Algebra_10kl_RU
.pdfРАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции
Аналогично можно обосновать, что во всех случаях тригонометрические
функции от аргументов вида kπ ä α и (2k + 1) π ± α (k Z) можно привести
2
к тригонометрическим функциям от аргумента α по такому алгоритму:
если к числу α прибавляется число kπ, k Z (то есть число, которое изображается на горизонтальном диаметре единичной окружно сти), то название заданной функции не меняется, а если прибавля
ется число (2k + 1) 2π (то есть число, которое изображается на вер
тикальном диаметре единичной окружности), то название задан ной функции меняется на соответствующее (синус на косинус, коси нус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).
Знак полученного выражения определяется знаком исходного вы ражения, если условно считать угол α острым. )
В таблице 19 приведены основные формулы приведения. Все другие случаи могут быть приведены к ним с помощью использования периодичности соот ветствующих тригонометрических функций.
Т а б л и ц а 19
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ α |
|
π |
− α |
|
|
|
3π |
+ α |
|
|
3π |
− α |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажем, что по формулам приведения cos(2π − α )= sin α, sin(2π − α )= cos α,
ctg(2π − α )= tg α, tg(2π − α )= ctg α. Если последние формулы записать справа на лево, то получим полезные соотношения, которые часто называют формулами
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
: |
|
дополнительных аргументов (аргументыα и |
− α |
дополняют друг друга до |
2 ) |
||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
( |
2 |
|
) |
|
|
|
( |
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
sin α = cos |
|
π |
− α |
, |
cos α = sin |
|
π |
− α |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
) |
|
( |
2 |
) |
tg α = ctg |
|
π |
− α , |
ctg α = tg |
|
π |
− α . |
|
|
|
|
Например, sin 60° = cos (90°–60°) = cos 30°; cos 89° = sin (90°–89°) = sin 1°.
92
§ 7. Формулы сложения и их следствия
Примеры решения задач
Задача 1 Вычислите с помощью формул приведения:
1) cos 210°; |
2) |
tg |
3π |
. |
|
||||
|
|
4 |
|
Ре ш е н и е
1)X cos 210° = cos(180° + 30°) =
= − cos 30° = − 3 ;Y
2
2) X tg 34π = tg(2π + 4π )= −ctg 4π = −1. Y
К о м м е н т а р и й
Представим заданные аргументы так, чтобы можно было применить формулы приведения (то есть выделим в аргументе такие части, которые изоб ражаются на горизонтальном или вер тикальном диаметре единичной ок ружности). Например, 210° = 180° + + 30°. Конечно, можно представить аргумент и так: 210° = 270° – 60° и так же применить формулы приведения.
Задача 2* |
Докажите тождество |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
cos(3π − α ) |
|
sin(2π + α ) |
− cos |
2 |
( |
3π |
− α)= cos 2α. |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
tg |
( |
π |
+ α |
) |
|
tg(π + α ) |
|
|
2 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К о м м е н т а р и й
Докажем, что левая часть тождества равна правой. Сначала используем формулы приведения, а потом упростим полученные выражения, применяя формулы: tg αæctg α = 1 и cos2 α – sin2 α = cos 2α. При упрощении выражений cos (3π – α) и tg (π + α) можно использовать как непосредственно формулы приведения, так и периодичность соответствующих функций. Например, учи тывая, что периодом функции cos x является 2π, получаем:
cos (3π – α) = cos (2π + π – α) = cos (π – α) = –cos α.
|
cos(3π − α ) |
|
sin( |
π |
+ α ) |
|||||
|
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
(2 |
|
) |
|
tg(π + α ) |
|||||
|
tg |
π |
+ α |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е
− cos2 (32π − α )= (− ctgα ) tgα |
− (− sinα ) = |
||
|
|
(− cos α ) cos α |
2 |
= − cos2 α − sin2 α = cos2 α − sin2 α = cos2α. Y
−1
Вопросы для контроля
1.Проиллюстрируйте на примерах применение формул приведения. Объяс ните полученный результат.
2*. Докажите несколько формул приведения.
