лекция 4

¶W	¹ 0 , а rotW = 0 . При этом W = grad ϕ , так как безвихревое течение – течение
¶t

потенциальное. Хотя для неустановившегося течения ϕ = ϕ(x, y, z,t) , речь идет о

любом фиксированном моменте времени, то есть время играет роль параметра.

Тогда

¶W	=	¶	grad ϕ = grad			¶ϕ .
¶t
		¶t				¶t
В результате (4.34) преобразуется к виду
	æ			2	¶ϕ	ö
gradçF + P + W				+		÷ = 0.	(4.35)
	è	2			¶t	ø

Так как градиент – операция над координатами и он равен нулю, то можно сделать вывод, что выражение в скобках не зависит от координат, а зависит только от времени. Следовательно,

	F + P +	W 2	+	¶ϕ	= f (t) ,	(4.36)
		2		¶t

где f (t) - произвольная функция времени, постоянная в данный момент времени

для всей области потенциального течения. Она определяется из начальных условий.

Соотношение (4.36) называется интегралом Лагранжа (Коши-Лагранжа) для неустановившегося потенциального течения идеальной жидкости.

При установившемся вихревом движении ¶W¶t = 0, а rot W ¹ 0 , и из (4.34)

будем иметь

æ		2 ö	r	r	(4.37)
gradçF + P + W		÷	= (W ´ rotW ).
è	2	ø

Умножим скалярно обе части уравнения на элементарный вектор dr . При

этом

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 11 ~

æ

+ W

2

ö

æ

+ W

2

ö

æ

W

2

ö

r

¶çF + P

÷

¶çF + P

÷

è

2

ø

è

2

ø

gradçF + P +

÷

× dr

=

dx +

dy +

2

¶x

¶y

è

ø

æ

+ W

2 ö

¶çF + P

÷

æ

W

2

ö

è

2

ø

dz

= d

çF + P +

÷.

¶z

2

è

ø

В результате, учитывая, что при круговой перестановке сомножителей смешанное векторно-скалярное произведение не изменяется, можно записать

æ	W	2 ö	r	r	r	r	r	r	r	r r	(4.38)
d çF + P +	2	÷	= (W ´ rotW )dr º			(dr	´W )rot W º (rot W ´ dr )W .
è		ø
Уравнение (4.38) интегрируется в полных дифференциалах, когда его
правая часть обращается в ноль, и дает такой интеграл
				F + P +	W 2	= const .					(4.39)
					2

Этот интеграл называется интегралом Бернулли.

Правая часть (4.38) обращается в ноль в следующих случаях:

1)при rot W = 0 , получается интеграл Эйлера, для которого постоянная в

правой части одна и та же для всей области потенциально движущейся жидкости;

2)при dr W , что соблюдается на линии тока, постоянная в правой части одна

и та же вдоль линии тока;

3) если rot W dr , что соблюдается на вихревой линии, постоянная одна и та же вдоль вихревой линии;

4) при rot W W векторы линейной и угловой скоростей совпадают по

направлению. При этом частицы движутся вдоль линий тока и вращаются вокруг них, то есть линии тока и вихревые линии совпадают. Это винтовое течение, называемое также течением Громеки.

Вслучае, когда из массовых сил действует только сила тяжести, то есть

Φ= gz , интеграл Бернулли представляется обычно в форме

gz + ò dp	+	W 2	= const .	(4.40)
ρ	2

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 12 ~

В таком виде он называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является одним из основных в ГГД, так как определяет изменение основных параметров течения – давления, плотности, скорости и высоты положения жидкости z .

Интегральная форма закона сохранения количества движения (импульса).

Эта форма закона сохранения количества движения удобна для решения задач, в которых требуется определить некоторую интегральную величину, например, силу взаимодействия потока с ограничивающими его твердыми стенками, а не все поле скоростей и других гидрогазодинамических параметров жидкости.

Обратимся к уравнению (4.13) количества движения жидкого объема

dK	º òρ	dW	r	r
dt		dt	dV = òρRdV + ò pndF .
	V		V	F

Приведем его к виду, более удобному для практического использования. Рассмотрим установившееся движение произвольного жидкого объема V ,

ограниченного поверхностью F (рис. 4.2, а). В начальный момент времени F будет и контрольной поверхностью.

