тер.мех.указания к лабам

Схемы конструкций к внеаудиторному заданию

Рис. 6.1а	Рис. 6.2а

Рис. 6.3а

Рис. 6.4а

Рис. 6.5а

Рис. 6.6а

Рис. 6.7а

Рис. 6.8а

Рис. 6.9а

Рис. 6.10а

71

Рис. 6.11а

Рис. 6.12а

Рис. 6.13а

Рис. 6.14а

Рис. 6.15а

Рис. 6.16а

Рис. 6.17а

Рис. 6.18а

Рис. 6.19а

Рис. 6.20а

72

Рис. 6.21а

Рис. 6.22а

Рис. 6.23а

Рис. 6.24а

Рис. 6.25а

Рис. 6.26а

Рис. 6.27а

Рис. 6.28а

Рис. 6.29а

Рис. 6.30а

73

Лабораторная работа № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА В ЗАДАННОМ ПОЛОЖЕНИИ

Цель работы. Научиться определять кинетическую энергию системы, состоящей из нескольких тел.

Содержание работы:

1.Краткая теория.

2.Примеры определения кинетической энергии кривошипношатунных механизмов.

3.Последовательность выполнения лабораторной работы.

4.Контрольные вопросы.

Приборы и принадлежности. Макет механизма, линейка, циркуль, транспортир.

1. Краткая теория

Кинетическая энергия – это скалярная мера механического движения материальной точки или механической системы. Она является важным фактором при исследовании движения материальной точки и механической системы. Поэтому надо уметь определять кинетическую энергию механической системы.

Кинетическая энергия системы, состоящей из нескольких твердых тел, равна сумме кинетических энергий тел, входящих в данную систему:

T = T1 + T2 + ...+ Tn ;	n
	т.е. T = ∑Ti .
	i=1

Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по формулам а) при поступательном движении

T = 12 MV 2 ,

где М – масса твердого тела, а V – скорость любой точки; б) при вращении вокруг неподвижной оси

T = 12 J zω2 ,

где Jz –момент инерции твердого тела относительно оси вращения z, ω – угловая скорость вращения;

74

Рис. 7.1

в) при плоскопараллельном движении

T = 12 MVc2 + 12 Jcω2 ,

где М – масса твердого тела,

Vс – скорость центра масс тела,

Jc – момент инерции твердого тела относительно оси cz , проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения,

ω– величина мгновенной угловой скорости вращения.

2.Примеры определения кинетической энергии кривошипно-

шатунных механизмов

Пример 2.1

Вычислить кинетическую энергию кривошипно-шатунного механизма, представленного на рис. 7.1

Дано: l1 – длина кривошипа OA, l2 – длина шатуна АВ, P1 – вес кривошипа ОА; P2 – вес ползуна В, весом шатуна АВ пренебречь. ω0 – угловая скорость вращения кривошипа ОА. Кривошип считать тонким однородным стержнем. Кинетическая энергия заданной системы

T = TOA + TB .

(7.1)

Так как по условию задачи массой шатуна пренебрегаем, то и кинетическую энергию его не учитываем.

Кривошип ОА совершает вращательное движение. Его кинетическая энергия определяется по формуле

TOA = 12 JOωOA2 ,

		m l2		P				Pl2
где J	O	= 1 1	, m =	1	, J	O	=	1 1	, ω	= ω .
		3	1	g				3g	OA	O

Окончательно получим

P l 2ω2

TOA = 1 1 O . (7.2) 6g

75

Ползун В совершает поступательное движение. Кинетическая энергия ползуна определяется по формуле

T

B

=

1 m V 2

. Так как

m

=

P2

, то

g

2 2

B

2

T

=

1

P1

V 2 .

(7.3)

2

g

OA

B

Скорость ползуна B нужно выразить через угловую скорость ω0 кривошипа ОА. Это проделаем двумя способами:

а) используя положение мгновенного центра скоростей звена АВ; б) используя теорему о проекции скоростей на прямую, соединяю-

щую две точки данного звена.