93
РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. Вычислите с помощью формул приведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) sin 240°; |
|
|
2) tg 300°; |
) |
|
|
|
|
3) cos 330°; |
|
|
|
|
|
|
4) ctg 315°; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
4 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5) cos |
4π |
; |
|
|
|
|
|
|
6) sin |
|
− |
11π |
; |
|
|
|
|
7) tg |
7π |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8) ctg |
|
− |
3π |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Вычислите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1) cos 8° cos 37° – cos 82° cos 53°; |
|
|
2) sin 68° sin 38° – sin 52° cos 112°. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Упростите выражение: |
|
|
sin( |
3π |
− α )cos( |
π |
+ α ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(3π + α )sin( |
5π |
− α ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin(π + α )cos(π − α ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1°) |
|
|
|
ctg( |
3π |
− α ) |
|
|
|
; |
|
|
2°) |
|
|
|
|
tg(π − α ) |
|
; |
|
|
3°) |
|
|
|
sin(π − |
2α ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
tg( |
3π |
− α2)− cos(π − α) sin(3π + α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4) |
|
|
|
; 5 ) tg 1°ætg 2°ætg 3°æ...ætg 87°ætg 88°ætg 89°. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(cos(3,5π − α )+ sin(1,5π + α ))2 − 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Докажите тождество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1°) 2 sin (90° + α) sin (180° + α) = –sin 2α; |
2°) ctg 20°æctg 70° = 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin(π − 2α )− |
2sin |
( |
π − α |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
π |
+ α |
|
|
− cos2 |
|
|
α − |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
) |
( |
2 ) |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= −2 ctg α; |
4*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
sin2 2α. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
2 ) |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
cos |
|
|
π |
− α |
|
− sin2 |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 |
|
π |
+ α |
|
|
− ctg2 |
|
α − |
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4.ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ
Та б л и ц а 20
1.Формулы суммы и разности тригонометрических функций
sin α+ sin β= 2 sin α+ β cos α− β |
sin α− sin β= 2 sin |
α− β cos α+ β |
|||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
cos α+ cos β= 2 cos α+ β cos |
α− β |
cos α− cos β= −2 sin α+ β sin |
α− β |
||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
tg α + tg β = |
sin(α + β ) |
|
|
tg α− tg β= |
sin(α − β) |
|
|
cos α cos β |
|
cos αcos β |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
sinα sin β= 12 (cos(α−β)−cos(α+β)) cosα cos β= 12 (cos(α−β)+cos(α+β)) sinα cos β= 12 (sin(α−β)+sin(α+β))
94
§ 7. Формулы сложения и их следствия
|
Объяснение и обоснование |
|
|
1. Формулы суммы и разности тригонометрических функций. |
|
||
( По формулам сложения |
|
||
|
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y; |
|
|
|
sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y. |
|
|
|
Складывая почленно эти равенства, получаем |
|
|
|
sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y. |
(1) |
|
|
Если обозначить |
|
|
|
х + у = α, |
(2) |
|
|
х – у = β, |
(3) |
|
|
то, складывая и вычитая равенства (2) и (3), имеем: x = α + β , |
y = α − β . |
|
2 |
2 |
Тогда из равенства (1) получаем формулу преобразования суммы синусов в произведение:
sinα+ sinβ= 2 sin |
α+ βcos |
α− β . |
(4) |
|
2 |
2 |
|
Словесно ее можно сформулировать так:
Сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности.
Если заменить в формуле (4) β на (–β) и учесть нечетность синуса: sin (–β) = –sin β, то получим формулу:
sinα− sin β= 2 sin |
α− βcos |
α+ β |
. |
|
2 |
2 |
|
Разность синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих аргументов на косинус их полусуммы.
Аналогично, складывая почленно равенства |
|
|
|
|
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y, |
(5) |
|||
cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y, |
(6) |
|||
получаем |
|
|
|
|
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y, |
(7) |
|||
и, выполняя замены (2) и (3), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α+ cos β= 2 cos α + βcos |
α − β |
. |
|
|
2 |
2 |
|
|
Сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности.
Если вычесть почленно из равенства (5) равенство (6), то получим |
|
||||
|
cos(x + y)− cos(x − y) = −2 sinxsiny. |
(8) |
|||
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
cos α− cos β= −2 sin α + βsin |
α − β |
. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
95
РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции
Разность косинусов двух аргументов равна: минус двойное произведе ние синуса полусуммы этих аргументов на синус их полуразности.
Для обоснования формулы преобразования суммы (разности) тангенсов достаточно применить определение тангенса и формулы сложения:
tg α + tg β = |
sinα |
+ |
|
sinβ |
= |
sin α cosβ + cos α sinβ |
= |
sin(α + β) |
. |
|||
cos α |
cos β |
cos α cos β |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
cos α cosβ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
|
|
tg α+ tg β= |
sin (α+ β) |
. |
(9) |
||||||
|
|
|
|
cos αcosβ |
|
Если в формуле (9) заменить β на (–β) и учесть нечетность тангенса (tg (–β) = –tg β) и четность косинуса (cos (–β) = cos β), то получим
tg α − tg β = |
sin(α − β ) |
. |
(10) |
|
|||
|
cos α cosβ |
|
Отметим, что формулы (9) и (10) справедливы только тогда, когда cos α ≠ 0
иcos β ≠ 0. )
2.Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
( Укажем, что в процессе обоснования формул преобразования суммы и раз ности синусов и косинусов в произведение мы фактически получили и фор мулы преобразования произведений тригонометрических функций в сум му. Действительно, если разделить обе части равенства (1) на 2 и записать полученное равенство справа налево, то получим:
|
|
sin x cos y = 1 |
(sin(x − y) + sin(x + y)) |
. |
(11) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Аналогично из формулы (7) получим |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x cos y = 1 |
(cos(x − y) + cos(x + y)) |
, |
(12) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
а из формулы (8) (после деления на –2) формулу |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x sin y = 1 (cos(x − y) − cos(x + y)) |
. |
(13) |
||
|
2 |
|
|
|
|
Заменяя в формулах (11–13) значение x на α, а y на β, получаем запись этих формул, приведенную в таблице 20. )
Примеры решения задач
Задача 1 Преобразуйте заданную сумму или разность в произведение и, если возможно, упростите: 1) sin 75° + sin 15°; 2*) cos2 α – cos2 β.
К о м м е н т а р и й 1) В первом задании можно непосредственно применить формулу
sin α + sin β = 2 sin α + β cos α − β , а потом использовать табличные значения
2 2
sin 45° и cos 30°.
96
§7. Формулы сложения и их следствия
2)Во втором задании выражение cos2 α – cos2 β можно рассмотреть как раз ность квадратов и разложить его на множители, а затем к каждому из полученных выражений применить формулы преобразования разности или суммы косинусов в произведение. Для дальнейшего упрощения получен ного выражения используем формулу синуса двойного аргумента:
2 sin α + β cos α + β = sin(α + β ) і 2 sin α − β cos α − β = sin(α − β).
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
Р е ш е н и е |
|
1) Xsin75° + sin15° = 2sin |
75° + 15° |
cos |
75° − 15° |
= 2sin45°cos30° = 2 |
2 |
|
3 |
= |
6 |
. Y |
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) Xcos2 α − cos2 β = (cosα − cos β )(cosα + cos β)= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= −2 sin α + β sin α − β 2 cos α + β cos α − β = − sin(α + β)sin(α − β). Y |
||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Преобразуйте в произведение sin α + cos β. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
К о м м е н т а р и й Мы умеем преобразовывать в произведение сумму синусов или косинусов.