Пусть за время dt поверхность F перемещается в положение F′ . На поверхности F выделим элементарную площадку dF , которая за время dt перемещается в положение dF′ . Между этими площадками образуется элементарный косой цилиндр (рис. 4.2, б). Для этого цилиндра количество

движения равно

ρdV W = ρ(dF Wn dt)W .	(4.41)
Произведение ρW × ndF = ρWndF представляет	собой секундную массу,

вытекающую или втекающую через площадку dF в зависимости от положения вектора скорости по отношению к внешней нормали. Причем, нормальная компонента (составляющая) скорости Wn , совпадающая с направлением внешней

нормали – положительна, а противоположно направленная – отрицательна.

В гидродинамической интерпретации этот результат приобретает такой смысл: если жидкость втекает в контрольный объем, то Wn и, соответственно,

произведение ρWndF отрицательно, а если вытекает – положительно.

Поэтому, если взять интеграл по поверхности F от выражения (4.41), то получим изменение количества движения жидкости, прошедшей за время dt через контрольную поверхность F , то есть

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 13 ~

dK = òρWndt WdF .	(4.42)
F

Здесь необходимо еще раз обратить внимание на то, что если жидкий объем перемещается вместе с жидкостью, то контрольный объем неподвижен. Переход от жидкого объема к контрольному совершается в тот момент, когда количество

движения в косом цилиндре определяется через параметры втекающей в него через входное сечение жидкости, то есть при dt → 0 .

а – схема движения жидкого объема;		б – элементарный косой цилиндр.
	Рис. 4.2
Из (4.42) следует	r
dK			(4.43)
	= òρWnWdF .
dt	F
С учетом (4.43) исходное уравнение запишется в виде:
òρWnWdF = òρRdV + ò pndF , Н.			(4.44)
F	V	F

Выражение (4.44) часто называют первым уравнением Эйлера или

уравнением импульсов, и формулируется так:

при установившемся движении жидкого объема равнодействующая внешних сил, действующих на него и ограничивающую его поверхность, равна по величине и направлению потоку количества движения (изменению количества движения) жидкости, проходящей через контрольную поверхность.

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 14 ~

При решении задач контрольная поверхность выбирается достаточно произвольно. Объем, ограниченный контрольной поверхностью, может быть и не односвязным, то есть внутри него могут находиться твердые тела.

Уравнение движения в интегральной форме является самым общим динамическим уравнением ГГД. Оно применимо для объема любой величины и для любого, даже разрывного движения, при котором разрывы параметров состояния или характеристик движения имеют место внутри объема.

Определение сил, действующих на твердое тело, по состоянию потока на границах.

Рассмотрим использование уравнения (4.44) для определения силы, действующей на твердое тело, находящееся в потоке жидкости. Пусть некоторое тело обтекается установившимся потоком жидкости (рис. 4.3). Выделим контрольную поверхность так, чтобы она охватывала некоторый объем жидкости, граничащий с твердым телом. Внутри контрольной поверхности должна быть только жидкость. На рис. 4.3 это поверхность

F = F123 + F34 + F456 + F61.

(4.45)

Рис. 4.3

Будем считать, что R = 0 и μ = 0 , то есть пренебрежем массовыми силами и силами вязкости. Тогда на жидкость внутри контрольной поверхности будут действовать только силы давления, всегда направленные внутрь жидкого объема, т.е.

ò pndF = −ò pndF = ò pdF = P .			(4.46)
F	F	F

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 15 ~

При этом для заданных условий уравнение (4.44) запишется в виде

òρWnWdF = ò pdF		(4.47)
F	F
Разобьем интегралы на участки согласно (4.45). При этом		ò pdF есть сила,
		F456

действующая на жидкость со стороны тела. Согласно третьему закону Ньютона

сила, действующая	на	обтекаемое	твердое тело со стороны жидкости
Rw = − ò pdF .
F456
Силы давления	на	площадках	F34 и F61 равны по величине и
противоположны по направлению. Поэтому
		ò pdF + ò pdF = 0 .
		F34	F61

Влевой части уравнения (4.47)

òρWnWdF + ò ρWnWdF = 0,

F34	F61
поскольку скорости на площадках F34 и F61 равны, а			нормали направлены
противоположно. Кроме этого,
	ò ρWnWdF = 0,
	F456
так как Wn =0 во всех точках	поверхности	F456 : жидкость через		твердую
поверхность не протекает.
В результате получаем уравнение (4.47) в виде
ò ρWnWdF = ò pdF − Rw .				(4.48)
F123	F123
Обратим внимание на то, что	F123 = Fнар , т.е.	является	наружным	участком

контрольной поверхности, не граничащим с твердым телом.

