Praktika_neopredel_integral_1_5

x4

1

1

1

I

dx

x2

1

dx

x2

1

x 1

x 1

x3 x ln x 1 ln x 1 C. 3

Пример. 7.3. Найти интеграл I

xdx

.

x 1 x 1 2

x

A

B

C

Решение. Имеем:

.

x 1 x 1 2

x 1

x 1

x 1 2

Отсюда x A x 1 2

B x 1 x 1 C x 1 .

(7.1)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:

0 А B , 1 2А C , 0 А B C .

Отсюда А

1

, B

1

, C

1

.

4

4

2

Коэффициенты А, В, С можно найти и вторым способом.

	Полагая х 1		в тождестве (7.1), будем иметь: 1 А 4,				т. е.	А	1	. Полагая
									4
	х 1, получим:	С		1	. Далее, полагая	х 0 , будем иметь:	0 А В С , т. е.
				2

В А С 14 .

Следовательно,

	I	1		dx			1		dx			1		dx			1	ln		x 1			1	ln		x 1				1	C.
		4		x 1			4		x 1			2		x 1 2			4						4							2 x 1
	Пример. 7.4. Найти интеграл																dx					.
															x2	1 x2 4

Решение. Здесь под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь. Разложение данной дроби имеет вид

						1						Ax B					Dx E
		x2 1 x2 4																		,
												x2 1						x2 4
Отсюда 1 Ax B x2		4 Dx E x2 1 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
						А 0 , B					1		, D 0			,		E	1		.
											3							3
Таким образом,
	dx	1					dx		1				dx			1						1		x
																		arctgx					arctg		C.
	x2 1 x2	4		3			x2 1		3			x2 4				3						6		2

Упражнения

Разложить на элементарные дроби следующие рациональные функции:

	1.							3x 2 2x 5														,		2.											x 2 4										,				3.			x 4 2x 2 x 1									,
							x 3 x 2 x 1																							( x 2)( x 3) 3																										( x 2 1) 3
								12x 6																								x		2			2x				6																x 2 1					.
4.																						,		5.																									,		6.			( x 3)( x 1) 3
				x	4	6x				3		11x				2	6x											( x 1)( x 2)( x																		4)
																																			Ответы:
1.	3										2				, 2.				13													7										8									8					,
																		( x 3) 3													( x				3) 2							x 3
	x 1 x										2 1																																						x				2
3.							x						1						, 4.					1						3										9						5				, 5.						3			7					5	,
			( x 2 1) 3											x 2 1										x x 1														x			2 x							3								x	1 x 2							x 3
6.						1										3														5											5						.
		2( x 1) 3												8( x 1) 2											32( x 1)														32( x 3)

§8. Интегрирование иррациональных функций.

Интегралы вида

			ax b
	R x, n				dx ,	(8.1)
			cx d

где n 2, 3, , вычисляются с помощью подстановки

	t n		ax b			(8.2)
			cx d
	Пример 8.1. Найти интеграл х
						2 х 1dx .

Решение. Имеем интеграл вида (13.1), поэтому применяем подстановку

				Здесь		ax b = 2х 1,												n 2,					поэтому полагаем							t				.		Отсюда
(13.2).																															2х 1
																2
												2х 1														1		1				1
получаем																			t 2			2х 1 х					t 2								1
							t 2																						,	dx			t 2				dt tdt .
																										2		2				2			2
Записывая интеграл через новую переменную, найдем, что интеграл х
																																				2 х 1dx =
		1		1		1				1								1				1
			t 2		t 2 dt		t 4 dt				t 2 dt									t5			t 3 C														=
		2		2		2				2							10					6
																			1				3
	подставляем t								2x 1												2x 1			2	3x 1 C .
																		15

Замечание, Данный интеграл может быть вычислен с помощью подстановки t 2х 1. Сделайте проверку.

Интегралы вида

ax b

p

ax b

R x

q

dx ,

, ,

(8.3)

cx d

cx d

где p, q, , - целые числа, рационализируются с помощью подставки

t n

ax b

,

(8.4)

cx d

где n= н.о.к. q,..., .

Пример 8.2. Найти интеграл

1

dx .