Для перехода к таким выражениям достаточно вспомнить, что |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
cos β = sin( |
π |
− β)(или sin α = cos( |
π |
− α )). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
π |
Р е ш е н и е |
|
|
(2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
X sin α + cos β = sin α + sin( |
|
− β) |
|
|
|
α + π − β |
|
α − |
|
|
π |
− β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 2 sin |
cos |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 sin (α |
2− β + |
|
π |
)cos (α |
2+ β − |
π |
).Y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|||||||||||||
|
|
Упростите выражение |
(sin8α − sin2α )(cos2α − cos 8α ) |
. |
|||||||||||||||||||
Задача 3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos6α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К о м м е н т а р и й Для упрощения заданной дроби можно попытаться сократить ее: для этого
представим числитель и знаменатель в виде произведений, которые содержат одинаковые выражения. В числителе используем формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение (а также нечетность синуса:
sin (–3α) = –sin 3α), а в знаменателе воспользуемся формулой 1− cos x = 2 sin2 x .
2
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
X |
(sin8α − sin2α )(cos2α − cos8α ) |
= |
2sin3α cos5α (−2)sin5α sin(−3α ) |
= |
||
1 − cos6α |
|
2sin2 3α |
|
= 2 cos 5α sin 5α = sin 10α .Y
97
РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции
|
Докажите тождество 4 sin 70° − |
1 |
= −2. |
|
Задача 4* |
||||
sin 10° |
||||
|
|
|
К о м м е н т а р и й Докажем, что левая часть тождества равна правой. После приведения к об
щему знаменателю преобразуем произведение синусов в разность косинусов,
а потом учтем, что cos 60° = 1 , а cos 80° = sin 10° (поскольку 80° + 10° = 90°).
2
Р е ш е н и е
X 4 sin 70° −
Задача 5*
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
(cos 60° − cos 80° ) − 1 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
4 sin 70° sin 10° − |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||
= |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 10° |
|
|
|
|
|
|
||||
sin 10° |
sin 10° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
− 2 cos 80° − 1 |
−2 cos 80° |
|
−2 sin 10° |
|
|||||||
|
|
|
|
= |
= −2. Y |
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 10° |
|
sin 10° |
|
sin 10° |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажите, что если А, В, С — углы треугольника, то
sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C .
2 2 2
К о м м е н т а р и й
Если A, B, C — углы треугольника, то A + B + C = π. Тогда C = π – (A + B), и по формулам приведения sin (π – (A + B)) = sin (A + B). После преобразования суммы синусов sin A + sin Bв произведение замечаем, что аргумент (А + В) вдвое
больше, чем аргумент A + B . Это позволяет записать sin (A + B) по формуле
2
синуса двойного аргумента и в полученной сумме вынести за скобки 2 sin A + B ,
2
а затем в скобках преобразовать сумму косинусов в произведение. Далее сле
дует учесть, что |
A + B |
= |
π − C |
= |
π |
− |
C |
, и применить формулы приведения. |
|
|
2 |
|
|||||
2 |
2 |
|
2 |
|
Р е ш е н и е
X Учитывая, что для углов треугольника C = π – (A + B), получаем sin A + sin B + sin C = sin A + sin B + sin (π – (A + B)) =
= 2 sin |
|
A + B |
|
cos |
A − B |
+ sin( A + B) = 2 sin |
|
A + B |
|
cos |
A − B |
+ 2 sin |
A + B |
cos |
A + B |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
= 2 sin |
A + B |
(cos |
A − B |
+ cos |
A + B |
)= 2 sin |
π − C |
2 cos |
A |
cos |
B |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 sin ( |
π |
− |
C |
)cos |
A |
cos |
B |
= 4 cos |
C |
cos |
A |
cos |
B |
. Y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
98
§ 7. Формулы сложения и их следствия
Вопросы для контроля
1.Запишите формулы преобразования суммы и разности синусов или суммы и разности косинусов в произведение. Приведите примеры применения этих формул.
2*. Запишите формулы преобразования суммы и разности тангенсов. Приве дите примеры применения этих формул.
3*. Докажите формулы преобразования суммы и разности тригонометриче ских функций в произведение.
4. Приведите примеры применения формул:
sinxcosy = |
1 |
(sin(x − y)+ sin(x + y)); cosxcosy = |
1 |
(cos(x − y)+ cos(x + y)); |
||
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
||||
sinxsiny = |
1 |
|
(cos(x − y)− cos(x + y)). |
|
||
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
5*. Докажите формулы, приведенные в вопросе 4.