В результате можем (4.48) переписать в виде

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 16 ~

Rw = ò	pdF − ò ρWnWdF ,	(4.49)
Fнар	Fнар

Индекс w в дальнейшем, как правило, будем опускать, если из контекста очевидно, что речь идет о силах, действующих на твердое тело.

Если нужно учесть вязкость жидкости или массовые силы, то они вводятся в правую часть уравнения (4.49). При этом силы от касательных напряжений

также берутся только по наружному участку контрольной поверхности в виде ò τdF , так как аналогичный интеграл по внутренней части контрольной

Fнар

поверхности составляет часть искомой силы Rw .

При решении задач можно воспользоваться уравнением (4.49) или, при необходимости, более общим уравнением (4.44).

Причем и в случае вязкой жидкости можно, при правильном выборе контрольной поверхности, исключить из расчета силы трения. Для этого нужно,

чтобы участки контрольной поверхности были либо перпендикулярны линиям тока (тогда силы трения на поверхность не проецируются), либо параллельны, но проходили бы в таких местах, где поперечный градиент скорости равен нулю и, следовательно, силы трения отсутствуют. При этом влияние сил трения, действующих внутри контрольной поверхности, будет учитываться

автоматически через изменение параметров жидкости на наружных участках контрольной поверхности.

Рассмотрим использование уравнения (4.49) для определения силы,

действующей на стенки криволинейного канала со стороны текущей по нему жидкости (рис. 3.4) при отсутствии трения и сил тяжести.

Распределение скоростей и давлений в поперечных сечениях будем считать равномерным.

Проведем контрольную поверхность так, как показано на рис. 4.4 пунктиром. Учтем, что Fнар = F1 + F2 . Принимая во внимание правило знаков для

Wn , получим

R = ò p1dF + ò p2dF + òρ1Wn1W1dF − òρ2Wn2W2dF .

F1

F2

F1

F2

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 17 ~

При равномерном распределении параметров в поперечных сечениях канала интегралы берутся.

Учитывая, что òρWnWdF = mW , а также обращая внимание на то, что

F

направление силы давления в сечении F1 (на входе) совпадает с направлением вектора скорости W1 , а в сечении F2 (на выходе)

противоположно скорости W2 , можно записать, что
R = ( p F + mW ) − ( p F + m W ) ,								(4.50)
1	1	1	1	2	2	2	2
где величина
		( pF + mW ) = J						(4.51)
называется полным импульсом потока в сечении						F ,	причем вектор J	имеет в
сечении F направление W .

Рис. 4.4

С учетом (4.51) уравнение (4.50) можно записать в виде

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 18 ~

R = J1 − J2 ,

(4.52)

где индексы 1 и 2 означают, соответственно, вход и выход из канала, (нумерация проводится в направлении течения).

Таким образом, силу, действующую на стенки канала, можно определить вычитанием полных импульсов во входном и выходном сечениях канала.

Составляющие этой силы на координатные оси для случая, показанного на рис. 4.4, равны

Rx	= J1 cosα1 − J2 cosα2	;	(4.53)
Ry	= J1 sin α1 − J2 sin α2.

Если на несмоченную поверхность канала действует атмосферное давление pH ,

то суммарная нагрузка на стенки канала RΣ определяется разностью давлений изнутри и снаружи, называемой избыточным давлением.

pu = p − pH .	(4.54)
В этом случае
RΣ = J1u − J2u ,	(4.55)

причем индекс Σ обычно опускается. Здесь Ju – полный импульс, рассчитанный через избыточное давление:

Ju = pu F + mW = J − pH F .	(4.56)
С учетом (4.56)
RΣ = J1 − J2 − pH (F1 − F2 ) .	(4.57)
В выражении (4.57)
J1 − J2 = RBH	(4.58)
где RBH – внутренняя сила,
− pH (F1 − F2 ) = Rнар ,	(4.59)
где нар Rнар – наружная сила.	~ 19 ~
С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике