Копытин Задачи по Км 3

Учитывая, что

4jV12j2 + [ ( + V22 V11)]2 = 4jV12j2 + 2 2 ( + V22 V11)+

+ ( + V22 V12)2 = 4jV12j2 + ( + V22 V12)2 +

{z

}

22

11

+ 2 ( +|V22 V11)

2

2

= 2 [ ( + V

V )];

имеем:

1=

c2 = ( +2 22

11

:

V V

)

2

Коэффициент c1 вычисляется из (2.43).

Проанализируем полученные результаты при различных предельных соотношениях между диагональными и недиагональными матрич-

	^
ными элементами оператора V . Рассмотрим следующие случаи.
à) Большие диагональные матричные элементы:
jV11j; jV22 j jV12j;	jV12j j + V22 V11j 12:	(2.44)

Раскладывая корни в (2.42) и выражении для по степеням V12= 12 (проделать самостоятельно!), получаем предельные выражения для энергий стационарных состояний при наличии вырождения и правильные функции нулевого приближения:

E+ E2 + V22;	E E1 + V11;
+ 2;		V12		1:
		jV12j

Функции и 1 отличаются фазовым множителем и поэтому физически эквивалентны. В состоянии с энергией E+ доминирует 2, а с энергией E 1. Такие же результаты дает и теория возмущений для невырожденных уровней в первом порядке. Действительно, (2.44) является частным случаем условия применимости ТВ для невырожденных уровней (2.9).

á) Большие недиагональные матричные элементы:

	jV12j jV11j; jV22j;	jV12j 12:
Раскладывая корни по степеням 12=V12, получаем:
E = 2 (E1 + E2) jV12j;		= p2	2 jV12j 1
1		1	V12

Можно видеть, что > , т.е. сильно недиагональное возмущение приводит к раздвиганию близких уровней. jc1 j2 = jc2 j2 = 12 , поэтому

31

невозмущенные состояния вносят одинаковый вклад в формированиевозмущенных уровней.

Из анализа предельных случаев можно сделать вывод о том, что теорией возмущения для близких уровней нужно пользоваться в том случае, если в матрице оператора возмущения недиагональные элементы доминируют над диагональными и по величине существенно превышают межуровневые расстояния.

Пример 2.6. Эффект Штарка в атоме водорода. Определить

расщепление первого возбужденного энергетического уровня водородоподобного иона в однородном электрическом поле напряженности E. Заряд ядра Z, масса электрона e.

Решение.

1 способ.

Уровень водородоподобного иона с главным квантовым числом n вырожден с кратностью n2. Поэтому первому возбужденному уровню (n = 2) соответствуют 4 состояния:

200 (r) = R20(r)Y0 0( ; ') 1(r);
210 (r) = R21(r)Y1 0( ; ') 2(r);	(2.45)
211 (r) = R21(r)Y1 1( ; ') 3(r);

21 1(r) = R21(r)Y1 1( ; ') 4(r):

Первое является 2s-состоянием, остальные 2p.

Взаимодействие электрона с внешним однородным электрическим полем будем рассматривать в качестве возмущения:

^	(2.46)
V = eEz

(ось Oz направлена вдоль E ; предполагается e < 0).

Пользуясь результатами примера 3.10 ч.2, вычисляем матричные элементы оператора (2.46) с функциями (2.45) и получаем секулярное

уравнение:
		3a0e	=Z	E	(0)		E		0				0
	E2(0)		E	3a0eE=Z					0				0
		E			2			(0)								= 0;	(2.47)
		0			0						E		0
								E2
		0			0				0			(0)
												E2			E

ãäå E2(0) = 18 Z2Ea энергия первого возбужденного состояния в отсутствие возмущения. Раскрывая в (2.47) определитель, получаем урав-

32

нение 4-го порядка относительно E:

(E2(0) E)2[(E2(0) E)2 9a20e2E2] = 0:

Его решения E1;2 = E2(0) 3a0eE=Z; E3;4 = E2(0). Таким образом, вырождение снимается частично.

2 способ.

В водородоподобном ионе вырождение по магнитному квантовому числу m обусловлено тем, что L2 è Lz являются интегралами движения, случайное вырождение по орбитальному квантовому числу l объясняется спецификой кулоновского потенциала.

При наложении возмущения (2.46) L2 перестает быть интегралом движения, а величина Lz по-прежнему сохраняется по причине осевой

симметрии ^ . Поэтому секулярное уравнение можно упростить, сделав

V

его зависящим от m как от параметра.

