rasch_lin_el_cep_12

i(t) - i1(t) - i2 (t) = 0

+ ) - i1(0+ ) - i2

(0+ ) = 0

i(0

+ uC

(t) = E

+ )R1 + uC (0+ )

= E

i(t)R1

i(0

di2 (t)

di2

i (t)R + L

- u

(t) = 0

i (0

+

)R + L

- u (0

+

) = 0

dt

2

2

dt

C

2

2

C

i(0+ ) =

E − uC (0+ )

= 0

t =0

R1

i1(0+ ) = i(0+ ) - i2 (0+ ) = 0

di2

=

uC (0+ ) - i2 (0+ )R2

=

100

= 2000 (А

с

)

dt

0+

L

0,05

Для нахождения

di2

t =0

дифференцируем систему уравнений по

dt

законам Кирхгофа по t и записываем их для момента времени t=0+

di(t)

di (t)

di (t)

-

1

-

2

= 0

dt

dt

dt

di(t)

+

u

C

(t)

= 0

R1

dt

dt

di (t)

d

2i (t)

u (t)

2

R + L

2

-

C

dt

2

dt2

dt

duC

=

i(0+ )

= 0 (

В

),

dt

t =0

C

с

di

di1

di2

-

-

= 0

dt

t =0

dt

t =0

dt

t =0

duC

di

R1

+

= 0

dt

t =0

dt

t =0

di

d 2i

-

du

= 0

= 0

2

R2 + L

2

C

dt

t =0

dt

2

dt

t =0

t =0

di2

=

- duC

×

1

= 0 (А

с

).

dt

t =0

dt

t =0

R1

Для нахождения постоянных интегрирования А и q записываем общее решение и производную общего решения.

i(t) = 2 + Ae−800t				sin(600t + q)
	di(t)	= -800Ae	−800t sin(600t + q) + 600Ae−800t cos(600t + q)
dt

Уравнения записываем для момента времени t=0

) − I22 ( p) 1 = E pC p

i(0) = 2 + Asin(θ) = 0

di

= −800Asin(θ)

+ 600A cos(θ) = 0

dt

t =0

Решив полученную систему уравнений, получим

Asin(θ)

3

− 2 = Asin(θ)

tgθ =

=

A cos(θ)

4

− 8

3

A cos(θ) =

O

O

O

3

θ = arctg

= 36,87

+ 180

= 216,87

− 2

4

A =

= 3,33

(А).

Asin(216,87O )

Тогда i(t) = 2 + 3,33e−800t

sin(600t + 216,87O ) (А)

Ответ: i(t) = 2 + 3,33e−800t sin(600t + 216,87O )

(А)

2. Операторный метод

Независимые начальные условия по законам коммутации для цепи были определены в классическом методе при t=0-

	R1
	I1(p)	1	R2
		pC
	E
	p		I2(p)
	uC (0+ )
			pL
	p	I1(p)
		Рис. 4.12

i2 (0− ) = 0, uC (0− ) = E = 100 В.

Учитывая эти условия, составляем операторную схему замещения для послекоммутационной цепи (рис.

4.12).

Найдем изображение I(p) тока i(t) методом контурных токов. Тогда

I(p)= I11(p).

I ( p)(R +				1
	11	1			pC
			1
− I ( p)					+ I	22	( p)(
	11	pC

− uC (0+ ) p

1 + R + pL) = uC (0+ )
pC	2	p

		E		-		uC (0+ )										-				1
									p											pC
			p
					uC (0+ )								1				+ R2 + pL)
													(
							p
I11( p) = I ( p) =															pC									=
			(R +						1			)				-			1
			1						pC										pC
			-					1					(	1		+ R + pL)
							pC							pC					2

(		E	-	uC (0+ )			)(		1			+ R + pL) +						uC (0+ )						1
=	p			p					pC					2					p						pC		=
					1			)(			1		+ R + pL) -						1
			(R +
				1		pC					pC			2					p2C 2
=												E									=
	p( p2R LC + p(R R C + L) + R + R )
				1							1	2				1			2
=						100										= N ( p)
	p(50			×10−6 p2 +							0,08 p + 50)						M ( p)
Находим корни M ( p) = 0															и производную M ¢( p)
M ( p) = p( p						2 R LC + p(R R C + L) + R + R ) = 0
						1								1	2				1						2
p(50 ×10−6 p2 + 0,08 p + 50) = 0

p0 = 0

p1,2 = -800 ± j600

M ¢( p) = 3 p2R1LC + 2 p(R1R2C + L) + R1 + R2 = = 150 ×10−6 p2 + 0,16 p + 50

По теореме разложения искомый ток ищем в виде

i(t) = L−1{I ( p)} =				N (0)		+ 2 Re				N ( pk )	e pk t =
				M ¢(0)					M ¢( pk )
	N (0)	N ( p )					p t
=		+ 2 Re		1	e		1		=
	M ¢(0)		M ¢( p )
				1

	100				100e	(−800+ j600)t
=		+ 2 Re						=
				×10−6 (-800
50		150			+ j600)2 + 0,16(-800 + j600) + 50

100e

−800t

e

j600t

100e

−800t

e

j600t

= 2 + 2 Re

= 2 + 2 Re

=

- 36 - j48

60e− j126,87

O

= 2	+ 2 Re 1,667e−800t e j(600t +126,87O )		= 2 + 3,33e−800t	cos(600t +126,87O ) =
= 2	+ 3,333e−800t sin(600t + 216,87O )		(А).

