ª¨ ¢в®а®© ¯а®¨§¢®¤-®© ¬¥-повбп б«¥¤гой¨¬ ®¡а §®¬: - ¨-в¥а- ¢ «¥ 1; 13 ¨¬¥¥¬ y00(x) > 0, - ¨-â¥à¢ «¥ 13;1 ¨¬¥¥¬ y00(x) < 0, -

ࢠ«¥ (1;+

) ¨¬¥¥¬ y

00

(x) > 0.

¨-â¥

1

1

¨ ¢ë¯ãª«

¢-¨§ -

¨-â¥à¢ -

”ã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå - ¨-â¥à¢ «¥

3;1

1;

1

¨ (1;+1). •à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§

â®çª¨ x = 1

¨ x = 1 - ¯à ¢«¥-¨¥

« å

3

3

1

¨ x = 1 п¢«повбп

¢ë¯ãª«®á⨠äã-ªæ¨¨ ¬¥-ï¥âáï, á«¥¤®¢ ⥫ì-® â®çª¨ x =

3

â®çª ¬¨ ¯¥à¥£¨¡

¤ --®© äã-ªæ¨¨.

4. • 室¨¬ ®à¤¨- âë â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ : y

1

= 12

11, y(1) = 13.

•à¨¬¥à 11.

3

27

äã-ªæ¨¨

• ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë

¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡

1

y =

.

2

x +1

•¥è¥-¨¥. 1. • 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî: y00

=

2(32x2 31)

.

x +1)

2. ‚â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ®¯à¥¤¥«¥- ¯à¨ «î¡®¬ x, ®-

®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì

¯à¨ x = p1

¨ x = p1

. • ©¤¥--л© в®зª¨ п¢«повбп ªа¨в¨з¥бª¨¬¨ в®зª ¬¨

3

3

¢â®à®£® த .

3. •¥è ¥¬ -¥à ¢¥-á⢠y00 > 0 ¨ y00

< 0. ˆ¬¥¥¬: y00 > 0 ¨«¨

2(32x2 31)

> 0,

®âªã¤ x < p1

, x > p1

p1

< x < p1

x +1)

; y00 < 0, ®âªã¤

. •¨á㥬 á奬ã.

3

3

3

3

x6.

•®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à 䨪

35

•

¨-â¥à¢ « å 1; p1

¨ p1

;+1 äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª« ¢-¨§,

- ¨--

3

3

â¥à¢ «¥ p1

; p1

| ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå. ‚ â®çª å x = p1

¨ x = p1

äã-ªæ¨ï

3

3

3

3

¨¬¥¥â ¯¥à¥£¨¡ë.

4. • 室¨¬ ®à¤¨- âë â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ : y p1

= 43 ¨ y p1

= 43.

3

3

•à¨¬¥à 12. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ äã-ªæ¨¨
y = p3
	x2 1.			2		x2+3
•¥è¥-¨¥. 1. • 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî: y00			=				.
				9		(x2 1)5=3

2.‚ â®çª å x = 1 ¨ x = 1 ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï -¥ áãé¥áâ¢ã¥â (§- ¬¥-

-â¥«ì ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì). “ç¨âë¢ ï ¥éñ, çâ® -¨ ¢ ®¤-®© â®çª¥ ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï ¢ -ã«ì -¥ ®¡à é ¥âáï, ¤¥« ¥¬ ¢ë¢®¤, çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ â®ç-

ª ¬¨ ¢â®à®£® த			п¢«повбп ¤¢¥ в®зª¨: x = 1 ¨ x = 1.			2		x2+3
3. •¥è ¥¬ -¥à ¢¥-á⢠y00 > 0 ¨ y00 < 0. ˆ¬¥¥¬: y00 > 0 ¨«¨									> 0,
						9		(x2 1)5=3
®âªã¤		1 < x < 1; y00 < 0, ®âªã¤ x <			1, x > 1. •¨á㥬 á奬ã.

