прикладная мех задачи

	Найдите реакции опор A, B и C	(A – шаровой шарнир, B – пет-
ля,	C – стержневая опора).

Решение

К раме ABCD

Рис. 4.3

приложены сила тяжести G , сила Pr, реакция S стержня CЕ и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира A определяется тремя состав-

ляющими: X A , Y A , Z A , а реакция петли B – дву-

мя: X B и Y B (рис. 4.3).

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить шесть уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

∑Mix = 0 , ∑Miy = 0 , ∑Miz = 0 ,

∑M ix =0; − P AD cos 30°−G AB / 2 + S cos 30° AB + Z B (4.12)

∑M iy =0; G(BC 2) sin 30°− S BC sin 60°=0,										(4.13)
∑M iz =0; P AD sin 30°+ S cos 60° AB − X B AB =0.										(4.14)
Из уравнения (4.13) определяем S, затем из уравнений (4.12) и (4.14) на-
ходим ZB	и XB.
Уравнения проекций сил на оси координат:
		∑X i =0;		X A + X B − S cos 60°=0,						(4.15)
		∑Yi	= 0;	YA + P = 0,						(4.16)
	∑Zi =0;		Z A −G + Z B + S cos 30°=0.							(4.17)
Из этих уравнений находим ХА, YA и ZA.
Результаты вычислений приведены в табл. 3.										Таблица 3
				Силы, кН				ХB
S		ХА		YA		ZA				ZB
0,289		– 0,600		– 2,00		– 0,54		0,744		1,29
4.3. Тестовые задания
П1						Тогда модуль равнодействующей и
						расстояние, на котором она приложена,
						соответственно равны…
						1. R = 5 Н, АС2 = 9 м
						2. R = 3 Н, АС1 = 2 м
К плечу АВ приложены две антипараллельные си-						3. R = 3 Н, АС2 = 8 м
						4. R = 3 Н,		АС = 3 м

31

		лы: Р = 1 Н, Q = 4 Н, АВ = 6 м. Точки С, С1, С2 –		5.	R = 5 Н, АС1 = 3 м
		точки возможного приложения равнодействующей.
	П2			Тогда модуль равнодействующей и
				расстояние, на котором она приложена,
				соответственно равны…
				1.	R = 19 Н,	АС2 = 16 м
				2.	R = 5 Н,	АС = 3 м
		К плечу АВ приложены две антипараллельные си-		3.	R = 5 Н, АС1 = 14 м
				4.	R = 5 Н, АС2 = 12 м
		лы: Р = 12 Н, Q = 7 Н, АВ = 10 м. Точки С, С1, С2 –
				5.	R = 19 Н,	АС1 = 2 м
		точки возможного приложения равнодействующей.
	П3			Тогда модуль равнодействующей и
				расстояние, на котором она приложена,
				соответственно равны…
				1.	R = 16 Н,	АС = 4 м
				2.	R = 16 Н,	АС2 = 12 м
	К плечу АВ приложены две антипараллельные си-			3.	R = 4 Н, АС1 = 4 м
				4.	R = 16 Н, АС1 = 2 м
	лы: Р = 12 Н, Q = 7 Н, АВ = 10 м. Точки С, С1, С2 –
				5.	R = 4 Н,	АС2 = 20 м
	точки возможного приложения равнодействующей.
	П4			Тогда модуль равнодействующей и
				расстояние, на котором она приложена,
				соответственно равны…
				6.	R = 3 Н, АС1 = 10 м
				7.	R = 13 Н, АС2 = 8 м
	К плечу АВ приложены две антипараллельные си-			8.	R = 13 Н, АС1 = 2 м
				9.	R = 13 Н,	АС2 = 9 м
	лы: Р = 12 Н, Q = 7 Н, АВ = 10 м. Точки С, С1, С2 –
	точки возможного приложения равнодействующей.			10.	R = 3 Н,	АС = 2 м
	П13			Тогда модуль равнодействующей и
				расстояние, на котором она приложена,
				соответственно равны…
				11.	R = 19 Н,	АС2 = 16 м
				12.	R = 5 Н,	АС = 3 м
	К плечу АВ приложены две антипараллельные си-			13.	R = 5 Н,	АС1 = 14 м
				14.	R = 5 Н,	АС2 = 12 м
	лы: Р = 12 Н, Q = 7 Н, АВ = 10 м. Точки С, С1, С2 –
	точки возможного приложения равнодействующей.			15.	R = 19 Н,	АС1 = 2 м
			Пары сил
	П5			1.	4,5 Н
			Две пары сил, у которых
			F = 5 Н, Q = 4 Н, h = 3 м,	2.	1,5 Н
			d = 2 м. После сложения пар	3.	1 Н
			сил сила результирующей
				4.	2,3 Н
			пары при плече l = 10 м бу-
			дет равна…	5.	9 Н

