Механика грунтов

Лекция 6. Определение напряжений в массиве грунта

При определении напряжений в массиве грунта используются законы механики для упругого сплошного тела. Насколько грунты удовлетворяют данным требованиям?

1. Доказательство применимости теории упругости к грунтам (постулаты теории упругости)

1. Деформации пропорциональны напряжениям
О	Р	На отрезке ОА	Р
		практически
А		линейная зави-	S
		симость для
		грунтов (при	Штамп
		малых измене-

S

2. Теория упругости рассматривает упругие тела

Sост

Sупр

S

РВ грунтах наблюдаются большие

остаточные деформации Sост. Но для строителей существенно одноразовое загружение основания, т. е. здесь условие упругости применимо (а в общем случае нет).

3. Теория упругости рассматривает сплошные тела

Структура

грунта при передаче давления.

ср

Впоре

σ≈ 0

В точках контакта частиц σ – огромно

(до 200 МПа)

В расчетах допускается

использовать ср – среднюю величину напряжений, действующих по определенной площадке. В этом случае можно говорить о «сплошности» грунтов.

4. Теория упругости рассматривает тела изотропные

(Будем считать с известными допущениями, что грунт изотропное тело).

41

Следовательно, в расчетах механики грунтов, с учетом отмеченных допущений, можно использовать теорию упругости.

2. Определение напряжений в массиве грунта от сосредоточен-

ной силы (задача Буссинеску 1885 г.)

Р

0

β R Полупростран- r M ство простилающееся вниз

М1

Z

Определить значения вертикальных напряжений

z и

касательных напряже-

ний; τzx; τzy в точке М, расположенной на площадке,

параллельной плоскости, ограничивающей массив.

Задачу решаем в 3 этапа:

1)	определяем	R – в радиальном направлении R (в т. М);
2)	определяем	R – в радиальном направлении (приложенном к
	площадке, параллельной плоскости, ограничивающей массив);
3)	определяем	z ; zx ; zy .
1 этап:

пусть под действием силы Р точка М переместилась в точку М1 S – перемещение т. М;

можно записать

	S A	cos	;	S	A	cos	,
		R		1		R dR
где cos 0	= 1 → Smax → R = 0;
cos 90	= 0 → Smin → R = ;

А – коэффициент пропорциональности.

42

Относительное перемещение точки:

eR

S1

S

cos

A

A

dR

dR

R dR

R

cos AR

AR

A dR

cos

A

.

dR

R2

RdR

R2

Согласно 1 постулата теории упругости между напряжениями и деформациями должна быть прямая зависимость, т. е.

cos

R BeR AB R2 ,

где В – коэффициент пропорциональности.

АВ → ?

R – определяется как в сопромате («метод сечений»: мысленно разрезают балку и оставшуюся часть уравновешивают).

Р

зз

dβ

R						r
σR									эп. σR
	dF
				Z
						П
						2
	PZ 0; Р						R cos dF
						0
				П

Здесь поступаем так же. Рассматриваем полушаровое сечение и заменяем отброшенное пространство напряжениями σR. Рассмотрим изменение β в пределах dβ. Составим уравнение равновесия на ось Z:

0; dF 2 rd R 2 R sin Rd ;

	2		соs	2	sin d P 2 АВ						cos3						2			P	2 АВ	1	0.
P 2 AB
											3						0					3
0
Отсюда			АВ			3P	, тогда		3			Р cos							.
						2		R	2						R2

43

2 этап:

Р

из геометрических соотношений:

Y

R F

R F1 ;

X

β

F

R F

R

Z

R

R

R cos

R

М

F1

F

cos

3

Р

сos2

;

ZX

R

F

R

2

R2

ZX

1

Z

β

F1

cos

Z

3

P

Z 2

;

R

R

2

R4

3 этап:

cos

R ; Z

Z

;

3

P

Z 3

Z

R

R R

Z

2

R5

cos

R ; X

X

;

3

P

Z 2 X

ZX

R

R R

ZX

2

R5

cos

R ;Y

Y

;

3

P

Z 2Y

ZY

R

R R

ZY

2

R5

r

2

Зная, что

R

Z 2

r2

Z

1

,

подставим и

получим

Z

3

P

3 P Z

;

3

K ;

K

P

;

Z

Z

5

5

2

Z

Z 2

2

2

Z

r

2

r

2

2

Z 5

1

2

1

Z

Z

P Y

P X

K

f

r

– определяется по таблице

K

Y

;

K

P X

.