При заданных m и n орбитальное квантовое число l принимает значения jmj; jmj + 1; : : : ; n 1. В нашем случае n = 2, т.е. l = jmj; jmj + 1; : : : 1.

Рассмотрим случай m = 1. Единственным допустимым значением квантового числа l является 1, т.е. имеется всего один p-подуровень с m = 1, и можно пользоваться теорией возмущений для невырожденных состояний. Поскольку оператор (2.46) нечетный, поправка первого порядка к энергии равна нулю, и подуровень, соответствующий n = 2,l = 1,m = 1, не расщепляется, т.е. E3 = E4 = E2(0), а вырождение по m остается.

Рассмотрим случай m = 0. Орбитальное квантовое число может теперь принимать два значения l = 0; 1. Таким образом, при m = 0 имеются совпадающие s- и p-подуровни. В этом случае секулярное уравне-

ние примет вид			3a e =Z			E(0)		E
		E2(0)			E	3a0eE=Z				= 0;	(2.48)
				0	E	2
корни которого E1;2				(0)	3a0eE=Z.
				2
	= E

По своей структуре уравнение (2.48) проще (2.47).

Таким образом, кулоновский уровень первого возбужденного состояния в слабом однородном электрическом поле расщепляется на 3 компоненты:

одна компонента, соответствующая 2p-состоянию с m = 1, не смещается (остается 2-кратное вырождение по m);

две другие компоненты, соответствующие 2s- и 2p-состоянию с m = 0, смещаются на 3a0eE=Z. Величина расщепления = 6a0jejE=Z пропорциональна E, т.е. эффект Штарка линеен.

33

Расщепление можно объяснить нарушением центральной симметрии и отличием потенциала от чисто кулоновского.

Если на близких уровнях все Vkm = hkj V jmi = 0, то в секулярном уравнении (2.37) Vkm необходимо заменить на

Vkm(2) =	hkj V jjihjj V jki			;	(2.49)
X	Em(0)		j
j			E(0)

где в сумме по j отсутствуют состояния, принадлежащие системе f близких уровней. Тогда секулярное уравнение (2.37) определяет энергию E во втором порядке по V .

Задачи для самостоятельного решения

18. В примере 2..6 найти правильные волновые функции нулевого при-

ближения.

1

(Ответ: = p ( 2s 2p ), ãäå 2s 200, 2p 210 .)

2

19. Найти расщепление первого возбужденного уровня энергии плоского гармонического осциллятора с массой и частотой ! под действием возмущения вида V = xy ((x; y) плоскость колебаний).

}

(Ответ: E = 2}! 2 ! .)

20. Определить расщепление и поляризуемость стационарных уровней плоского ротатора с m = 1 в однородном электрическом поле E , лежащем в плоскости вращения ротатора. Момент инерции ротатора I, электрический дипольный момент d.

(Ответ: E = E

+

E

=

d2E2I

, ãäå E

=

}2

+

d2E2J

1

3

;

2J

2

( )

d2E2J

}2

3}2

=

(2

3).)

3}2

0

34

Глава 3.

Применение вариационного метода к приближенным расчетам

В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления первых собственных

значений оператора Гамильтона ^ не использует теорию возмущений

H

и соответственно не требует наличия в задаче малых параметров. При расчетах энергии основного состояния вначале аналитически

выбирается пробная функция 0( ; ; ; : : :), содержащая некоторое число неизвестных параметров , , . . . После вычисления энергетиче- ского функционала

J ( ; ; : : :) = R		0	R j 0( ; ; ; : : :)j2 d	(3.1)
		( ; ; ; : : :)H^ 0( ; ; ; : : :) d

получают выражение J ( ; ; : : :), зависящее от этих параметров. Оно имеет смысл средней энергии системы в состоянии, задаваемом пробной функцией 0( ; ; ; : : :). Определение искомых значений параметров сводится к минимизации J ( ; ; : : :), т.е. к решению системы урав-

нений

@J = @J = : : : = 0: @ @

При удачном выборе пробной функции получаемое значение энергии

E0 = J ( 0; 0; : : :)

будет близко к истинному значению E0(0) даже при сравнительно малом числе использованных параметров. Ненормированная волновая функция основного состояния системы будет приближенно совпадать с

функцией 0( ; 0 ; 0; : : :).

Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, èëè метода Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном анализе решений с учетом симметрии задачи. Пробная функция прежде всего должна удовлетворять стандартным условиям и в случае финитного движения обращаться в нуль на бесконечности. Согласно осцилляционной теореме

35

для основного состояния одномерной системы пробная функция внутри потенциальной ямы не должна обращаться в нуль. Если гамильтониан не меняется при операции инверсии, пробную функцию основного состояния следует выбирать четной. В случае удачного выбора хорошие результаты для энергии получаются уже при использовании одного параметра.