32

П6			Две пары сил, у которых		1.	3,5 Н
		F = 7 Н, Q = 5 Н, h = 4 м,			2.	8,4 Н
		d = 3 м. После сложения пар			3.	12 Н
		сил	сила	результирующей
					4.	2 Н
		пары при плече l = 10 м бу-
		дет равна…			5.	4,3 Н
П7					1.	4 Н
		Две пары сил, у которых
		F = 6 Н, Q = 2 Н, h = 3 м,			2.	0,4 Н
		d = 7 м. После сложения пар			3.	0,8 Н
		сил сила результирующей па-
					4.	8 Н
		ры при плече l = 10 м будет
		равна…			5.	3,2 Н
П8					1.	4,2 Н
		Две пары сил, у которых
		F = 3 Н, Q = 5 Н, h = 4 м,			2. 8 Н
		d = 6 м. После сложения пар			3.	1,8 Н
		сил	сила	результирующей
					4.	2 Н
		пары при плече l = 10 м бу-
		дет равна…			5.	1,2 Н
П9			Две пары сил, у которых		1.	2,9 Н
		F = 2 Н, Q = 7 Н, h = 4 м,			2. 5 Н
		d = 3 м. После сложения пар			3.	1,3 Н
		сил	сила	результирующей
					4.	9 Н
		пары при плече l = 10 м
		будет равна…			5.	2,2 Н
П10					1.	4,5 Н
		Две пары сил, у которых
					2.	1,5 Н
		F = 4 Н, Q = 9 Н, h = 3 м,
		d = 2 м. После сложения пар			3.	3 Н
		сил	сила	результирующей
					4.	2,5 Н
		пары при плече l = 10 м
		будет равна…			5.	6 Н

Моменты сил

33

М1

1.

F5

К вершинам куба

2.

F1

приложены силы F1 ,

Fr

, Fr , F , F , F .

3.

F2

2

3

4

5

6

Вектор

момента

4.

F4

m0 (Fi ) относительно

5.

F3

начала

координат

–

это момент силы…

М2

1.

Fc sinα

Сила

F

лежит

в

2.

Fb cosα

плоскости

ABCD

и

приложена в точке А.

3.

Fa sinα

Момент силы F от-

4.

−Fa cosα

носительно оси z ра-

5.

Fbsinα

вен…

М3

К вершинам куба

1.

F5

приложены силы F1 ,

2.

F3

Fr2 , Fr3 , F4 , F5 , F6 .

3.

F1

Вектор

момента

) относительно

m

0 (Fi

4.

F4

начала

координат

–

5.

F6

это момент силы…

М4

1.

– 2аF

К вершинам куба со

2.

– аF

стороной а приложены

шесть

сил

F1

=

F2

=

3.

аF

= F3 = F4 = F5 = F6 = F .

4.

0

Сумма моментов всех

5.

2аF

сил системы относитель-

но оси у равна…

М5

1.

−Fa cosα

Сила

F

лежит в

2.

Fc sinα

плоскости

ABCD и

3.

Fc cosα

приложена в точке А.

4.

−Fa sinα

Момент

силы

F

относительно

оси

у

5.