По способу (а) находим сначала скорость точки А звена ОА

VA = ωOA OA, VA = ωO l1 .

Вектор VA направляем ОА в сторону угловой скорости ω0. Затем находим положение мгновенного центра скоростей CV звена АВ и угловую

скорость звена АВ,

ω

AB

=

VA

, а также

V

B

= ω

AB

BC .

ACV

V

ACV и BCV определим из рис.7.1

AC = AB tg60o = l

2

3 ,

BC

=

AB

= 2l

2

.

V

V

sin 30o

Тогда окончательно определим

ω AB

= ωOl1

= ωOl1 3 , VB =

ωOl1 3 2l2

=

2ωOl1 3 .

l2 3

3l2

3l2

3

По способу (б) спроектируем векторы

и

на прямую AB

VA

VB

V

A

cosα = V

cosβ , где α = 0

; β = 30o.

1

B

1

Тогда V

A

= V cos30o, откуда

B

VB

=

VA

=

ωOl12 3

=

2ωOl1

3

.

(7.4)

cos30o

3

3

3

Результаты определения скорости точки В по способам (а) и (б) сов-

падают. Подставив уравнение (7.4) в уравнение (7.3), найдем:

1

P

4ω2 l

2 3

2

P

T

=

2

O 1

=

2

ω2 l 2

.

(7.5)

B

2 g

9

3 g

O

1

76

С учетом уравнений (7.2) и (7.5) по уравнению (7.1) определим кинетическую энергию системы

	P ω2 l 2			2	P	ω2 l 2		ω2 l	2	(P + 4P ).
T =	1	O 1	+		2		, T =	O 1
		6g		3	g	O 1		6g		1	2

Пример 2.2

На рис. 7.2 изображен кривошипно-шатунный механизм.

Дано: l1 – длина кривошипа ОА, l2 – длина шатуна АВ, l3 – длина звена О1В, P1 – вес кривошипа ОА, P3 – вес звена О1В. Весом шатуна АВ пренебречь. ωO – угловая скорость вращения кривошипа ОА.

Определить кинетическую энергию механизма.

Аналогично предыдущему примеру записываем кинетическую энергию системы

T = TOA + TO B .	(7.6)
1

В данном механизме звенья OA и O1B совершают вращение вокруг неподвижных осей. Кинетическую энергию их определим по известным формулам

TOA = 12 JOωOA2 .

Рис. 7.2

Кинетическая энергия звена OA данного механизма равна кинетической энергии звена OA механизма в примере 2.1. Тогда из уравнения (7.2) следует

P l 2ω2

TOA = 1 1 O . (7.7) 6g

77

1

m l 2

T

=

J

O1

ω2

. Так как J

O1

=

3 3

, поэтому

2

3

O1B

O1B

T

=

1 m l 2ω2

.

(7.8)

O1B

6

3 3

O B

1

Выразим угловую скорость звена О1В через заданную угловую скорость кривошипа ОА двумя способами:

а) с помощью мгновенного центра скоростей.

Находим VA = ωOl1. Проводим вектор VA ОА. Определим положение мгновенного центра скоростей звена АВ на пересечении перпенди-

куляров к вектору скорости

VA

и

VB

, причем

VB

О1B.

Затем определяем ω

AB

=

VA

, где AC

=

AB

= 2l2 .

ACV

V

cos30o

3

Тогда получим ω AB

=

ωOl1 3

.

2l2

Теперь найдем V

B

= ω

AB

BC

, где BC

= ABtg30o = l2

3 .

V

V

3

Окончательно определим VB

=

ωOl1

3

l2

3 = ωOl1 .

2l2

3

2

А так как

V

= ω

O B

, откуда

ω

=

VB

= ωOl1 .

(7.9)

B

O B

1

O B

O1B

2l3

1

1

б) С помощью теоремы о проекции скоростей на прямую, соеди-

няющую две точки

V

A

cosα = V

B

cosβ , где α = 60 ;

β = 0o.

