ТЭС_часть2

61. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов.

Постановка задачи: имеется сигнал x(t ) = s(t )+ n(t ) на входе приёмника, где s(t )−полезный сигнал, а n(t )−помеха.

Помеха n(t ) имеет свою спектральную плотность Sn (t ) и свою корреляционную

функцию kn (t ).

Поставим задачу наилучшего выделения смеси из сигнала и шума полезного сигнала. Эта задача сводиться к отысканию линейного фильтра с передаточной функцией KOΠT ( jω), обеспечивающая наименьшее отклонение y(t ) от сигнала s(t ).

Оценку отклонения можно определить при помощи критерия минимума средней

квадратической ошибки (СКО):

ε2 = lim	1	T	y(t )− m(t )		2dt → ∞, где T −интервал времени существования сигнала.
		∫0
T →∞ T

Эта теория также называется теорией линейной фильтрации, т.к. эта теория базируется на положении, что фильтрации осуществляется линейной схемой, а сигнал и помеха являются стационарными случайными процессами. Т.к. схема фильтрации линейная, то

фильтр может стоять как перед детектором (модулятором), так и после него. При

передаче модулированных колебаний, то полезное сообщение заключается в изменении параметров переносчика (амплитуда, фаза и т.д.). В этом случае оптимальной

процедурой выделения сигнала будет нелинейная фильтрация.

В случае линейной фильтрации методами вариационного исчисления можно показать, что АЧХ оптимально фильтра для непрерывных сигналов, обеспечивающей минимум

СКО определяется только спектральной плотностью сигнала и шума:

KOΠT (ω)=

SS (ω)

=

1

,

SS (ω)+ SΠ (ω)

SΠ (ω)

1

+

SS

(ω)

где SS (ω), SΠ (ω)−спектральные плотности полезного сигнала и помехи соответственно.

Тогда минимум СКО:

2

∞ SS (ω) SΠ

(ω)

dω .

εMIN

=

(ω)+ SΠ (ω)

−∞∫ SS

Заметим, что сигнал и помеха могут быть полностью определены, когда εMIN2 = 0 , если спектр сигнала и помехи не перекрываются: SS (ω) SΠ (ω)= 0 .

Тогда KOΠT ( jω)=1, т.е. получается идеальный фильтр с прямоугольной АЧХ.

41

Если спектры сигнала и помехи перекрываются, то АЧХ не будет иметь прямоугольную форму:

Такой фильтр припускает различные частотные составляющие сигнала с тем большим ослаблением, чем выше отношение SSΠS ((ωω)), т.е. чем выше интенсивность шума и меньше

спектральная плотность сигнала на данной частоте, т.к. составляющие сигналы малой интенсивности несут в себе малое количество информации и подвержены в большей степени действию шумов.

	А если	SS (ω)	<< 1, то ε2	=	∞∫ SS (ω)dω = PS , где PS − мощность сигнала. В этом случае
		SΠ (ω)
					−∞

восстановление сигнала становиться невозможным.

При неравномерных спектрах сигнала и помехи можно получить лучшие результаты, если использовать передачу с предискажением. Суть предискажения: на передающей стороне на тех частотах, где спектральная плотность помехи велика с помощью фильтра, с коэффициентом K1 ( jω), искусственно увеличивают уровень сигнала, а на приёмной

стороне проводят обратную операцию.

42

62. Оптимальная фильтрация дискретного сигнала.

Задача синтеза фильтров сводиться к задаче обнаружения.

Особенность при фильтрации дискретных сигналов в том, что не нужно заботиться о сохранении формы сигнала. В связи с этим основная задача сводится к обеспечению минимума ошибочного решения при приёме сигнала.

Вероятность ошибочного приёма P oω.np будет тем меньше, чем выше отношение

мощности сигнала к мощности шума. При синтезе оптимального фильтра для дискретного сигнала используется критерий максимума отношения мощности сигнала к мощности помехи на выходе фильтра. Фильтры, удовлетворяющие этому критерию, называются оптимальные фильтры максимизирующие отношение мощности сигнала к мощности помехи.