4

1

х 3

х 3

p

1

,

1

Решение. Здесь

. Так как

n=Н.О.К.(2, 4)=4, то полагаем

t 4 x 3 .

q

2

4

Тогда t4 x 3 x t4

3, dx 4t 3dt . Значит,

1

dx =

4

1

х 3

х 3

= 4

t 3

dt =4

t

dt 4

t 1 1dt 4 dt 4

dt

4t 4 ln

t 1

C 44

x 3

t 1 t

2

t 1

t 1

t

1

= 4 ln

C .

4 x 3 1

dx

Интегралы вида R x,

ax2 bx c

(8.5)

Вычисляются с помощью подстановок Эйлера.

1. Первая подстановка Эйлера

Если a>0, то полагают

t ax			ax2 bx c		(8.6)
Пример. 8.3. Найти интеграл
					9x 2 12x 3dx.

Решение. Упростим этот интеграл, выделяя полный квадрат в подкоренном

12x 3 (3x 2)2

4 3 (3x 2)2 1.

выражении: 9x2

Имеем:

9x2

12x 3dx

Пусть t=3x 2, тогда dt=3dx. Интеграл примет вид

(3x 2)2 1dx.

1

1

t2 1

9x 2 12x 3dx

t 2 1

dt.

Этот

интеграл

t 2

1dt

2

3

1

2 ln t t2 1 c . Подставляем 3x-2 вместо t и получаем значение исходного

интеграла

9x2 12x 3dx 12 (3x 2)9x2 12x 3 12 ln 3x 29x2 12x 3 c.

Вторая подстановка Эйлера

Если с>0, то полагают

	c tx			ax2 bx c .					(8.7)
Пример. 8.4. Найти интеграл					dx		.
					x2 x 1

Решение. В нашем случае c=1>0. Применяем вторую подстановку Эйлера:

							1 2t
	1 tx	x2 x 1 (или		1 tx	x2 x 1). Отсюда x			,
							1 t 2

dx 2

t 2 t 1

dt. Следовательно,

dx

2

1

t 2 t 1

dt

(1t 2 )2

1 2t

(1 t 2 )2

x 2 x 1

1

t

1 t 2

2

dt

применяем табличный интеграл =

1 t 2

2

1

ln

t 1

C

ln

1 x x 2

x 1

C.

t 1

2

1

x x 2

x 1

Третья подстановка Эйлера.

Если уравнение ax2 bx c 0

имеет действительные корни

и , т.е.

ax2 bx c a(x )(x ), то применяется подстановка

t(x )

ax2 bx c .

(8.8)

Пример. 8.4. Найти интеграл

dx

.

(x 1)

x2 3x

2

Решение. Применим третью подстановку Эйлера, так как x2 3x 2

2 t

2

(x 1)(x 2); ( 1, 2);

(x 1)(x 2)

t(x 1). Отсюда: x

,

1 t

2

2 t

2

t

2t

x2 3x 2

t

1

, dx

dt. Тогда искомый интеграл равен

t 2

(1 t 2 )2

1 t 2

1

1t 2

(1t

2

)

2t

dt 2 dt

2t C 2

x 2

C.

t

(1

t

2

)

2

x 1

Тригонометрические подстановки.

Интегралы

R x,

dx,

a2 x2

( 8.9)

R x,

dx,

x2 a2

(8.10)

R x,

dx.

x2 a2

(8.11)

могут быть вычислены с помощью следующих подстановок:

Интеграл ( 8.9) с помощью подстановки

x acost (или x a sint )

(8.12)

сводится к интегрированию рациональной функции от s int и cost .

Пусть x acost , тогда

a2 x2

a2 a2cos2t

a2 sin2t as int,

dx (acost) dt

1

as int dt. Значит,

R x,

a 2

x 2 dx

dt .

R

acost, as int

as int dt

R

s int,cost

Здесь R1(t) есть рациональная дробь. Заметим, что в этом случае такая

подстановка возможна, так как a2 x2 0 a x a .

К интегралу (8.10) применим подстановку

x

a

(или x

a

)

(8.13)

cost

s int

a

a

2

2 1 cos

2

t

s int

a

Пусть x

. Тогда

2

1

a

a

a

, dx

dt a(cos

t) dt

cost

2

t

2

t

cost

cos

cos

cost

s int

a

s int

s int

2

2

a( 1)cos 2t ( sin t)dt a

dt , R

x,

x

a

dx R

, a

a

dt

2

cost

2

cos

t

cost

cost

R1 s int cost dt .