1

1

Тогда V

A

cos60o

= V cos0o ;

V

B

= V

A

cos60o . С

учетом

известного

B

V

A

= ω l найдем V

B

= ω

O

l

1

=

ωOl1

.

O 1

1 2

2

Окончательно получим

VB

= ωOl1 .

ωO B =

(7.10)

1

BO1

2l3

Согласно уравнениям (7.9) и (7.10) получили одинаковые значения угловой скорости звена О1В.

Тогда кинетическую энергию звена О1В найдем, подставив уравне-

ние (7.10) в (7.8)

78

1

m l 2

ω 2 l 2

m ω 2 l 2

P ω 2 l 2

T

=

O 1

=

3

O 1

=

3 O 1

.

(7.11)

O B

6

3 3

4l32

24

24g

1

С учетом уравнений (7.7) и (7.11) из уравнения (7.6) найдем кинети-

ческую энергию системы

P ω2 l 2

P ω2 l 2

ω2 l 2

(4P + P ).

T =

1

O 1

+

3 O

1

=

O 1

6g

24g

24g

1

3

Пример 2.3

На схемах (см. рис. 7.1, 7.2) заменить ползун В и звено О1B роликом весом Р3 и радиусом r3. Считать ролик сплошным однородным. Определить кинетическую энергию полученных систем (рис.7.3, 7.4).

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Кинетическую энергию систем на рис.7.3 и рис.7.4 будем определять по формуле

T = T1 + T3 .

(7.12)

Кинетическую энергию первого тела кривошипа OA возьмем из расчетов примеров 2.1 и 2.2 согласно уравнениям (7.2) или (7.7)

		P ω2 l 2
T	=	1 O 1	.	(7.13)
1		6g

Кинетическую энергию третьего тела, которое совершает плоскопараллельное движение, определим по формуле

1

M V 2

1

ω2

P

M

r 2

P r 2

T =

+

J

B

, где M

3

=

3

, J

B

=

3 3

=

3 3

,

3

2

3 B

2

3

g

2

2g

а угловую скорость ролика – с помощью мгновенного центра скоростей

ω3 = VB = VB .

BCv r3

79

	P	V 2			P r 2				V 2
Тогда получим T =	3		+		3 3				B
	2g				2 2g				r 2
3		B
						P3			3
	или T			= 3				V 2 .		(7.14)
			3	4		g			B

Скорость центра масс В ролика 3 системы на рис. 7.3 будет равна скорости ползуна В в примере 2.1 согласно уравнению (7.5)

VB = 2ωOl1 3 . 3

Тогда из уравнения (7.14) найдем кинетическую энергию ролика системы на рис. 7.3.

3P

4ω2 l 2

3

T

=

3

O 1

3

4g

9

P

ω2 l

2

или T

=

3

O 1

.

(7.15)

3

g

С учетом уравнений (7.13) и (7.15) из уравнения (7.12) найдем кине-

тическую энергию системы на рис. 7.3.

P ω2 l 2

P ω2 l 2

ω2 l

2

(P + 6P ).

T =

1 O 1

+

3

O 1

;

T =

O 1

6g

g

6g

1

3

Скорость центра масс В ролика 3 системы на рис. 7.4 необходимо определить. Для этого воспользуемся теоремой о проекции скоростей точек на прямую, соединяющую точки данного звена.

V

A

cos60° =V cos30°

, откуда

V

= V

cos60°

, где V

A

= ω l

,

B

A cos30°

B

0 1

тогда V

B

= ω

l

1 2

3

=

ω0l1

3

(7.16)

0 1 2

3

3

3

Подставим уравнение (7.16) в уравнение (7.14) и найдем кинетиче-

скую энергию ролика 3 системы на рис. 7. 4

3P

ω2 l 2 3

T =

3

O 1

, т.е.

3

4g

9

P

ω2 l 2

T =

3

O

1

.

(7.17)

3

4g

Подставляя уравнения (7.13) и (7.17) в уравнение (7.12), получим кинетическую энергию системы на рис. 7.4:

80