Таким образом, задача состоит в следующем:

На оптимальный фильтр с передаточной функцией K ( jω) подаётся аддитивная смесь

сигнала и помехи. Сигнал полностью известен, но неизвестен лишь факт его присутствия. Требуется синтезировать фильтр, т.е. найти KOΠT ( jω), который обеспечивал бы на

выходе в заданный момент времени t0 наибольшее отношение пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума:

h2	=	y2 (t )	0	= MAX .
		σΠ2
MAX

При этом условие сохранения формы не ставиться.

43

63. Оптимальный фильтр при белом шуме.

На вход фильтра поступает сигнал и белый шум.

Спектральная плотность белого шума имеет постоянную величину во всей частотной области: SΠ (ω) =ν02 .

Корреляционная функция белого шума представляет собой δ −функцию. Сигнал может быть задан своей временной функцией s(t ).

Будем считать, что S ( jω) = S (ω) e jϕS (ω), где ϕS (ω)− фаза сигнала, S (ω)−АЧХ сигнала. K ( jω)можно представить в таком же виде: K ( jω) = K (ω) eϕK (ω) .

Если есть спектр сигнала и передаточная функция фильтра, то можно определить, что будет на выходе:

y(t )

=

1 ∞

K ( jω)S ( jω) e jωt dω

2π −∞∫

.

1

∞

2

2

2

(ω)dω

σn

=

∫ν0

K

2π −∞

Чтобы получить максимум отношения мощности сигнала к мощности шума нам необходимо выбрать точку выброса. Путь t0 −некоторый фиксированный момент

времени, пир котором амплитуда сигнала на выходе фильтра максимальна. Тогда при замене t на t0 получим:

	y(t0 )=					1 ∞		K ( jω)S ( jω) e jωt0 dω
					2π −∞∫
										.
				1		∞
		2					2		2	(ω)dω
	σn		=			∫	ν0	K
				2π
						−∞

Запишем отношение мощности сигнала к мощности шума:

1

∞

K ( jω)S ( jω)

jωt

2

y2 (t0 )

−∞∫

e

0 dω

2π

h

2

=

=

.

σn2

ν02 ∞∫ K 2 (ω)dω

2π −∞

Задача сводиться к отысканию K

OΠT

( jω), обеспечивающая h2

. Для этого

MAX

воспользуемся неравенством Шварца–Боняковского:

∞∫ f1 (ω) f2 (ω)dω 2 ≤ ∞∫ f12 (ω)dω ∞∫ f22 (ω)dω .

−∞

−∞

−∞

Это неравенство превращается в равенство, если: f1 ( jω) f2 ( jω)= a f12 (ω)= 1a f22 (ω),

где a −некоторая произвольная константа.

44

При использовании неравенства Шварца–Боняковского, hMAX2 обеспечивается при

выполнении следующих условий:

K ( jω)S ( jω) e jωt = a S 2 (ω)= 1a K 2 (ω).

Из последнего выражения получим:

K (ω)= a S (ω), при условии ϕS (ω)+ϕK (ω)+ω t0 = 0 . Откуда ϕK (ω)= −ϕS (ω)−ω t0 . Мы получили АЧХ : K (ω) и ФЧХ: ϕK (ω) оптимального фильтра.

Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра определяется выражением:

KOΠT ( jω)= a S (ω) e

(ω)− jωt

( jω) e

1

∞

(ω)dω =

E

− jϕ

− jωt

2

−∞∫

2

S

0 = a S

0 . Тогда: hmax =

S

, где

2πν02

ν02

E −энергия сигнала на выходе оптимально фильтра. Таким образом, величина hmax2

определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы. Поясним физический смысл результатов:

1)АЧХ оптимально фильтра отличается только постоянным сомножителем от амплитудного спектра сигнала, следовательно, оптимальный фильтр пропускает различные частотные составляющие с тем большим ослаблением, чем меньше их интенсивность. В результате этого полная мощность шума на выходе фильтра получиться меньше, чем при равномерной АЧХ.