Задача 4.7

В цепи (рис. 8.13) при R=1 кОм, L=0,1 Гн определить значения напряжений uL(t) и u2(t) в моменты времени t1=Т/2 и t2=3Т/2, если на входе действует импульс напряжения u1(t) (рис. 4.14).

u1(t)

U=10 В

T=1

мс

L

1

2

U

uL(t)

u1(t)

R

u2(t)

′

2′

0

t

T

1

рис.4.13

рис. 4.14

Решение:

Аналитическое выражение для входного воздействия

U

t, 0 £ t £ T ,

u (t) =

T

1

0,

t > 0.

Определим сначала переходные функции h1(t), h2(t), численно равные напряжениям на индуктивности и на выходных зажимах при подключении цепи к источнику постоянного напряжения U0 = 1 В.

Применив классический или операторный метод, получим:

h

(t) =

uL (t)

= e pt ,

h (t) =

u2 (t)

= 1 - e pt ,

1

u1(t)

u1 =1 Â

2

u1

(t)

u1 =1 Â

где p= – R/L= – 10 4

с-1.

Используя первую форму интеграла Дюамеля, запишем для

интервала времени 0 ≤ t < Т:

t

uL (t) = u1(0) × h1(t) + ∫u1¢

(τ) × h1(t -τ) × dτ ,

0

t

u2 (t) = u1(0) × h2 (t) + ∫u1¢

(τ) × h2 (t -τ) × dτ.

0

Рассчитаем искомые значения uL(t1) и u2(t1):

U

t

U

t

10

4

4 t ) B;

uL (t) =

∫e p(t -τ )dτ =

e p(t -τ )

=

(1 - e-10

- pT

T

0

0

104

uL(t1) = 1– 10 -104 ×T / 2 = 1– e−5 = 0,993 В.

t

u2 (t) = UT ∫0 (1 − e

p(t −τ) )dτ =	U		τ +	1
				p
	T

	t		U				1
e p(t −τ)		=				t +		(1 − e pt ) =
							p
	0			T

= 4 − − −104 t В

10 t (1 e ) .

T

- (1 - e-10

4

×

T

u

2

(t ) =104

×

2

) = 5 -1 + e-5

= 4,007, B.

1

2

Для интервала времени t ≥ T:

Т

uL (t) = u1(0) × h1(t) + ∫u1'(t) × h1 (t - t) × dt + [u1

(T+ ) - u(T- ))]× h1 (t - T ) =

0

=

U

T e p(t -t)dt -Ue p(t -T ) =

U

e p(t -t)

T0 -Ue p(t -T ) =

T

∫

- pT

0

=104 (e-10 4 (t -T ) - e-10 4 t ) -10e-104 (t -T ) = -9e-10 4 (t -T ) - e-10 4 t , B;

104

Т

u2 (t) = u1 (0) × h2 (t) + ∫u1'(t) × h2 (t - t) × dt + [u1 (T+ - u(T- ))]× h2 (t - T ) =

0

	=	U	T	(1 − e p(t − τ) )dτ − U (1 − e p(t −T ) ) =	U	(τ + e p(t −τ) )		T0 − U (1 − e p(t −T ) ) =
		T	∫		− pT
			0

= 10 −	104	(e−104 (t −T ) − e−10 4 t ) − 10(1 − e−10 4 (t −T ) ) = 9e−10 4 (t −T ) + e−10 4 t	, B.
104
Поскольку для t > T uL(t)+u2(t)=0, то uL(t)= – u2(t).
Искомые значения uL(t) и u2(t) при t = 3Т/2
uL (t2 ) = −9e-104 (3T / 2-T ) − e-104 ×3T / 2 = −9e-5 − e-15 = −0,06 B;
u2 (t2 ) = 9e-104 (3T / 2-T ) + e-104 ×3T / 2 = 9e-5 + e-15 = 0,06 B.

Составители: ЛУКМАНОВ Виталий Сабирович ЧЕЧУЛИНА Ирина Евгеньевна ФАТХИЕВ Альберт Рифгатович ЛАРИОНОВА Екатерина Валерьевна КУЗНЕЦОВА Регина Марсовна

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ

по дисциплинам «Электротехника», «Электротехника и электроника», «Общая

электротехника», «Общая электротехника и электроника», «Дополнительные главы электротехники и электроники» и «Спецглавы электричества»

Подписано в печати . Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman Cyr

Усл.печ.л.1,31. Усл.кр.-отт.3,0 Уч.-изд.л.1,21.

Тираж 100 экз. Заказ №….. ФГБОУ ВПО

Уфимский государственный авиационный технический университет Редакционно-издательский комплекс УГАТУ

450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса,12