• ¨-в¥а¢ « е (1; 1) ¨ (1;+1) дг-ªж¨п ¢л¯гª« ¢¢¥ае, - ¨-в¥а- ¢ «¥ ( 1;1) | ¢л¯гª« ¢-¨§. ’®зª¨ x = 1 ¨ x = 1 п¢«повбп в®зª ¬¨ ¯¥а¥£¨¡ дг-ªж¨¨.

4. • 室¨¬ ®à¤¨- âë â®ç¥ª ¯¥à¥£¨¡ : y( 1) = 0 ¨ y(1) = 0.

x6. •®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à - 䨪

•®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à 䨪 ४®¬¥-¤ã¥âáï ¯à®¢®¤¨âì ¯® á«¥¤ãî饩 á奬¥.

1.• ©â¨ ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï äã-ªæ¨¨.

2.ˆáá«¥¤®¢ âì äã-ªæ¨î - ¯¥à¨®¤¨ç-®áâì.

3.ˆáá«¥¤®¢ âì äã-ªæ¨î - çñâ-®áâì ¨ -¥çñâ-®áâì.

4.• ©â¨ â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï £à 䨪 äã-ªæ¨¨ á ®áﬨ ª®®à¤¨- â ¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¨-â¥à¢ «ë §- ª®¯®áâ®ï-á⢠äã-ªæ¨¨.

5.• ©â¨ â®çª¨ à §àë¢ äã-ªæ¨¨ ¨ ãáâ -®¢¨âì å à ªâ¥à à §àë¢ ; ¨á- á«¥¤®¢ âì ¯®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ - £à -¨æ¥ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥-¨ï; - ©â¨ ᨬ¯â®âë.

36x6. •®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à 䨪

6.• ©â¨ ¯à®¬¥¦ã⪨ ¢®§à áâ -¨ï ¨ ã¡ë¢ -¨ï äã-ªæ¨¨, â®çª¨ íªáâà¥- ¬ã¬ .

7.ˆáá«¥¤®¢ âì - ¯à ¢«¥-¨ï ¢ë¯ãª«®á⨠£à 䨪 äã-ªæ¨¨, - ©â¨ â®ç- ª¨ ¯¥à¥£¨¡ .

8.ˆá¯®«ì§ãï ¢á¥ ¯®«ãç¥--ë¥ à¥§ã«ìâ âë, ¯®áâநâì £à 䨪 äã-ªæ¨¨.

‡¬¥ç -¨¥. ‚ ¯à®æ¥áᥠ¨áá«¥¤®¢ -¨ï äã-ªæ¨¨ -¥®¡ï§ ⥫ì-® áâண® ¯à¨¤¥à¦¨¢ âìáï ¯à¨¢¥¤ñ--®© á奬ë, ¨-®£¤ 㤮¡-¥¥ ¨§¬¥-¨âì ¯®à冷ª ¨á- á«¥¤®¢ -¨ï.

•à¨¬¥à 1. •à®¢¥á⨠¯®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ ¨ ¯®áâநâì £à 䨪 äã-ªæ¨¨ y = x(x + 1)(x 1).

•¥è¥-¨¥. 1. Ž¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï | ¢áï ç¨á«®¢ ï ®áì. 2. ”ã-ªæ¨ï -¥ ï¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®©.

3. ”ã-ªæ¨ï ï¥âáï -¥çñâ-®©.

4. ”ã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â âਠâ®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï á ®áìî Ox: x = 0, x = 1, x = 1. ‘ ®áìî Oy äã-ªæ¨ï ¯¥à¥á¥ª ¥âáï ⮫쪮 ¯à¨ y = 0.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¨-â¥à¢ «ë §- ª®¯®áâ®ï-á⢠äã-ªæ¨¨. •¥è¨¬ -¥à ¢¥-á⢮ x(x + 1)(x 1) > 0. …£® à¥è¥-¨¥¬ ï¥âáï ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ ¤¢ãå ¨-â¥à¢ «®¢: ( 1;0) ¨ (1;+1). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨áá«¥¤ã¥¬ ï äã-ªæ¨ï ¯®«®¦¨â¥«ì- - ¨-â¥à¢ « å ( 1;0) ¨ (1;+1) ¨ ®âà¨æ ⥫ì- - ¨-â¥à¢ « å (1; 1) ¨ (0;1) (íâ® á«¥¤ã¥â ¨§ -¥çñâ-®á⨠äã-ªæ¨¨).