2)ФЧХ оптимально фильтра отличается от ϕS (ω) только на величину ω t0 , которая означает сдвиг во времени на величину t0 всех частотных составляющих сигнала. Т.е. оптимальный фильтр обеспечивает компенсацию начальной фазы составляющих сигнала, складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала образуют в момент времени t0 пиковый выброс выходного сигнала. На

составляющие шума, имеющие случайную начальную фазу оптимальный фильтр такого влияния не оказывает.

Таким образом, вследствие причины АЧХ и ФЧХ оптимальный фильтр обеспечивает максимум отношения мощности сигнала к мощности шума на выходе.

Поскольку частотная характеристика оптимального фильтра полностью определяется спектром сигналом, то говорят, что частотная характеристика оптимального фильтра согласована, а фильтр называется согласованным фильтром.

Отметим, что оптимальный фильтр для сигнала s(t )будет оптимальным и для всех

сигналов той же формы, но отличающихся друг от друга амплитудой и начальной фазой. В случае, когда шум не «белый», т.е. спектральная плотность помехи неравномерная (гауссовская или экспоненциальная помеха) оптимальный фильтр имеет другую передаточную функцию:

KOΠT ( jω)= a S ((jω)) e− jωt0 . SΠ jω

Блок – схема:

45

Сигнал x(t ) = s(t )+ n(t )поступает на вход оптимально фильтра, с передаточной функцией K1 ( jω) и далее на фильтр с передаточной функцией K2 ( jω).

Фильтр с передаточной характеристикой K ( jω)= 1 выполняет функцию

1 SΠ (ω)

«отбеливания» шума, фильтр с передаточной функцией K2 (ω) будет оптимальным фильтром для «отбеленного» шума.

46

64. Импульсная переходная функция согласованного фильтра.

Импульсная переходная функция (реакция) – отклик цепи на очень короткий импульс (или на δ −функцию).

На вход согласованного фильтра подадим δ −функцию:

Нам необходимо определить импульсную переходную функцию, т.е. нам необходимо знать, что будет на выходе фильтра.

У согласованного фильтра есть своя передаточная функция и если она известна, то передаточную характеристику фильтра можно получить в результате обратного

преобразования Фурье: g (t )= 1 ∞∫ K ( jω)e jωt dω.

2π −∞

Для согласованного фильтра: K ( jω)= a S ( jω)e− jωt0 , согласно определению

оптимального фильтра.
Тогда:	g (t )=	a ∞		S (− jω)e jω(t−t0 )dω =	a ∞		S ( jω)e jω(t0 −t)dω = a S (t0 −t ).
		2π −∞∫			2π −∞∫

Импульсная переходная функция согласованного фильтра для сигнала s(t ) отличается

от исходной временной функции, описывающей этот сигнал только постоянным множителем "a", смещением во времени на величину t0 и знаком аргумента, т.е.

импульсная переходная функция согласованного фильтра является зеркальным отображением временного сигнала, сдвинутого на величину t0 .

Величину t0 выбирают из условия физической реализуемости фильтра, согласно

которому отклик цепи не может опережать воздействие. Пусть на вход согласованного фильтра подаётся δ −функция, то отклик может быть при t ≥ t 0 . Следовательно,

необходимо выбирать время задержки t0 ≥T . Только при этом выполняется условие физической реализуемости и только при этом может быть использована вся энергия сигнала для создания пикового выброса, т.е. при t = t0 (t0 =T ).

47

65. Оптимальный фильтр как коррелятор.

У нас есть оптимальный фильтр, на вход которого поступает смесь сигнала и помехи:

Пусть g (t )−импульсная переходная функция фильтра.