Пробная функция первого возбужденного состояния 1( ; ; ; : : :) должна один раз обратиться в нуль. Вычисление энергии первого возбужденного состояния сводится к решению вариационной задачи

E1	= min R R j 1j2 d
		1 H^ 1 d

R

при дополнительном условии 1 0 d = 0, ãäå 0 известная волновая функция основного состояния.

Аналогичным образом вычисляется энергия n-го возбужденного состояния. Соответствующая пробная функция с помощью дополнительных условий подбирается ортогональной к волновым функциям более низких по энергии состояний: 0, 1, . . . , n 1.

Заметим, что точные значения энергии En(0) и полученные вариационным методом En удовлетворяют неравенству

En(0) 6 En:

(3.2)

Волновые функции, найденные вариационным методом, не обязаны

быть собственными функциями гамильтониана ^ . Они являются тако-

H

выми лишь при определенном выборе параметризации пробных функций, позволяющем подбором параметров привести их к точным волновым функциям стационарных состояний. В этом случае (3.2) превращается в строгое равенство.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение вариационного метода к вычислению собственных значений и собственных функций гамильтониана некоторых систем. Предлагаем читателю проделать все промежуточные выкладки самостоятельно.

Пример 3.1. Вычислить вариационным методом энергию основного

состояния линейного гармонического осциллятора с массой и часто-

òîé !. Пробную функцию выбрать в виде (x; ) = A exp 12 x2 , ãäå A = const, > 0 вариационный параметр.

Решение. При выборе пробной функции учтено, что (1; ) = 0. Также принято во внимание отсутствие узлов у волновой функции основного состояния и ее четность. Энергетический функционал (3.1) вы-

36

ãäå x20 =

числяется с гамильтонианом

^	}2		d2		1	2		2	(3.3)
H =	2		dx2	+	2	!	x

и заданной пробной функцией (x; ). Приведем его окончательный

âèä (3.1):

+

:

J0( ) = 4

1

}2

!2

Минимум J0( ) соответствует значению 0 = !=}, поэтому энергия

основного состояния

1

E0 = J0( 0) =

}!;

2

а соответствующая нормированная волновая функция имеет вид

0(x) = (x; 0 ) = }

1

e

x2

2x0 ;

(3.4)

!

4

2

=

}! . По причине удачно выбранной параметризации пробной

функции значение энергии и вид волновой функции совпадают с точ- ными выражениями.

Пример 3.2. Вычислить вариационным методом энергию основно-

го состояния атома водорода. Пробную функцию выбрать в виде(r; ) = Ae r с вариационным параметром > 0.

Решение. Гамильтониан атома водорода имеет вид

^	}2		2		Ze2		(3.5)
H =		r				:
	2				r

В центрально-симметричном поле определенное значение имеет угловой момент. В основном состоянии угловой момент равен нулю. Следовательно, волновая функция может зависеть только от r и не зависит от углов. В связанных состояниях при r ! 1 волновая функция должна обращаться в нуль. Радиальная волновая функция основного состояния не должна иметь узлов. Предлагаемая пробная функция удовлетворяет вышеперечисленным условиям.

Энергетический функционал с гамильтонианом (3.5) приводится к виду

J1s ( ) =	2 }	2	Z0	1 e r r2e r r2dr 4 3Ze2	Z0	1 e 2 r r dr: (3.6)
	3

37

При вычислении первого интеграла в (3.6) имеем
Z0	e r r2e r r2dr = Z0	@r e r		r2dr = (4 ) 1	:
1	1	@		2

Второй интеграл в (3.6) легко вычисляется:

Z 1

e 2 r r dr = (2 ) 2:

0

Подставляя эти значения в (3.6), получаем:

J1s ( ) = }2 2 Ze2 :

2

Из условия минимума J1s( ) определяем вариационный параметр 0 = Z=a0. Подставляя найденное значение 0 в выражения для энергетиче- ского функционала и пробной функции, получаем:

	2a0	s				a0
				a03
	Z2 e2			Z3			Zr		(3.7)
E1s = J1s( 0) =	; 1s(r) =				exp			:

Выражения для энергии и волновой функции совпадают с точными благодаря удачной параметризации пробной функции.

Пример 3.3. Вычислить вариационным методом энергию первого возбужденного состояния 2s атома водорода. Пробную

функцию	выбрать		â	двухпараметрическом виде (r; ; )	=
B 1 +	Zr	exp	r	с вариационными параметрами >	0 è
	a0		a0

< 0.