5. ’®ç¥ª à §àë¢ -¥â.

•®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ - £à -¨æ¥ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥-¨ï:

x

lim

x(x + 1)(x

1) = +

1

;

x lim

x

x

+ 1)(

x

1) = 1

:

!

+

1

(

! 1

• ©¤ñ¬ 㣫®¢®© ª®íää¨æ¨¥-â - ª«®--®©

ᨬ¯â®âë:

k = xlim

y

= xlim (x + 1)(x 1) = 1:

x

!1

!1

‡- ç¨â, - ª«®--ëå, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨ £®à¨§®-â «ì-ëå

ᨬ¯â®â -¥â. ‚¥à-

⨪ «ì-ëå

б¨¬¯в®в ⮦¥ -¥в, в ª ª ª ®вбгвбв¢гов в®зª¨ а §ал¢ ¨ дг-ª-

æ¨ï ®¯à¥¤¥«¥-

- ¢á¥© ç¨á«®¢®© ®á¨.

6. • ©¤ñ¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: y0

= 3x2

1. •¥è ¥¬ -¥à ¢¥-áâ¢

y0 > 0 ¨ y0 < 0.

1

1

ˆ¬¥¥¬: y0 > 0 ¨«¨ 3x2 1 > 0, ®âªã¤ x < p

, x >

p

; y0 < 0, ®âªã¤

3

3

p1

< x < p1

. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, -

¨-â¥à¢ « å

1; p1

¨ p1

;+1

3

3

3

3

äã-ªæ¨ï ¬®-®â®--® ¢®§à áâ ¥â,

-

¨-â¥à¢ «¥ p1

; p1

| ¬®-®â®--®

3

3

ã¡ë¢ ¥â.

•à¨à	¢-¨¢ ï¯à®¨§¢®¤-ãî	-ã«î, - 室¨¬ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¯¥à¢®£® à®-
¤ : y0 =	3x2 1, ®âªã¤ x =	p1		, x = p1				. •¨á㥬 á奬ã (à¨á.	)), ¨§ ª®-
			3				3
â®à®© á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ â®çª¥ x = p1						äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ã¬,			¢ â®çª¥
					3

x6. •®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à 䨪

37

x = p13 | ¬¨-¨¬ã¬. • 室¨¬ §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ ¢ íªáâ६ «ì-ëå â®çª å:

1				2		1				2
¥á«¨ xmax =	p		, â® ymax =	3p		; ¥á«¨ xmin =	p		, â® ymin =	3p		.
		3			3			3			3

7. • 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî: y00 = 6x. •¥è ¥¬ -¥à ¢¥-á⢠y00 > 0 ¨ y00 < 0. ˆ¬¥¥¬: y00 > 0 ¨«¨ 6x > 0, ®âªã¤ x > 0; y00 < 0, ®âªã¤ x < 0.

•à¨à ¢-¨¢ ï¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î, - ©¤ñ¬ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã ¢â®- ண® த : y00 = 6x = 0, ®âªã¤ x = 0. •¨á㥬 á奬ã (à¨á. ¡)), ¨§ ª®â®à®© á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ â®çª¥ x = 0 äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¯¥à¥£¨¡ (íâ® â ª¦¥ á«¥¤ã¥â ¨§ -¥çñâ-®á⨠äã-ªæ¨¨). • ¨-â¥à¢ «¥ (1;0) äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª« ¢¢¥àå, - ¨-â¥à¢ «¥ (0;+1) | ¢ë¯ãª« ¢-¨§. • 室¨¬ ®à¤¨- âã â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ :

y¯¥à = 0.

8. ƒà 䨪 äã-ªæ¨¨ ¨§®¡à ¦ñ- - à¨á. ¢). •à¨ ¯®áâ஥-¨¨ ¯®«ì§ã¥¬áï ᨬ¬¥âਥ© £à 䨪 ®â-®á¨â¥«ì-® - ç « ª®®à¤¨- â.