Здесь

R1(t) рациональная дробь. Заметим,

что в этом случае

x2 a2 0 , т.е. x a

и х а, что также оправдывает сделанную подстановку.

К интегралу (8.11) применим подстановку

x atgt

(8.14

Имеем

a

dt

. Значит, R x,

dx

x2 a2

a2 a2tg 2t

, dx a

a 2

x 2

cost

2

cos

t

a

2

1

. Здесь x .

R atgt,

a

dx

R

s int,cost dt

cost cos

t

Пример. Найти интеграл 1 x 2 dx

Решение. Применим подстановку x cost :

1 x2 dx 1 cos2td (cost) sint cost dt sin2t dt

		1 cos2t			1 cos2t		1	dt	1	cos2t dt	1
	sin2t					dt						arccosx
		2		2			2		2		2

14 2sin arcSinx cos arcsinx

sin arcsinx x,cos arcsinx 1 sin2 arcsinx 1 x212 arccosx 12 x1 x2 C.

Проверьте результат дифференцированием.

Интегрирование биномиальных дифференциалов

Выражение вида xm (a bxn )p dx

дифференциалом.

Пусть m, n, p - рациональные числа, Чебышевым было показано, что интегралы

называется биномиальным

a 0, b 0. Русским математиком

xm a bxn p dx

(8.15)

вычисляются в элементарных функциях тогда и только тогда, когда одно из трех

	чисел p,	m 1			,	m 1				p является целым. Для нахождения интегралов в этих
				n					n
	случаях применяются следующие подстановки:
	1) если p - целое число, то применяют подстановку
										x t	(8.16),
	где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;
	2) если			m 1					- целое число, то применяют подстановку
				n
										а+bxn=tn
											(8.17)
	где - знаменатель дроби p;
	3) если			m 1					p - целое число, то применяют подстановку
				n
										ах n b t	(8.18),
	где - знаменатель дроби p.
	Рассмотрим первый случай. В этом случае dx t 1dt,										xm (a bxn )p dx

t m (a bt n )p t 1dt R(t) dt, где R(t) - рациональная дробь, так как m,

n, p, 1 -целые числа. Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи

Пример. Найти интеграл x 1 3x dx .

						1			1				1		1
	Решение. Имеем	x 1 3 x dx = 2
							1	x3			dx . Здесь	m		, n		, p 1	,	6 . Имеем
													2		3

случай

1).

Применяем подстановку x t

: x t6 .

Значит,

dx 6t5dt ,

1 3

dx =

x t6

t3 , 3

x 3 t6 t 2 . Исходный интеграл

примет

вид

x

x

t3 1 t 2 6t5dt 6 t8dt 6 t10dt

=6 19 t9 6 111 t11 C t 6x = 23 x x 116 x 6x5 C .

Пример. Найти интеграл х2 3х 1dx

1

Решение. х2 3х 1dx = х2 х 1 3 dx . Имеем m 2, n 1, p 13 . Имеем случай 2), так

	как	m 1	3 — целое число. Применяем подстановку а+bxn=tn , которая в нашем
		n
							х t 3 1, dx 3t 2dt . Значит,
	случае		имеет вид t 3 х 1 . Отсюда			t 3 х 1 ,

х2 3х 1dx = t 3 1 2 t 3t 2 dt

							9							6	3											3 10						6						7					3 4										3								3		3					2	39				3 3
	= 3					t		2t							t			dt				t										t								t							C													х						х					х					х 1 С .
																								10								7											4										10										70						140		140
	Здесь мы заменили t на																																							t		3					х 1 .							Найдите														этот			интеграл					с		помощью
	подстановкой t х 1 .
	Пример. Найти интеграл																																							dx
																																х2
																																				3				1 x3 5
	Решение. В нашем случае:																																			x 2 (1 x 3 )																			5			dx,				т.е.					m 2, n 3, p										5		. Отсюда
																																																							3
																																																																													3
		m 1		p								2 1										5		2								целое															число.													Имеем									случай				3).			Применяем
		n													3							3
	подстановку
		x 3 1 t 3 ,											x 3									1						, x (t 3								1) 13 , dx																					1		(t 3			1)				1	1 3t 2dt
																																																																		3
																		t 3 1
																																																					3
														4
	t 3 (t 3 1)
														3 dt.
	Тогда												dx									= (t 3 1)															2										1						5												4
																																					3 (1													)			3 t 2						(t 3			1)			3 dt
							х2 3			1 x3									5																											t	3	1
										2									1										5														4							1 t 3																							t 2
		= (t 3 1) 3 (1																						)					3 t 2 (t 3 1)														3 dt																	dt t 3dt dt															t C
																t 3 1																																				t 3																					2
	C							2 3x3												.
					2x3 (1 x3 )2

Упражнения.