Решение. Помимо стандартных условий, радиальная волновая функция 2s-состояния должна иметь один узел. Данный факт находит отражение в параметризации пробной функции. Дополнительным условием при минимизации энергетического функционала является требование ортогональности (r; ; ) к волновой функции 1s-состояния, найден-

ной в предыдущем примере: R 1 (r; ; ) 1s (r) d3r = 0. Несложные

0

вычисления позволяют получить следующую связь между вариационными параметрами и :

=	1	(Z + ):	(3.8)
	3Z

Теперь на основании (3.5) и (3.8) с заданной пробной функцией можно получить энергетический функционал 2s-состояния:

J2s ( ) = Z	H^ d3r = a0		2 +		6Z	2( 2 Z + Z2)		:
		Ze2			7 2		Z 2

38

ãäå x20 =

Из условия минимума J2s( ) следует 0 = Z=2. Подставляя найденное значение 0 в выражения для энергетического функционала и пробной функции, имеем:

	8a0		s				2a0		2a0
					8 a03
		Z2e2			Z3			Zr	Zr
E2s = J2s ( 0) =		; 1s(r) =			1			exp	:

Как и в предыдущем примере, мы получили совпадение с точными результатами.

Пример 3.4. Вычислить вариационным методом энергию второго

возбужденного состояния линейного гармонического осциллятора с массой и частотой !. Пробную функцию выбрать в виде (x; ; ) =

		1
		exp			, ãäå > 0, > 0 вариационные парамет-
B 1 x2				x2
			2
ðû.

Решение. Волновая функция второго возбужденного состояния осциллятора является четной, а первого нечетной, т.е. они будут ортогональны при любой параметризации, учитывающей четность. Поэтому мы должны потребовать от пробной функции ортогональности только к волновой функции основного состояния, найденной в примере 3..1:R1+1 (x; ; ) 0 (x) dx = 0. После интегрирования мы получаем дополнительное условие, связывающее параметры и :

= + x0 2;

}! . Пробная функция параметризована таким образом, что-

бы при конечных значениях x дважды обратиться в нуль. Вычисление энергетического функционала J2( ) требует многократного применения формулы

Z1		2n
+1	2ne 2 d =	(2n 1)!!	p

и является довольно громоздким. Явный вид функционала здесь не приводится. Его минимум достигается при 0 = x0 2. Окончательное решение выглядит следующим образом:

E2 = 2

}!;

2(x) = s

1 2 x02

exp

2x02

:

2x0p

5

1

x2

x2

39

Задачи для самостоятельного решения.

21. Частица с массой находится в -образной потенциальной яме U (x) = V0 (x) (V0 > 0). Вариационным методом получить прибли-

женное значение энергии основного состояния. Пробную функцию вы-

брать в виде (x; ) = A exp 12 x2 с параметром .

V 2

(Ответ: E0 = }02 .)

22. Движение частицы с массой , находящейся в однородном поле тяготения, ограничено снизу абсоютно упругой горизонтальной пластиной. Вариационным методом получить приближенное значение энергии основного состояния частицы. Пробную функцию выбрать в следующем виде:

à) (z; ) = A z exp( z); á) (z; ) = B z exp

21 z2

,

где вариационный параметр. Ось

Oz

направлена вертикально

вверх. Ускорение свободного падения g.

243

1=3

81

1=3

(Ответ: à) E0 =

}2 g2

; á) E0

=

}2 g2

.)

32

4

23. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой и ча- стотой ! находится в основном состоянии. Вариационным методом получить приближенное значение энергии осциллятора. Пробную функцию выбрать в следующем виде:

à) (x; ) = A=(1 + x2= 2); á) (x; ) = B=(1 + x2= 2)2,

где вариационный параметр. Сравнить с точíой энергией.

p

p

(Ответ: à) E0 =

}

(0)

7

}

(0)

, ãäå

5

! 1;058E0

!= 2 1;414E0 ; á) E0 =

E(0) = }!=2 точное значение энергии основного состояния.

0

+1( + z2) 1dz = =p

Указание: продифференцировать

ïî .)

Объяснить, почему в случае

1

á)

результат будет точнее.

R

24 . Решить предыдущую задачу с пробной

функцией

(x; ) =

A e jxj, ãäå âàðèационный параметр Ритца.

(Ответ: E0 = }!=p2.)

25. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой и частотой ! находится в первом возбужденном состоянии. Вариационным методом получить приближенное значение энергии осциллятора.

Пробную функцèю выбрать в виде (x; ) = A xe jxj с параметром . p

(Ответ: E1 = 3 }!).

40