•à¨¬¥à 2. •à®¢¥á⨠¯®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ ¨ ¯®áâநâì £à 䨪 äã-ªæ¨¨ y = (x2 + 1)(x 1).

•¥è¥-¨¥. 1. Ž¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï | ¢áï ç¨á«®¢ ï ®áì. 2. ”ã-ªæ¨ï -¥ ï¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®©.

38x6. •®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à 䨪

3.”ã-ªæ¨ï -¥ ï¥âáï -¨ çñâ-®©, -¨ -¥çñâ-®©.

4.”ã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ®¤-ã â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï á ®áìî Ox ¢ ⮪¥ (1;0) ¨ ®¤-ã â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï á ®áìî Oy ¢ â®çª¥ (0; 1).

”ã-ªæ¨ï ¯®«®¦¨â¥«ì-

¯à¨ x > 1 ¨ ®âà¨æ ⥫ì-

¯à¨ x < 1.

5. ’®ç¥ª à §àë¢

-¥â.

•®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ -

£à -¨æ¥ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥-¨ï:

x

lim (x2 + 1)(x

1) = +

1

;

x lim (

x2

+ 1)(

x

1) = 1

:

!

+

1

! 1

• ©¤ñ¬ 㣫®¢®© ª®íää¨æ¨¥-â - ª«®--®© ᨬ¯â®âë:

k = lim

y

= lim

(x2 + 1)(x 1)

=

1

:

x!1 x

x!1

x

‡- ç¨â, - ª«®--ëå, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨ £®à¨§®-â «ì-ëå

ᨬ¯â®â -¥â. •¥â

¨ ¢¥à⨪ «ì-ëå ᨬ¯â®â (äã-ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥- -

¢á¥© ç¨á«®¢®© ®á¨ ¨ -¥â

â®ç¥ª à §àë¢ ).

6. • ©¤ñ¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: y0 = 3x2

2x + 1. •

¢á¥© ç¨á«®¢®© ®á¨ y0 =

= 3x

2

2x + 1 > 0, §- ç¨â äã-ªæ¨ï ¬®-®â®--® ¢®§à áâ ¥â. •ªáâ६㬮¢

-¥â.

7. • 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî: y00 = 6x

2. •¥è ¥¬ -¥à ¢¥-áâ¢

y00 > 0

x >

1

< 0, ®âªã¤

1

¨ y00 < 0. ˆ¬¥¥¬: y00 > 0 ¨«¨ 6x 2 > 0, ®âªã¤

3; y00

x < 3.

•à¨à ¢-¨¢ ï ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î, - 室¨¬ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã

¢â®à®£® த : y00 = 6x 2 = 0, ®âªã¤ x = 13. ˆ§ á奬ë (à¨á. )) á«¥¤ã¥â,

çâ® ¢ â®çª¥ x = 31	äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¯¥à¥£¨¡. • ¨-â¥à¢ «¥ 1; 31				äã-ªæ¨ï
â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ : y¯¥à = 2720.		1		1
		3
¢ë¯ãª« ¢¢¥àå,	- ¨-â¥à¢ «¥		;	• ©¤ñ¬ ®à¤¨- âã
				| ¢ë¯ãª« ¢-¨§.
8. ƒà 䨪 äã-ªæ¨¨ ¨§®¡à ¦ñ- -				à¨á. ¡).

•à¨¬¥à 3. •à®¢¥á⨠¯®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ ¨ ¯®áâநâì £à 䨪 äã-ªæ¨¨

y = x22+1x .

•¥è¥-¨¥. 1. Ž¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï | ¢áï ç¨á«®¢ ï ®áì.

2.”ã-ªæ¨ï -¥ ï¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®©.

3.”ã-ªæ¨ï ï¥âáï -¥çñâ-®©.

4.”ã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ®¤-ã â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï á ®áﬨ ª®®à¤¨- â | â®çªã (0;0).

x6. •®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à 䨪

39

”ã-ªæ¨ï ¯®«®¦¨â¥«ì- - ¨-â¥à¢ «¥ (0;+1) ¨ ®âà¨æ ⥫ì- - ¨-â¥à-

¢«¥ (1;0).

5.’®ç¥ª à §àë¢ -¥â.

