Chast_1_l_1_2
.pdfРис. 1.22. Сферическая система координат
grad |
e |
|
1 |
|
|
e |
|
1 |
|
|
e |
|
r |
r sin |
|||||||||||
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
Ar |
|
|
|
|
|
|
|
A sin r |
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
divA |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
r |
2 |
sin |
r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A |
sin |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
rotA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
er |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
r sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 A |
|
|
|
|
rA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 rA |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
r2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Площадь, как вектор. Циркуляция dl . Поток dS
l |
S |
21
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
Пусть имеется треугольник. Образуем вектор a . Модуль этого вектора – основание треугольника. Соединим вершину треугольника противоположную основанию с любой точкой взятой на основании. Тем самым образован вектор b (рис. 1.23).
Рис. 1.23. К выводу выражения для площади треугольника, равной половине векторного произведения
Имеем:
22
|
|
|
|
|
|
|
|
ab sin ab |
|
|
h |
|
|
a h 2S . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ab |
|
|
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
1 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
b |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вектор S направлен «к нам» (рис. 1.23). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Циркуляция dl (рис. 1.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.24. К доказательству выражения dl 0
l
n
dl li .
l i 1
(1.25)
(1.26)
Сумма – есть вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора
(точка А), а конец которого совпадает с концом последнего вектора (точка В).
n
Так как точки А и В совпадают, то li 0 . Следовательно, справедливо
i 1
выражение (1.26).
Поток dS .
S
Покажем, что
|
|
|
|
|
dS 0 |
. |
(1.27) |
||
S |
|
|
|
|
23
С помощью трубки, параллельной оси x , выделим на замкнутой поверхности S две площадки S1 и S 2 (рис 1.25). Спроектируем эти площадки на ось x .
Рис. 1.25. К доказательству выражения dS 0
S
S1x S2x S S 0,
где S – площадь сечения трубки. Так как всю замкнутую поверхность S
можно представить как совокупность таких пар, то получаем
|
|
|
|
|
|
dSх 0 . |
|
|
|
||||
|
|
dS |
||||
|
|
S |
|
|
x |
S |
Аналогично |
dS y 0 и |
|
dSz 0 . Из этих трех равенств следует (1.27). |
|||
S |
|
|
S |
|
|
|
9. Тождества векторного анализа |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тождество |
div |
E |
H |
|
HrotE ErotH |
. |
(1.28) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим справедливость этого тождества.
Левая часть:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
ey |
|
ez |
|
||||
|
|
div |
|
|
|
|
div |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E |
H |
E |
x |
E |
y |
|
E |
z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H x |
H y |
H z |
|
|||||
|
|
Ey H z Ez H y |
|
|
|
Ez H x Ex H z |
|
|
|
Ex H y Ey H x |
||||||||
x |
y |
|
z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
H |
|
|
Ey |
E |
|
|
|
H |
z |
H |
E |
z |
|
E |
|
|
|
H y |
|
H |
|
|
E |
z |
|
E |
|
H |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z x |
|
x y |
z y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
H |
|
|
E |
x |
E |
|
|
|
|
H |
z |
H |
E |
x |
E |
|
|
|
H ó |
|
H |
|
|
Ey |
E |
|
H |
x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
õ z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правая часть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
ey |
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
ey |
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
HrotE ErotH H |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
|
|
Ey |
|
|
|
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
H x |
H y |
|
|
H z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Ey |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
E |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
|
E |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
H x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
H y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
H z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
H y |
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
z |
|
|
|
|
|
|
|
H y |
|
|
H |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ex |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Легко видеть, что левая и правая части совпадают.
Тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
div |
|
|
|
grad divu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.29) |
||||||||||||||||||||||
u |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Проверим справедливость этого тождества. Имеем: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
div |
|
div u |
|
e |
u |
|
|
|
e |
|
u |
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
u |
x |
y |
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ux |
|
|
|
u |
y |
|
|
|
uz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
|
u |
x |
u |
|
|
|
|
uy |
|
|
u |
|
|
|
u |
z |
|||||||||||||||||||||||
x x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||||||
ux |
|
uy |
|
uz |
|
|
|
u |
x |
|
uy |
|
u |
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
u grad divu
что и требовалось доказать.
Тождество |
rot rot |
|
|
|
grad div |
|
|
|
A |
A |
A |
(1.30) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим справедливость этого тождества.