Упражнения
1.Преобразуйте сумму (или разность) тригонометрических функций в про изведение и упростите:
1°) cos 152° + cos 28°; |
2°) cos 48° – cos 12°; |
3) cos 20° – sin 20°; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
sin25 |
+ sin 15 |
; |
|
5*) sin2 α – sin2 β; |
6*) sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α; |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
sin25 |
− sin 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7*) cos α + cos 2α + cos 3α + cos 4α. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Докажите тождество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1°) |
sin 75 |
+ sin 15 |
= − |
3; |
2°) |
sin α + sinβ |
= tg |
α+β |
; |
3) |
cos6α − cos10α |
= 2 sin 2α; |
||
|
|
cos 75 − cos 15 |
|
|
cos α + cosβ |
2 |
|
|
sin8α |
|
|
sinα + sinβ |
|
|
cos α − β |
|
||||
4) |
|
= |
|
|
2 |
; |
||||
sinα cos β + cos α sin β |
cos |
α + β |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6*) |
|
sinα − cos β |
= tg(α − β − |
π |
); |
|
||||
|
cos α − sin β |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
3. Преобразуйте в сумму:
5)
7*)
(sin2α + sin6α )(cos2α − cos6α ) |
= sin4α; |
||
|
|
||
|
1 − cos 8α |
|
|
|
sin α + sin3α + sin5α + sin7α |
= ctg2α. |
|
|
cos α − cos 3α + cos5α − cos7α |
||
|
|
|
1) cos 45° cos 15°; 2) sin |
π |
cos |
5π |
; |
3) sin 20° sin 10°; 4) |
cos |
π |
cos π . |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
24 |
|
24 |
|
|
|
|
|
10 |
5 |
|||
4. Вычислите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) 2 cos 20°æcos 40° – cos 20°; |
|
|
2*) 4 sin 10°æsin 50°æsin 70°. |
|
|||||||||
5*) Докажите, что при α + β + γ = π выполняется равенство: |
|
|
|
||||||||||
1) |
sin α − sin β + sinγ = 4 sin α cos β sin |
γ |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
cosα + cosβ + cosγ = 1+ 4 sin α sin β sin |
γ |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
99
§8 |
ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ |
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |
Т а б л и ц а 21
1. Построение графиков функции вида y = f (x) + g (x)
Если нам известны графики функций y = f (x) и y = g (x), то эскиз графика функции y = f (x) + g (x) можно построить так: изобразить в од# ной системе координат графики функций f (x) и g (x), а потом постро# ить искомый график по точкам, выполняя для каждого значения х (из области определения функции f (x) + g (x)) необходимые операции с от# резками, изображающими соответствующие ординаты f (x) и g (x).
Аналогично можно построить и схематические графики функций
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x)æg (x) и y = |
1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
Комментарий |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
Постройте график функции |
Построим в одной системе коор |
||||||||||||||
|
|
|
y = x2 + |
1 |
. |
|
|
|
динат графики функций слагае |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
мых: y = x2 и y = |
1 |
(на рисунке они |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показаны штриховыми линиями). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для каждого значения х (кроме |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = 0, которое не принадлежит об |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ласти определения заданной функ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции) справа от оси Оy прибавляем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующие отрезки — значе |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния функций f (x) и g (x) (обе функ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции имеют одинаковые знаки), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слева от оси Оу — вычитаем (функ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции имеют противоположные зна |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки). На рисунке синей линией изоб |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ражен график функции y = x2 + |
1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100
§8. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными
Пр о д о л ж. т а б л. 21
2.Графики уравнений и неравенств с двумя переменными
Оп р е д е л е н и е. Графиком уравнения (неравенства) с двумя перемен
ными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответ ствующего уравнения.
Графики некоторых уравнений и неравенств
3. Геометрические преобразования графика уравнения F (x; y) = 0
Преобразование |
Пример |
F (x – a; y – b) = 0
Параллельный перенос графика уравнения F (x; y) = 0
на вектор n(a; b).
101