Fbsinα

равен…

34

М6										1.	−Fbcosα
				Сила F			лежит в
				плоскости			ABCD и			2.	Fc sinα
				приложена в точке В.						3.	Fa cosα
				Момент силы					F
										4.	Fbsinα
				относительно				оси	у
				равен…						5.	−Fbsinα
М7										1.	0
			К вершинам				куба		со
			стороной		а	приложены				2.	аF
			шесть сил		F1 = F2 = F3 = F4 =
										3.	– 2аF
			= F5	= F6 = F .
										4.	– аF
			Сумма		моментов			всех
										5.	2аF
			сил	системы		относительно
			оси у равна…
М8										1.	– 2аF
			К вершинам куба со сто-
			роной а приложены					шесть		2.	аF
			сил	F1 = F2 = F3 = F4 = F5					=
										3.	2аF
			= F6	= F .
										4.	– аF
			Сумма		моментов			всех
										5.	0
			сил	системы		относительно
			оси х равна…
М9										1.	аF
			К вершинам куба со сто-
			роной а приложены					шесть		2.	0
			сил	F1 = F2 = F3 = F4 = F5					=
										3.	– 2аF
			= F6	= F .
										4.	– аF
			Сумма		моментов			всех
										5.	2аF
			сил	системы		относительно
			оси z равна…
М10										1.	−Facosα
				Сила		F	лежит		в
				плоскости			ABCD		и	2.	−Fbsinα
				приложена в точке В.						3.	Fc sinα
				Момент			силы		F
										4.	Fc cosα
				относительно			оси		z
				равен…						5.	Fbsinα

35

М11

1.

F1

К вершинам куба при-

ложены силы F1 , F2 , F3 ,

2.

F4

Fr4 , Fr5 ,

Fr6 . Вектор момен-

3.

F6

та m0 (Fi ) относительно

начала

координат

–

это

4.

F3

момент силы…

5.

F5

М12

К

вершинам

куба

1.

F6

приложены силы

F1 ,

2.

F4

Fr2 ,

Fr3 ,

F4 ,

F5 ,

F6 .

3.

F3

Вектор момента m0 (Fi )

относительно

начала

4.

F5

координат – это мо-

5.

F1

мент силы…

М13

1.

F4

К

вершинам

куба

приложены

силы

F1 ,

2.

F3

Fr2 ,

Fr3 ,

F4 ,

F5 ,

F6 .

3.

F1

Вектор

момента

) относительно

m

0 (Fi

4.

F6

начала координат – это

5.

F5

момент силы…

М14

1.

−Fbsinα

Сила

F

лежит в

плоскости

ABCD и

2.

Fa cosα

приложена в точке В.

3.

Fc cosα

Момент

силы

F

4.

−Fc sinα

относительно оси

z

равен…

5.

Fbsinα

М15

1.

2аF

К вершинам

куба

со

стороной

а

приложены

2.

аF

шесть

сил F1 =

F2 =

F3 =

3.

0

= F4 = F5 = F6 = F .

4.

– 2аF

Сумма моментов всех

– аF

сил системы относительно

5.

оси х равна…

36

			Реакции в опорах
Р1
		Реакция опоры в точ-
	ке Е правильно направ-
	лена на рисунке…
1)			1
2)			2
3)			3
4)			4
Р2			Реакция	опо-
		ры в точке В пра-
		вильно направле-
		на на рисунке…
1)			1
2)			2
3)			3
4)			4
Р3
		Реакция опоры в
		точке	А правильно
		направлена на		ри-
		сунке…
1)			1
2)			2
3)			3
4)			4
Р4
		Реакция опоры в
		точке Е правильно
		направлена на рисун-
		ке…
		1)	1
		2)	2
		3)	3
		4)	4
						Варианты ответов:
	При освобождении объекта равновесия от свя-					3
зей реакции опор имеют различное количество со-
ставляющих. Если опорой является шарнирно-						2
подвижная опора, то количество составляющих ре-
акции связи равно…						6
						1
						37

5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА 5.1. Центр тяжести системы однородных стержней

Дано: система однородных стержней (рис. 5.1)

ОА = 30 см, АВ = 50 см, ВD = 20 см. С1, С2, С3 –

центры тяжести стержней ОА, АВ, ВD. Определить положение центра тяжести (коор-

динаты хС, уС) рассматриваемой системы.