Если известна импульсная переходная функция, то можно узнать, что будет на выходе. Чтобы определить сигнал на выходе фильтра воспользуемся интегралом Дюамеля:

y(t )= ∫t x(τ ) g (t −τ )dτ .

0

Пусть x(t ) = s(t )+ n(t ), g (t )= a S (t0 −t ).

Зафиксируем время t0 =T , где T −длительность входного импульса. Тогда:

y(t )= T∫ s(τ )+ n(τ ) a S (t0 −t +τ )dτ = a∫t s(τ )S (t0 −t +τ )dτ + a∫t n(τ )S (t0 −t +τ )dτ .

0	0	0
Если s(τ )	существует на интервале 0 ≤τ ≤T , то S (t0 −t +τ ) ≠ 0 .
Поэтому пределы интегрирования можно заменить на		"T ":
	y(t ) = a T ks (t −T )+ a T kns (t −T ).

Первое выражение с точностью до постоянного множителя автокорреляционную функцию сигнала, а второй выражение представляет взаимную корреляционную функцию сигнала и помехи.

Отсюда мы можем рассматривать оптимальный фильтр, как коррелятор, т.е. фильтр может обеспечивать реализацию корреляционной функции.

Запишем выражение y(t ) для случая, когда t = t0 =T :

y(T ) = a T ks (0)+ a T kns (0) = a E + a T kns (0), где E −энергия сигнала s(t ). Если в качестве помехи берём белый шум, то дисперсия на выходе будет равна:

σBIoIX2 = a2ν 2 E .

Отношение мощности сигнала к мощности помехи, если помеха – белый шум:

h2 = E .

ν02

48

66. Примеры синтеза согласованных фильтров.

В качестве входного сигнала s(t ) возьмём одиночный импульс длительностью T с амплитудой "b":

Воспользуемся преобразованием Фурье:			sin (ωT			)
	b	ω			2			jωT
S ( jω)=		(1− e j T )= b T					e	2 .
	jω		ωT	2

Комплексный коэффициент передачи оптимально фильтра в точке t0 =T :

KOΠT ( jω)= a S ( jω)e− jωT = abjω (1+ e− jωT )= a S ( jω).

Заметим, что KOΠT ( jω) отличается от спектра сигнала только на величину "a".

Следовательно, импульсная переходная функция фильтра будет совпадать с самим сигналов.

Определим эффективную полосу оптимального фильтра:

	1	∞	2	∞ sin2 (ωT 2)		π
∆ω Φ =		∫0 K		(ω)dω = ∫0		dω = T .
	K 2 (0)				ωT 2

Таким образом, эффективная полоса пропускания в два раза меньше, чем ширина спектра соответствующего прямоугольного импульса: ∆f Φ = 21T .

Синтезируем фильтр.

Функциональная схема оптимального фильтра:

Передаточная функция интегратора: Ku = j1ω .

Передаточная функция линии задержки: KΛ3 = e− jωt .

49

При подаче на вход δ −функции вычитающее устройство будет два единичных скачка.

При подаче сигнала прямоугольного сигнала s(t ):

Заметим, что в реальных условиях функциональную схему необходимо дополнить схемой гашения или закорачивания колебаний в момент времени t =T .

В таком случае вместо согласованного фильтра можно использовать простую коммутирующую интегрирующую RC −цепочку с большой постоянной времени. Можно показать, что для видео и радиоимпульсов существует однозначное соответствие, т.е. если в качестве входного сигнала, например, использовать видеоимпульс.

Если мы возьмём в качестве входного сигнала импульс, наполненный гармоническим колебанием, т.е. радиоимпульс, то мы получим однозначное соответствие. В качестве интегрирующего звена для радиоимпульса, используется высокоизбирательное резонансное устройство и появляется дополнительный фазовращатель по высокой частоте:

∆fΦ = T1 .

50