Chast_2_4_l_13-14

148

156-8. Докажите, что скорость переноса энергии в отраженной плоской волне равна v cez .

Лекция 14

32. Монохроматическая плоская волна

Важный частный случай плоских электромагнитных волн представляют волны, в которых проекции поля являются синусоидальными функциями времени:

B z,t ex Bx z,t ey By z,t , E z,t ex Ex z,t ey Ey z,t ,

где, например:

Bx z,t Bxm z sin t вх z .

Аналогично записываются выражения для By z,t , Ex z,t и Ey z, t .

Введем комплексные амплитуды:

Bx m z sin t вх z Bx m z e j в х z Bx z , By m z sin t в y z By m z e j в y z By z ,

B z,t eх Bx z ey By z B z ,

где j 1 - мнимая единица.

Аналогично для поля E z,t .

Уравнения поля в комплексной форме записи:

rot B j E , c2

rot E j B ,

div B 0 ,

div E 0.

149

Возьмем ротор от левой и правой частей первого уравнения и учтем второе уравнение:

rot rot B j j B . c2

Или:

B grad div B 2 B . c2

Так как div B 0 и B зависит только от z, то

d 2

2

B

B .

dz2

c2

Или для проекций Bx и By :

d 2 B

x

2

B

,

dz2

c2

x

d 2 By

2

B

.

dz2

c2

y

Это обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

		2			2
					c2		.
Его корни:
	j		,			2	j .
	1	c					c
Общее решение для Bx :
	z C e j
B				c z C e j				c z .
x		1					2

Первое слагаемое представляет собой комплексную амплитуду падающей волны, а второе – комплексную амплитуду отраженной волны.

Будем рассматривать только падающую волну. Комплексную постоянную

C1 запишем в виде

150

	C B				e j вх .
	1		x m
Тогда
B	z,t B	xm	sin	t		z		.
x						c		вх
Аналогично можно найти By z,t для падающей волны:
By					t
	z,t By m sin					c	z ву .

Для отыскания поля E используем выражение (2.175). Запишем его в комплексной форме:

E c ez B .

Или:

ex Ex ey Ey c ez ex Bx ey By .

Отсюда

Ex cBy , Ey cBx .

Такие же соотношения будут иметь место и для мгновенных значений.

Поэтому:

Ex z,t cBy m sin t			c	z ву ,
	t
Ey z,t cBx m sin			c		z вх .

Как следует из предыдущего, для комплекса B падающей волны можно записать выражение:

B z e j c z ex Bxme j вх ey Byme j ву .	(2.178)

Обозначим постоянный комплекс, стоящий в фигурных скобках, через B0 .

Квадрат вектора с комплексными компонентами B0 есть комплексное число:

151

B02 B02 e j2 .

Здесь B02 – вещественное положительное число, 2 аргумент комплексного

числа

2 .

B

0

Введем вектор b с комплексными компонентами следующим равенством:

j

.

(2.179)

b

В0e

Квадрат этого вектора равен:

e j2 e j2

2

2

2

,

b

B

B

0

0

т.е. является вещественным числом. Представим b в виде:

b

b1 jb2 ,

где b1 и b2 – два вещественных вектора.

Найдем

2 с учетом последнего выражения для

:

b

b

2

b1 jb2 2 b2

b2

b

2 jb1b2 .

1

2

2 – вещественное число, то

0

Отсюда, так как

b

b

b

, т.е. векторы b

и

b

1

2

1

2

взаимно перпендикулярны.

Выберем новую ось х в направлении вектора b1 ,

а новую ось y

–

в

направлении вектора b2 , если b1 , b2

и ez (направление оси z не меняем)

составляют правую тройку векторов, и против вектора b2 в противном случае.

Имеем (если подставить в (2.178) вместо

B0

его выражение через

b ,

взятое из (2.179)):

j

j

z

z

B

e

c

b1 jb2 e j e

c

b1ex jb2ey ,

B

x

z,t b sin t z

,

1

c

(2.180)

t

z

By z,t b2 cos

.

c

152

Здесь b1 , b2 положительные числа (модули векторов b1 и b2 ). Знак «+»

берется, когда вектор b2 совпадает с ey новой (также правой) системы координат и знак «–», когда вектор b2 противоположен орту ey .

Из (2.180) легко получаем

Bx2 B2y 1.

b12 b22

Таким образом, мы видим, что в каждой точке пространства вектор магнитного поля вращается в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, причем его конец описывает эллипс.

Фазовая скорость распространения волны (см. (2.180)) определяется из условия

t z const .

c

Дифференцируя это выражение

по

времени

и

обозначая

dz

v (фазовая

dt

скорость), получим v = c.

Длиной волны

называется

расстояние

вдоль

z ,

на котором фаза

колебания изменяется на 2 (при фиксированном t ). Имеем из (2.180):

2 ,

2 c

c

,

f

c

где f - частота поля в герцах.

Путем введения новой системы координат

b1 , b2 , ez

удалось получить

стандартные выражения для компонент поля B (2.180).

Теперь рассмотрим различные соотношения между b1 и b2 , а так же

различные соотношения между направлениями b2 и ey

(новой системы

координат).

Пусть b1 b2 , и ey

совпадает по направлению с

b2 .

Тогда выражения

(2.180) примут вид

B

x

z,t b

sin

t z

,

1

c

153

B	y	z,t b	cos		t z	.
		1			c

Зафиксируем момент времени t , равный t1 . Тогда:

Bx z,t1 b1 sin c z ,

By z,t1 b1 cos c z .