1.			6	x				dx
	1			3
						x

3x

2.x(x 3x)dx.

dx

3. 3(2x 1)2 2x 1

		3						1			1
				(2x 1) 3							3(2x 1) 6
		2
	4.			x		x					3 x2
															dx.
								3
				x(1							x )

6 6

x5

Ответ.

66

x 6arctg6

x 2

x C.

5

Ответ. ln

x

C.

(6

1) 6

x

Ответ.

3ln

6

2x 1 1

C.

3 3

Ответ.

x2

66

x 6arctg6

x C.

2

									3																																																2														1												1								1
													x																																										1									1														1																		6
5.																											dx.																							Ответ. 6(						x 3											x				2										x				3			x					6		ln				x 1							C.
			3			x2														x																																		4										3														2
									dx																																																									x
6.																							.																														Ответ. 4(																		4									x ln(1 4																		x)) C.
														4
						x											x																																															2
7.									x							dx.																																					Ответ.
									3
			1										x
																																				6 6												6						6 x 1
																																												5					6		7
	66 x														2 x																											x								x			3ln									C.
																																				5												7						6 x 1
8.														dx																									.														Ответ:					1		arcsin(2x 2) C.
																																																									2
					4x2 8x 3
									dx																																																	2x2 1
9.																										.																											Ответ:																								x			2		1 C.
																																																																	3
			x	4								x2 1																																																3x
10.													dx																					.																			Ответ: 2arctg																							2												4 2x x2																	C.
																																																																																									x
					4 2x x2
11.																							dx																								.						Ответ: ln														3 4x x2																										x 3												C.
			(x 2) 3 4x x2																																																																3 4x x2 x 3
12.																	dx																																									x 1
																																											.										Ответ:																				x 2					2x 1
																																																													2
			(x 1)																	x2 x 1
	ln						2 x 2 x2 x 1																																										C.
																														x 1
13.
					x2 2x 1dx.																																																Ответ: ln													x 1																				x 2 2x 1															C.
14.									dx																					.																							Ответ:					(2x2 1)																						1 x2											C.
																																																										3
			x	4							1 x2																																																												3x
15.							dx												.																																		Ответ:					1			ln					(								x3				1 1)													2				C.
																																																									3																										3
			x						x3 1																																																																						x
																																																										1													4												3
16. 3
					x							5x3										x 3dx.																															Ответ:											(5x 3 3) 2 C.
																																																									10

§9. Интегрирование тригонометрических выражений.

При вычислении интегралов вида R(sin x, cos x)dx применяются следующие подстановки.

x

1. Универсальная тригонометрическая подстановка t = tg 2 .

2tg

x

1

tg 2

x

2t

1 t2

sin x

2

,

cos x

2

,

2 x

t 2

1 t2

1 tg

1

1

tg

2

x

2

2

2dt

dx 2arctg t

dt

1 t2

Пример 9.1 Вычислить интеграл sindxx .

Решение. Применяем универсальную подстановку В результате приходим к

2

dt

интегралу

dx

1 t2

1

dt ln

t

C ln

tg

x

C.

sin x

2t

t

2

1 t 2

Пример 9.2. Вычислить интеграл

dx

.

4sin x 3cos x 5

Решение. Применяем универсальную подстановку:

dx

3cos x

4sin x

5

1

2dt

dt

1

x

1

C

t tg

C

2t

1 t 2

1 t 2

(2 t) 2

t 2

2

x

4

3

5

tg

2

1 t 2

1 t 2

2

2. Подстановка t сosx (t sin x).

Если функция R(sinx, cosx) является нечетной относительно синуса, т.е. R(- sinx, cosx) = -R(sinx, cosx), то при вычислении интегралов R(sin x, cos x)dx

применяется подстановка t сosx . Если функция R(sinx, cosx) является нечетной относительно косинуса, т.е. выполняется условие R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx), то применяют подстановку t sin x .

Пример 9.3. Найти интеграл cos 2 x sin3 xdx.