Решение
Координаты центра тяжести системы стержней
определяем по формулам:	Рис. 5.1

x

= ∑li xCi ,

y

C

= ∑li yCi ,

(5.1)

C

∑li

∑li

где ∑li

= l1 +l2 +l3 ,

l1

= ОА = 30 см,

l2 = АВ = 50 см,

l3 = ВD = 20 см,

∑li xC i

= l1 xC1 +l2 xC2

+l3 xC3 ;

xC1 ,

xC2 , xC3 –

координаты центров тяже-

сти стержней ОА, АВ, ВD по оси х; уC

, уC ,

уC

– координаты центров тя-

1

2

3

жести стержней ОА,

АВ,

ВD по оси у;

∑li уC i

= l1 уC1

+l2 уC2 +l3 уC3 .

Для однородного стержня центр тяжести находится на его середине. По-

этому xC = 15 см, уC = 0;

xC = 30 см,

уC

= 25 см; xC

= 40 см, уC = 50 см.

1

1

2

2

3

3

Учитывая эти значения в формулах (5.1), получим

x =

∑li xC

30 15 +50 30 + 20 40

=

2750

i =

=

27,5 см;

C

∑li

30 +50

+ 20

100

yC =

∑li

yC

=

30 0 +50 25 + 20 50

=

2250

=

22,5 см.

i

∑li

30

+50

+

20

100

5.2.Определение положения центра тяжести плоской однородной пластины

Дано: плоская однородная пластина (рис. 5.2). Размеры фигуры на рис. 5.2 указаны в см.

Определить координаты центра тяжести пластины.

Решение

Координаты центра тяжести системы стержней определяем по форму-

лам:

где Аi xC i , уC i

x	C	= ∑ Аi xCi ,	y	C	= ∑ Аi yCi ,	(5.2)
		∑ Аi			∑ Аi

–площадь i-й фигуры, на которые разбивается основная фигура;

–координаты центров тяжести i-й фигуры.

38

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Разделим основную фигуру на прямоугольник, половину круга и треугольник, для которых положение центров тяжести известны (рис. 5.3).

Площадь прямоугольника с основанием 30 см и высотой 40 см равна

А1 = 30·40 = 1200 см2.

Площадь половины круга радиусом 20 см равна

А2 = πR2 / 2 = 3,14·202/2= 628 см2.

Площадь половины круга вырезана из площади прямоугольника, потому ее в формулах (5.2) будем считать отрицательной.

Площадь треугольника с основанием 50 см и высотой 40 см равна

А3 = 50·40/2 = 1000 см2.

Центры тяжести рассматриваемых частей плоской фигуры имеют следующие координаты (рис. 5.4):

для прямоугольника

xC = 15 см, уC = 20 см;

1

1

для половины круга

Рис. 5.4

xC2 =

4R

4 20

уC2 = 20 см;

=

= 8,5 см;

для треугольника

3π

3 3,14

1

1

x = 30 +

50 = 46,66 см;

у

C

=

40 = 13,33 см.

C

3

3

3

3

Используя формулы (5.2), находим

=

А1

хС

− А2 хС

+ А3

хС

=

1200 15 −

628

8,5 +1000

46,66

= 37,7 см;

xC

1

2

3

А1 − А2 + А3

1200 −628 +1000

=

А1

уС

− А2 уС

+ А3

уС

=

1200 20 −628 20 +1000 13,33

= 15,7 см.

yC

1

2

3

А1 − А2 + А3

1200 −628 +1000

39

5.3. Тестовые задания

Центр тяжести сечения

Г1			Варианты ответов:
От нижнего края сече-			1)	yc = 5,8b
ния центр тяжести yc	нахо-
дится на расстоянии…..			2)	yc = 5,29b
			3)	yc = 4b
			4)	yc = 4,75b
Г2			Варианты ответов:
От нижнего края сече-			1)	yc = 2,5 b
ния центр тяжести yc нахо-
дится на расстоянии…			2)	yc = 2,75b
			3)	yc = 2,9b
			4)	yc = 3b
Г3			Варианты ответов:
Для симметричной фи-			1)	yc = 6,24b
гуры от нижнего края сече-
ния центр тяжести yc	нахо-		2)	yc = 6,54b
дится на расстоянии…
			3)	yc =6,84b
			4)	yc = 7,20b
Г4			Варианты ответов:
Для симметричной фи-			1)	yc = 1,87b
гуры от нижнего края сече-
ния центр тяжести yc	нахо-		2) yc = 1,93b
дится на расстоянии…
			3)	yc =2,1b
			4)	yc = 2,2b

40