•®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ -	£à -¨æ¥ ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥-¨ï:
lim	2x		= 0;		lim		2x		= 0:
x!+1 x2 + 1					x! 1 x2 + 1
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨¬¥¥âáï £®à¨§®-â «ì- ï						ᨬ¯â®â y = 0. ‚¥à⨪ «ì-ëå
ᨬ¯â®â -¥â.
6. • ©¤ñ¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî: y0		=		22x2+22	. •¥è ¥¬ -¥à ¢¥-á⢠y0 > 0 ¨ y0 < 0.
				(x +1)

ˆ¬¥¥¬: y0 > 0 ¨«¨ (x22x+1)2+22 > 0, ®âªã¤ 1 < x < 1, y0 < 0, ®âªã¤ x < 1, x > > 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, - ¨-â¥à¢ « å (1; 1) ¨ (1;+1) äã-ªæ¨ï ¬®-®â®--®

ã¡ë¢ ¥â, - ¨-â¥à¢ «¥ ( 1;1) | ¬®-®â®--® ¢®§à áâ ¥â.

•à¨à ¢-¨¢ ï¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î, - 室¨¬ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ â®çª¨ ¯¥à¢®£® à®-

¤ : y0 = (x22x+1)2+22 = 0, ®âªã¤ x = 1, x = 1. ˆ§ á奬ë (à¨á. )) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ â®çª¥ x = 1 äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¬¨-¨¬ã¬, ¢ â®çª¥ x = 1 | ¬ ªá¨¬ã¬.

• ©¤ñ¬ ®à¤¨- âë íªáâ६ «ì-ëå â®ç¥ª: ¥á«¨ x = 1, â® ymin = 1; ¥á«¨

x = 1, â® ymax = 1.

= 4x32 123x . •¥è ¥¬ -¥à ¢¥-áâ¢

7. • 室¨¬ ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî: y00

y00

>

(x +1)

p

p

4x3

12x

> 0 ¨ y00 < 0. ˆ¬¥¥¬: y00 > 0 ¨«¨

2

3

> 0, ®âªã¤

3 < x < 0, x >

3;

(x +1)

y00

p

p

< 0, ®âªã¤ 0 < x < 3, x <

3.

40	x6. •®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ äã-ªæ¨¨ ¨ ¯®áâ஥-¨¥ ¥ñ £à 䨪

•à¨à ¢-¨¢ ï ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤-ãî -ã«î, - 室¨¬ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã

¢â®à®£® த : y00 =

4x3

12x

= 0, ®âªã¤

x = 0, x =

p

p

2

3

3, x = 3. ˆ§ á奬ë

(x +1)

(à¨á. ¡)) á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ â®çª å x = 0, x = p

p

äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â

3, x =

3

p

p

¯¥à¥£¨¡ë. • ¨-â¥à¢ « å

3;0 ¨

3;+1 äã-ªæ¨ï ¢ë¯ãª«

¢-¨§,

- ¨-â¥à¢ « å 1;

3

¨

0;

3

|

p

p3

p

p

p

¢ë¯ãª«

¢¢¥àå. • ©¤ñ¬ ®à¤¨- âë

â®ç¥ª ¯p¥à¥£¨¡ : ¥á«¨ x = 0, â® y¯¥à = 0; x = 3, â® y¯¥à =

; x =

3, â®

2

y¯¥à =

3

.

2

8. ƒà 䨪 äã-ªæ¨¨ ¨§®¡à ¦ñ- - à¨á. ¢).

•à¨¬¥à 4. •à®¢¥á⨠¯®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ ¨ ¯®áâநâì £à 䨪 äã-ªæ¨¨

y = x2x 4.

•¥è¥-¨¥. 1. Ž¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï | ¢áï ç¨á«®¢ ï ®áì, ªà®¬¥ â®ç¥ª x = 2 ¨ x = 2.

2.”ã-ªæ¨ï -¥ ï¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®©.

3.”ã-ªæ¨ï ï¥âáï -¥çñâ-®©.

4.”ã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â ®¤-ã â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï á ®áﬨ ª®®à¤¨- â | â®çªã (0;0).