Левая часть:
25
rot rot A rot
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Ay |
||
|
z |
|
|
|
|
|
z |
||
|
y |
|
ex |
|
|
ey |
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
Ax |
|
|
Ay |
|
Az |
|
|
|
ey |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Ax Az
z x
|
A |
Ay |
|
A |
A |
Ay |
|
A |
|
|
||||
rot |
z |
|
ex |
x |
z |
ey |
|
|
x |
ez |
|
|||
z |
|
x |
|
|||||||||||
|
y |
|
|
z |
x |
|
|
y |
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ay |
|
A |
|
|
A |
A |
|
|||||
|
|
|
ex |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
z |
|
|
|
z |
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
y |
|
y |
|
z |
z |
x |
|
||||||
Ay |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ay |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Ay |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ey |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 Ay |
|
2 A |
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
2 Ay |
|
|
|
2 Ay |
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z y |
|
|
z2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
z x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
A |
|
|
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
A |
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x z |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Правая часть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Ay |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A grad div A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
ex Ax ey Ay ez Az |
|
|
|
|
2 |
|
|
ex Ax |
ey Ay ez Az |
|
2 |
|
|
ex Ax ey Ay ez Az |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
Ay |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
Ay |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
Ay |
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
2 Ay |
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
x z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Ay |
|
|
|
|
|
|
2 Ay |
|
|
|
|
|
2 Ay |
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
2 Ay |
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
y x |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
2 A |
2 A |
2 A |
|
2 A |
|
2 Ay |
|
2 A |
|
|
e |
|
|
z |
z |
z |
|
x |
|
|
|
z |
. |
|
z2 |
z x |
z y |
z2 |
||||||||||
|
z |
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что левая и правая части совпадают.
Первое тождество Грина
|
grad grad dV |
dS |
. |
(1.31) |
|||
|
V |
S |
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Здесь S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, n |
– единичная |
||||||
нормаль к S, направленная изнутри во внешность. |
|
|
|
|
|
||
Для доказательства этого тождества применим теорему Гаусса- |
|||||||
Остроградского (1.10) для векторного поля grad |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
div grad dV grad dS |
. |
(1.32) |
||||
|
V |
S |
|
|
|
|
|
Для преобразования левой части применим тождество (1.29) |
|
||||||
div grad dV grad grad div grad dV . |
|
||||||
V |
V |
|
|
|
|
|
Но div grad , поэтому левая часть (1.32):
div grad dV grad grad dV . |
(1.33) |
||||||||
V |
V |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, то |
||
Так как проекция grad на направление dS |
( dS n dS ) равна |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
правая часть (1.32): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS . |
|
|
|
|
|
grad dS |
|
|
|
(1.34) |
|||||
S |
|
|
S |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (1.32), (1.33) и (1.34) следует (1.31).
Вопросы и задачи к лекции 2
12-1. Что называется потоком векторного поля сквозь поверхность в выбранном направлении?
27
13-2. Как изменится величина потока, если изменить ориентацию поверхности?
14-3. Дайте определение дивергенции векторного поля.
15-4. Вывести выражение для дивергенции в декартовой системе координат.
16-5. Сформулируйте теорему Гаусса-Остроградского.
17-6. Что называется линейным интегралом векторного поля вдоль линии в выбранном направлении?
18-7. Дайте определение ротора векторного поля.
19-8. Вывести выражение для ротора в декартовой системе координат.
20-9. Сформулируйте теорему Стокса.
21-10. Запишите уравнения Лапласа и Пуассона в общем виде и в декартовой системе координат.
22-11. Докажите, что площадь треугольника S |
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
, где a - вектор |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
основания треугольника, а b |
вектор, опущенный с вершины треугольника, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
противоположной основанию a , на основание a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23-12. Докажите справедливость формул: |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
dl 0 |
|
dS 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Проверьте справедливость формулы: div |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
24-13. |
E |
|
H |
H |
rotE |
E rotH . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25-14. |
Проверьте справедливость формулы: div |
|
|
|
grad divu . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
u |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26-15. |
Проверить справедливость формулы: rot rot |
|
|
|
grad div |
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
A |
A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
декартовой системе координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27-16. |
Докажите справедливость первого тождества Грина |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
grad grad dV |
dS . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
V |
S |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|