ZY

ZX

ZY

3

ZX

3

Z

3

Z

3

Z

Z

Z

44

Определение напряжений	Z	в массиве грунта от действия

нескольких сосредоточенных сил (принцип Сен-Венана – принцип не-

зависимости действия сил)

					Р1		P2		P3
	Р1	Р2	Р3	Z ( M )	K1 Z 2		K2 Z 2	K3 Z 2
					1		n		r
							Ki Pi	K = f
Z	r1			Z M	Z	2			Z
		r2					i 1
		r3
М

Определение напряжений	Z	при действии любой

распределенной нагрузки (метод элементарного суммирования)

Pi = qifi

Pi

Z R

M r

элемент

Задачу решаем приближенно. Разбиваем площадь на ряд простых многоугольников.

Рассмотрим ri	элемент
	Ki	Рi
zi		Z 2

Pi – нагрузка на данный элемент

	n		Pi
		Ki
zi	i 1		Z 2

Мr

r Ki f Z

элементов.

. Эта задача трудоемкая, особенно при большом числе

45

Достоинство:		Недостатки:
1 – способ универсален	1	– точность зависит от табличных данных;
	2	– значительная трудоемкость

Определение Z – под центром прямоугольной площадки загружения при равномерной нагрузке

Р		Z – можно определить в интеграль-
		ной форме;

Z

M

В

L

Z

Z = Pzi dy dx – при разворачивании

Z

этого интеграла получается очень громоздкая формула, поэтому ее приводят к элементарному (простейшему) виду:

				l	;	2Z
		P	, где α = f
	z			В		В

α – в табл. СНиП, справочниках, учебниках.

Определение напряжений

Z

– по методу угловых точек

(в любой точке под нагрузкой и на любой глубине)

Достраиваем площадь так, чтобы

М

точка М была в центре,

тогда вид-

В

но, что

В1

L

L

Z

1

Р

, но

f

;

,

Z

L1

4

В В

а не 2Z, т. к. В1 = 2В.

Разбив площадь подобным

образом, можно записать

М

1

4 P ,

1

2

Z

1

2

3

4

4

3

46

1		где Р – интенсивность давления
			1				4 P
2		Z	4	1	2	3
4	М	Так мы сможем решить любую
		задачу по определению σZ – на
		любом расстоянии и на любой
3		глубине.

Данный способ находит применение при учете взаимного влияния фундаментов.

Определение напряжений в массиве грунта при плоской задаче

(задача Фламана)

	Плоская задача – по направ-
В	лению оси Х – деформации = 0.
	Y
X	Z

В

Р

			В	Z – определяется интерполяцией

0,5Р

6В

0,25Р

изобары

0,1Р

горизонтальные сечения, в результате можно найти такую систему точек, в

которых	Z	равны – соединив их – получим линии равных напряжений

(изобары).

47

Аналогичная картина при разрезе луковицы, поэтому часто линии равных напряжений (изобары) называют «луковицей напряжений».

В

Р

0,3Р

0,2Р

0,1Р

Определим σy – линии равных

Угоризонтальных напряжений «изохоры» (распоры).

1,5В

y

Z

«Изохоры»
							Сла-
							бый

Усиление основания –

хороший грунт

α ≈ 60

Распоры σy определяют ширину песчаной подушки (искусст-

венное усиление оснований).

Линии равных напряжений касательных напряжений (сдвиги)

	В
Р	У

2В

Z	0,3Р
Области	0,2Р
пластических	0,1Р
деформаций

48

	Для расчета осадок фундамен-
В	тов	необходимо знать эпюру
У	Z	– по вертикальным сечени-
	ям массива грунта.
при У=В
при У=В/2
при У=0

Z

В

Влияние подстилающего слоя грунта

Р

Еi – модуль деформации грунта

Е1	Е1>Е2	Е1<<Е2
Е2		Е1 = Е2

49

Лекция 7. Распределение напряжений на подошве фундамента

(контактная задача)

Этот вопрос имеет особое значение для гибких фундаментов, рассчитываемых на изгиб.

N

Рконт

Если известно Рконт, то, загружая этой величиной фундамент, можно легко опреде-

лять усилия в конструкции тела фундамента. Из курса сопротивления материалов из-

вестно, что напряжения для сжатых конструкций определяются по обобщенной формуле:

прямолинейная эпюра

max,min =	N		M	, но здесь не
	F		W

учитывается работа сжимаемого основания.

Теоретические исследования по этому

вопросу

провел

Буссинеcку для жесткого круглого штампа:

P

Рср

P

;

2

1

2

r

r

при

= r Р =

;

теоретическая

эпюра

при

= 0

Р

= 0,5Р

ср.

Фактически грунт под подошвой

практическая эпюра фундамента, разрушаясь, приво-

дит к перераспределению напряжений, возникает практическая эпюра.

			Р = f(Г)
		Е	l3
Г	10	о		– гибкость фундамен-
		E	h 3
		1	1

та;

50