Уравнение прямой линии на плоскости

Утверждение 2. Плоскости

1 : A1x B1 y C1z D1							0	(10)
и
2 : A2 x B2 y C2 z D2							0	(11)
параллельны тогда и только тогда, когда
	A1		B1		C1	.		(12)
	A2		B2		C2

Доказательство.

| Плоскости параллельны, если вектор, параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.

								B						C
| пусть	1	||	2	, тогда вектора a				1	,1,0	, b				1	,0,1	, которые
				1				A1			1			A1

параллельны плоскости 1 , должны быть параллельны 2 в силу утверждения 1 выполняется:

			B
A			1		B		1 0
2			A		2					A		B		C
															2
			1							2		2				,
			C							A		B		C
							1 0
A			1		C					1		1			1
2			A			2
			1

ч.т.д.

Утверждение 3. Плоскости 1

и 2 , заданные уравнениями (10), (11),

совпадают тогда и только тогда, когда

A1

B1

C1

D1

.

(13)

A2

B2

C2

D2

Доказательство.

| очевидно

| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из

утверждения 2 и доказываем третье равенство.

Пусть т M 0 x0 , y0 , z0 принадлежит обеим плоскостям, тогда

A x

0

B y

0

C z

0

D 0

1

1

1

1

.

B y

C

D 0

A x

0

0

2

z

0

2

2

2

В силу соотношения (12) получим: A2

A1 , B2 B1 ,C2

C1 . Умножим первое

уравнение последней системы на и прибавим ко второму: D2 D1 0

мы доказали уравнение (13), ч.т.д.

Утверждение 4. Плоскости 1

и 2 , заданные уравнениями (10), (11),

параллельны и не совпадают

A1

B1

C1

D1

.

(14)

A2

B2

C2

D2

Утверждение 5. Плоскости 1 и 2 , заданные	уравнениями (10), (11),
пересекаются n1 ( A1, B1,C1), n2 ( A2 , B2 ,C2 ) -	неколлинеарны.

Утверждение 6. Пусть плоскости 1 и 2 , заданные уравнениями (10), (11), пересекаются по прямой l. Тогда плоскость 3 проходит через эту прямую её уравнение имеет вид:

A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0,

(15)

где , 0 одновременно.

Доказательство. Аналогично утверждению для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.

3°. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система

координат			Oxyz .	Пусть плоскость	проходит через т.	M 0 x0 , y0 , z0 и
		A, B,C	-	некоторый вектор,	перпендикулярный	. Тогда
	n

M x, y, z M0 M n .

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе

имеет вид

A x x0 B y y0 C z z0 0.

Поэтому в прямоугольной декартовой системе координат коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно рассматривать как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

z

Пусть

в

пространстве

с

l

M 0

прямоугольной

декартовой

системой

координат

задана

N

плоскость . Проведем из начала

M

координат ось l .

Пусть т. N – это точка

пересечения

,

прямой

l

с

плоскостью

p .

Тогда

O

y

ON

произвольная

т. М

x

| prl

| p .

OM

Другими словами,

p 0 ,

,

(16)

OM

где

- единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l,

cos ,cos ,cos , где

, , - углы с осями Ox,Oy,Oz .

Таким образом, нормальное уравнение плоскости имеет вид

cos x cos y cos z p 0.

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель

		1		,
		A2 B2 C2

где знак выбирается из условия Упражнение. Вывести формулу нахождения расстояния от точки до

плоскости с помощью нормального уравнения плоскости.

§ 13. Уравнение прямой в пространстве

1°. Уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.

В предыдущем параграфе было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффинной системе координат уравнение прямой можно представить в

следующем виде:
	A x B y C z D 0,					1
	1	1	1	1						(1)
A x B y C				z D 0.			2
	2	2	2	2

Условие не параллельности плоскостей 1 и 2 равносильно

A1	B1	C1		2.
rg					(2)
	B2	C2
A2

Тогда система (1) при условии (2) представляет собой систему линейно независимых уравнений, которая совместна и имеет общее решение следующего вида:

x

x0

y

y

0

t ,

(3)

z

z0

где x , y

0

, z

0

T

- частное решение (1),

, , T - фундаментальная система

0

решений

соответствующей СЛОУ.

Геометрически (3) означает, что

т. M0 x0 , y0 , z0

l ,

и т. M

x, y, z

получается прибавлением к радиус-

, , T .

вектору т. M 0 некоторого вектора, коллинеарного вектору

Таким

образом, , по аналогии с

прямыми на плоскости, является

направляющим вектором прямой.

M 0

M

Рис.6.

Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2), называется

общим уравнением прямой в пространстве.

Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением

прямой в пространстве. Его можно переписать в виде:

r r0 t ,

(3')

где

0 ,

- радиус-вектор т. M0 , M , - направляющий вектор.

r

r

Также уравнение (3) можно переписать в виде

x x0

t

t

(4)

y y0

t

z z0

- координатное параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Если исключить из (4) параметр t, то получим:

	x x0		y y0		z z0		(5)
- каноническое уравнение прямой в пространстве. Здесь (5) необходимо
понимать как пропорцию.
Пример. Если 0 x x0 , значит прямая лежит в плоскости x x0 .
Если и равны нулю, то прямая лежит в плоскостях x x0 и							y y0 , что

означает есть линия пересечения этих плоскостей, т.е. прямая, параллельная оси Oz .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки M0 x0 , y0 , z0 и M1 x1, y1, z1 , то вектор M0 M1 x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 можно рассматривать как направляющий вектор, и в силу (5), уравнение такой прямой имеет вид

	x x0				y y0				z z0			(6)
	x	x	0		y	y	0		z	z	0
	1				1				1

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Замечание. Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Отметим, что уравнение прямой (5) можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, каждая из которых определяет плоскость параллельную одной из координатных осей.

Утверждение 1. Если прямая l задана как пересечение двух плоскостей системой (1), то вектор

		B		C		,	C		A	,	A	B				(7)
		B		C			C		A		A	B
			1		1			1	1		1		1
			2		2			2	2		2		2

является направляющим вектором l.

Доказательство.

Отметим, что в силу условия (2) вектор , определенный по формуле (7), должен быть отличен от нулевого. Рассмотрим определитель следующего вида :

		Ai	Bi	Ci
		A1	B1	C1	0,		i 1,2 ,
		A2	B2	C2
и разложим его по первой строке:
		C1		C1	A1			A1	B1
A	B1		B			C				0 ,
i	B2	C2	i	C2	A2		i	A2	B2

откуда в силу утверждения 1 из предыдущего параграфа, следует, что параллелен плоскостям 1 и 2 параллелен и их пересечению значит

является направляющим вектором прямой пересечения, ч.т.д.

Замечание. Если уравнение прямой рассматривается в прямоугольной декартовой системе координат, то вектора

n1 ( A1, B1,C1), n2 ( A2 , B2 ,C2 )

являются векторами нормали для плоскостей 1 и 2 . В этом случае вектор q n1, n2 можно рассматривать в качестве направляющего вектора искомой прямой, а его координаты вычисляются по формулам (7).

2°. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Будем рассматривать прямые l1,l2 , заданные каноническими уравнениями:

		x x			y y				z z
		0			0				0		,	(8)
		1			1				1
		x x			y y				z z
	0				0				0	.		(9)
		2			2				2
Прямые l1,l2 либо пересекаются,					либо		параллельны					(в частном случае

совпадают), либо скрещиваются.

Для изучения взаимного расположения прямых вводят 3 основных вектора:

M M x x				, y y		, z z		,			, ,			,								.
													1				2		2	,	2
0	0	0	0	0	0	0	0		1		1	1								2

M

0

2

1

M

0

В случае, если прямые параллельны или пересекаются, то существует

плоскость, содержащая эти прямые. Поэтому выполняется условие:
M M , ,			2	0 .	(10)
0	0	1

Если прямые скрещиваются, то условие (10) не выполняется, т.е. справедливо

Утверждение 2. Прямые l	1	, l	2	скрещиваются			M M ,			,	2	0.
							0	0	1
Утверждение 3. Прямые		l1 , l2 параллельны					векторы						1 и	2
коллинеарные. Более того,		если прямые l			и l	2	совпадают,			то вектор M				M
				1									0	0

коллинеарен векторам 1 и 2 , и не коллинеарен им – если прямые не совпадают.

Пример. Прямые

	x 1			y 1		z 1		и	x 2		y 2		z 2
1			1		1				3	3		3
совпадают.

3. Решение некоторых задач о прямой и плоскости в пространстве

(расстояние между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Если l1 || l2 , то возникает задача нахождения

M

расстояния между ними:

0

			M M		,
h	h		0		0		1
				1

Рис.7.

M

0

Плоскость, содержащая параллельные прямые имеет вектор нормали

h M M , .

0 0 i

Чтобы построить перпендикуляр строим плоскость 1 , содержащие эти

прямые и плоскость 2 , ???

Если прямые пересекаются, то плоскость, содержащая эти прямые в качестве вектора нормали имеет n 1 2 .

Если две прямые скрещиваются, то 1 || 2 ,l1 1 ,l2 2 .

Кроме того, чтобы построить вектор нормали этих плоскостей, найдем

n 1 2 . Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между скрещенными прямыми. Другой способ нахождения расстояния между скрещенными прямыми: найти высоту параллелепипеда , построенного на

векторах	,	2	, M M если в качестве основания брать параллелограмм,
1			0	0
									,			, M M
построенный на векторах 1 , 2 :					h			1			2	0	0			.
										1 2