Зарисуем распределение магнитного поля при t t1 (рис.2.82):

Рис. 2.82. График зависимости индукции B от z при фиксированном времени плоской монохроматической волны правой круговой поляризации

Видим, что конец вектора B z,t1 описывает правую винтовую линию.

	Теперь зафиксируем z z	, из условия	z	0	, т.е. z		c	. Тогда
	1		c 1		1

Bx z1 ,t b1 sin t ,

By z1 ,t b1 cos t .

Если смотреть из конца оси z, то будет наблюдаться следующая картина

(рис. 2.83):

Рис. 2.83. График зависимости индукции B от t при фиксированном z

плоской монохроматической волны правой круговой поляризации

т.е. конец вектора B z1 ,t будет вращаться по окружности радиуса b1 с угловой скоростью по часовой стрелке (если смотреть из конца оси z ).

154

Такая волна ( b1 b2 и ey совпадает по направлению с

b2 ) называется

волной правой круговой поляризации.

Пусть теперь b2 b1 и ey и

b2

противоположны по направлению. Тогда

аналогично можно легко получить, что при фиксированном t конец вектора

B

будет описывать левую винтовую линию,

а при фиксированном z вектор

B

будет вращаться по окружности радиуса b1

против часовой стрелки с угловой

скоростью . Такая волна называется волной левой круговой поляризации.

Если b2 b1 ( b1 0 и b2

0) и ey

и b2

совпадают по направлению, то такая

волна называется волной правой эллиптической поляризации.

Если b2 b1 ( b1 0

и b2 0) и ey

и b2

противоположны по направлению,

то такая волна называется волной левой эллиптической поляризации.

Наконец, рассмотрим случай,

когда

b1

или b2 равно нулю. Пусть,

например, b2 0 . Тогда из (2.180):

B

x

z,t

b

sin

t z

,

1

c

By z,t 0 .

Так как Ex cBy ,

Ey cBx , то для этой волны

Ex z,t 0 ,

E

y

z,t

cb sin

t z .

1

c

При t t

:

1

B

x

z ,t

b

sin z ,

1

1

c

By z1 ,t 0 ,

Ex z,t1 0 ,

Ey z,t1 cb1 sin c z .

Зарисуем эти распределения (рис. 2.84):

155

Рис. 2.84. Графики зависимости B и E от z при фиксированном времени плоской монохроматической волны линейной поляризации

Если зафиксировать z z1 c , то:

Bx z1 ,t b1 sin t , By z1 ,t 0 , Ex z,t1 0 ,

Ey z,t1 cb1 sin t .

Графически это выглядит так (если смотреть из конца оси z ) (рис. 2.85):

Рис. 2.85. График зависимости индукции B от t при фиксированном z

плоской монохроматической волны линейной поляризации

Мы видим, что при фиксированном z конец вектора В перемещается по

прямой линии (совпадающей с осью x ), а конец вектора E так же перемещается

по прямой линии (совпадающей с осью y ). Поэтому такая волна называется

волной линейной поляризации. Говорят, что волна поляризована вдоль оси y

(вдоль этой оси перемещается конец вектора E при фиксированном z ).

Рассмотрим волну эллиптической поляризации (в частном случае круговой поляризации). Для определенности предположим, что ey и b2 совпадают по

направлению.

B	x	z,t b	sin		t z		,
		1			c

156

B

y

z,t

b

cos

t z

,

2

c

E

x

z,t cB

y

z,t cb cos

t

z

,

2

c

E

y

z,t cB

x

z,t cb

sin

t z

.

1

c

Рассмотрим теперь две волны линейной поляризации. Первая волна:

B	x	z,t b	sin		t z		,
		1			c

By z,t 0 ,

Ex z,t cBy z,t 0 ,

E

y

z,t cB

хx

z,t cb sin

t z

.

1

c

Вторая волна:

Bx z,t 0 ,

B

y

z,t

b

cos t z ,

2

c

E

x

z,t cB

y

z,t cb cos

t

z

,

2

c

Ey z,t cBx z,t 0.

Мы видим, что исходная волна эллиптической поляризации является суперпозицией двух волн линейной поляризации.

Покажем также, что любая линейно поляризованная волна представляет собой суперпозицию двух волн круговой поляризации.

Пусть имеется линейно поляризованная волна:

B	x	z,t b	sin		t z		,
		1			c

By z,t 0 ,

Ex z,t 0 ,

								157
E	y	z,t cB	x	z,t cb	sin		t z	.
				1			c

Рассмотрим теперь две волны круговой поляризации. Волна правой

круговой поляризации:

	*	z,t		b
	Bx			1		sin t			z	,
			2					c
	*	z,t	b
	By			1	cos		t		z	,
			2					c

*

z,t c

b

Ex

1

cos t

z ,

2

c

*

b

E y z,t c

1

sin

t

z

.

2

c

Волна левой круговой поляризации:

**

b

Bx z,t

1

sin

t

z

,

2

c

**

z,t

b

By

1

cos

t

z

,

2

c

**

z,t c

b

Ex

1

cos t

z

,

c

2

**

z,t c

b

E y

1

sin t

z .

c

2

Мы видим, что исходная волна линейной поляризации является

z,t

* z,t

** z,t ,

суперпозицией двух волн круговой поляризации, т.е.

B

B

B

и

z,t

* z,t

** z,t .

E

E

E

Вопросы и задачи к лекции 14

157-1. Комплексная амплитуда индукции магнитного поля плоской падающей волны имеет выражение: