Механика

чем тела «А», т.е. состояние тел в один и тот же момент времени разное. Из этого наблюдения следует, что масса тела, оставаясь его инерционной характеристикой, при вращательном движении тела проявляется совместно с другими параметрами. Инерционной характеристикой тела в динамике вращательного движения является момент инерции этого тела.

Таким образом, динамика вращательного движения рассматривается на основе трех важнейших параметров, определяющих динамическое воздействие на тело и следствие этого воздействия, а имен-

но это момент силы, момент импульса и момент инерции. Уравне-

ния, которые решают в динамике вращательного движения, содержат эти параметры и устанавливают взаимосвязь между ними.

3.2. Момент силы

Как показано в п. 3.1, динамической характеристикой, изменяющей состояние твердого тела, является момент силы и по сути это физическая величина, характеризующая вращательный эффект силы. Различают момент силы относительно центра (точки) и момент силы относительно оси.

Рассмотрим эту динамическую характеристику на примере, приведенном на рис. 3.3.

В системе координат X Y Z расположена точка А, к которой приложена сила F . Положение точки А относительно центра О определяется радиус вектором r . Угол между силой и радиус-вектором равен α.

1. Моментом силы относительно центра О на-

зывается векторная вели- r

чина Mo , равная вектор-

ному произведению радиуса вектора rr, проведенного из центра О в точку А приложения силы, на си-

луFr . В аналитической форме

		Z		α
			A
Mo		r		F
	β
		M z
				r sinα = h
X		O		Y
		Рис. 3.3
41

= F h

это выглядит так	= [rr F ] ,
M o		(3.1)
или то же в другом формате:	= rr× F .
M o		(3.2)
Модуль момента силы
M o = r F sin α .		(3.3)
В формуле (3.3) произведение r sin α = h		, где h – плечо силы –

это кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра О. С учетом этого модуль момента силы относительно центра M o .

Он численно равен площади штрихованного на рис.3.3 параллелограмма, поскольку h – высота параллелограмма, если за основание этой фигуры принять длину отрезка равного силе F.

Единицаrизмерения момента силы – Н·м.

Вектор Mo перпендикулярен плоскости, в которой лежат векто-

ра r и Fr (на рис. 3.3 в этой плоскости лежит штрихованный параллелограмм, и его направление определяется правилом правого винта).

2. Моментом силы относительно оси Z называется скалярная величина Мz , равная проекции на ось Z вектора момента силы, относительно любого центра О, взятого на этой оси:

M z = M o cos β = r F sin α cos β .

(3.4)

Необходимо отметить, что проекция момента силы на ось не за-

висит от того, какая точка взята на этой оси в качестве центра, для ко- r

торого определяется Mo. В качестве оси Z может быть принята любая ось, но практическую значимость имеет та ось, относительно которой осуществляется или возможен поворот точки А в данный момент времени.

3.3. Момент импульса

Как показано в п. 3.1, динамической характеристикой, определяющей состояние вращательного движения точки или твердого тела, является его момент импульса. Эта физическая величина в трактовке разных явлений может иметь такие варианты названий: момент количества движения, кинетический момент, орбитальный момент, угловой момент.

42

Различают		момент	им-			Z		α
пульса относительно центра (точ-							m
ки) и момент импульса относи-				Lo				mv
							r
тельно оси. Рассмотрим эту ди-					θ	Lz
намическую характеристику на
примере, приведенномнарис. 3.4.
В системе координат XYZ рас-						O
положена	материальная		точка	X				Y
массы m,	которая движется со						Рис. 3.4
скоростью v и имеет импульс
pr = m vr . Положение материаль-
ной точки относительно центра О определяется радиус-вектором r .
Угол между импульсом m v и радиус-вектором равен α.
1. Моментом импульса относительно центра О назы-
вается векторная величина Lo , равная векторному произ-
ведению радиуса-вектора r , проведенного из центра О к
материальной точке, на импульс этой материальной точ-
ки. В аналитической форме это выглядит так:
			Lro = [rr m vr] ,					(3.5)
или то же в другом формате:
			Lo = rr× pr .					(3.6)
Модуль момента импульса
			L o = r mv sin α			.		(3.7)
Единица измерения момента импульса – кг·м2/с.
	r	перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора
Вектор Lo
r и m vr	(на рис.3.4 в этой плоскости лежит штрихованный паралле-
лограмм), и его направление определяется правилом правого винта.
2. Моментом импульса относительно оси Z называется скаляр-
ная величина Lz, равная проекции на ось Z вектора момента импуль-
са, относительно любого центра О, взятого на этой оси:
		Lz = L o cos θ = r mv sin α cos θ .						(3.8)
В качестве оси Z может быть принята любая ось, но практиче-
скую значимость имеет та ось, относительно которой осуществляется
или возможен поворот материальной точки						в данный момент време-
ни.
				43

3. Момент импульса свободного симметричного твердого тела, вращающегося вокруг оси симметрии (рис. 3.5), определяется формулой

					r	(3.9)
					L = I ω .
	Вектор момента импульса L такого тела лежит на оси вращения
					и направлен в ту же сторону, что и вектор уг-
					ловой скорости ω . В формуле (3.9) I – момент
	ω				инерции тела относительно оси симметрии.
		L
					Оси, для которых направления векторов уг-
					ловой скорости вращения и момента импуль-
					са тела совпадают, называются главными
					осями инерции.
					Момент импульса	обладает важным

ωсвойством. Момент импульса в целом покоящейся системы (когда центр масс системы не-

Рис. 3.5	подвижен) может быть отличен от нуля. Мо-
	мент импульса тела при нулевом значении

полного импульса системы называется собственным. Примером тела, обладающего собственным моментом импульса, является вращающийся волчок с неподвижным центром масс.

3.4. Момент инерции. Теорема Гюйгенса – Штейнера

Как показано в п. 3.1 инерционной характеристикой тела в динамике вращательного движения является момент инерции этого тела.

Момент инерции – величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают осевые и центробежные моменты инерции. Ниже будем рассматривать осевые моменты инерции. Эта физическая характеристика приобретает однозначную значимость, если указана ось, для которой задан или определен осевой момент инерции. В примерах, рассматриваемых ниже, такую ось будем обозначать символом Z.

Осевым моментом инерции тела относительно оси Z называется величина, определяемая равенством

	I z	= ∑ m i ri2	(3.10)
или	I z	= ∫ ρr 2 dV ,	(3.11)
		V
		44

	где mi – масса i-й точки тела; ri – расстояние от этой точки до оси Z;
	ρ – плотность вещества тела; V – объем тела; dV –		Z
	элементарный объем в пределах тела; r – расстоя-
	ние от элементарного объема dV до оси Z (рис. 3.6).
	В формуле (3.10) m	r 2 можно рассматривать
		i i
	как момент инерции i-й материальной точки отно-		r
	сительно оси Z, а в формуле (3.11) подынтеграль-		dV
	ное выражение ρr 2 dV можно рассматривать как мо-
	мент инерции части тела в элементарном объеме dV
	относительно оси Z.		Рис.3.6
	Единица измерения момента инерции – кг·м2.
	Вычисление моментов инерции

Расчет момента инерции твердого тела относительно оси Z сво-

дится к вычислению интеграла (3.10) I z = ∫ r 2 dm или,

полагая что

dm = ρ dV , к вычислению интеграла (3.11)

I z = ∫ ρr 2 dV .

Вычислим, например, момент инерции

V

Z

сплошного цилиндра относительно продоль-

RR

ной оси симметрии Z с равномерным рас-

пределением массы m по всему объему (т.е.

r dr

ρ = const) относительно продольной оси сим-

h h

dϕ

метрии Z. Геометрические параметры ци-

dh

линдра: радиус цилиндра – R ; высота ци-

dV

линдра – h (рис. 3.7)

Выделим внутри цилиндра элементар-

ный объем dV с размерами сторон: длина сто-

Рис. 3.7

рон основания – r dϕ и dr, высота – dh. Эле-

ментарный объем расположен на удалении r от оси Z.

Для вычисления момента инерции цилиндра воспользуемся уравнением (3.11)

			2 π R h
	I z = ∫ ρ r 2 dV = ρ ∫ ∫ ∫ r 2 r dϕ dr dh =
	V		0	0 0		(3.12)
		m		R 4
	=		2 π		h =	1	mR 2 .
		πR 2 h		4		2
				45

Момент инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс и являющейся осью симметрии

В технических устройствах часто встречаются объекты типичной формы. К таким объектам относится тонкое кольцо и тонкостенный цилиндр, диск и сплошной цилиндр, шар и тонкий длинный стержень (рис. 3.8). Моменты инерции I0 этих тел относительно оси симметрии Z, проходящей через центр масс, определены и их значения приведены ниже:

Z		Z
m
	R	m
			R
Z	I 0 = mR 2	Z	I 0 =	1 mR 2
m				2
	R	m
			R
Тонкое кольцо и		Диск и цилиндр
тонкостенный цилиндр

Z

m Z

m	R
	l

Тонкий стержень длины l

		I 0 =	2	mR 2		I 0 =	1	ml 2
							12
	Шар		5
					Рис. 3.8

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Эта теорема связывает моменты инерции тела относительно двух параллельных осей. Одна из осей проходит через центр масс тела, а

46

другая отстоит от нее на расстоянии а. В аналитической форме эта теорема имеет вид:

I = I 0 + ma 2 .

Применения теоремы Гюйгенса – Штейнера рассмотрим на примере качения цилиндра массы m и радиуса R по плоской поверхности без проскальзывания (рис. 3.9). Центр масс цилиндра движется со скоростью v . Такое движение цилиндра можно рассматривать как вращение его относительно мгновенной оси, проходящей через точку касания C и перпендикулярной плоскости основания цилиндра. Момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси

(3.13)

Z v

R

C

Рис. 3.9

I = I 0	+ ma 2 =	1 mR 2	+ mR 2 =	3 mR 2 .	(3.14)
		2		2

В многочисленных практических случаях осевые моменты инерции тел сложной конфигурации определяют экспериментально. Методика решения такой задачи изучается в лабораторном практикуме на кафедрах физики, в частности, при определении момента инерции крестообразного маятника (маятника Обербека).

3.5. Основной закон динамики вращательного движения (уравнение моментов)

Рассмотрим материальную точку массы m, которая в данный момент времени движется в системе координат XYZ, имея импульс mv . Положение материальной точки относительно системы координат определено радиус-вектором r и она находится на расстоянии R

от оси Z. На материальную точку действует сила F (рис. 3.10). Уравнение движения материальной точки имеет вид

r	=	d(m v)	.	(3.15)
F		dt

Умножим это уравнение векторно на радиус-вектор r

r	r	r	×	d(m v)		.	(3.16)
r	× F	= r			dt
			47

Правую часть уравнения можно записать в виде

r

d ( m v )

d

r

r

r

×

dt

=

(r

× m v) .

(3.17)

dt

С учетом (3.17) уравнение (3.16) принимает вид

r

r

d

r

r

r

× F =

(r

× m v ) .

(3.18)

dt

В (3.18) левая часть уравнения соответствует моменту сил отно-

сительно центра О, действующему

r

r

Z

на материальную точку

r × F = M ,

F

а под знаком производной – мо-

L

R

мент импульса материальной точ-

ки

относительно

центра

О, т.е.

m

mv

rr× m vr = L .

Такимобразом, уравнение(3.18)

r

M

записывается в виде

Y

r

dLr

O

.

(3.19)

M =

dt

X

Рис. 3.10

Уравнение (3.19) называется

уравнением моментов и из не-

го следует, что момент силы относительно центра, действующий на материальную точку, приводит к изменению момента импульса этой точки относительно центра.

Примечание

1.Внутренние силы не могут изменить момент импульса тела.

2.Точку приложения силы можно произвольно переносить вдоль линии, по которой действует сила. Указанный перенос не изменяет момента силы, так как сила и плечо силы при этом не изменяются.

3.6.Уравнение вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси

Рассмотрим абсолютно твердое тело (АТТ) на рис. 3.11, которое состоит из n-го количества материальных точек mi. На материальную точку могут действовать внешние силы, результирующая которых равна Fi, результирующая же всех внутренних сил fi равна нулю. Тело

48

может вращаться вокруг неподвижной оси Z и материальная точка mi

удалена от оси на расстоянии Ri.

Применим

уравнение

моментов

к

этой

материальной

точке

r

r

dLi

и запишем это уравнение в проекциях на ось Z.

M i =

dt

d

r

r

d

dLi

m i v i cos β ) .

(3.20)

M iz =

=

( ri × m i v i

=

(ri

dt

dt

dt

z

z

В уравнении (3.20) совокупность параметров под знаком производной можно переписать в виде: ri cosβ = risinθ = Ri , а также vi = Ri ω ,

где ω – угловая скорость вращения твердого тела вокруг оси Z. С учетом сделанных замен уравнение (3.20) запишем в виде

	M iz =	d	(m i R i2 ω ) . (3.21)
		dt

Уравнение (3.21) справедливо для любой материальной точки абсолютно твердого тела. Просуммировав уравнение (3.21) по всем материальным точкам, получим

∑ M iz = ∑ dtd (m i R i2 ω ) . (3.22)

	Z	Fi
	Li	Ri
	Liz	mivi
	β
		mi
	θ	ri
	Mi
	O	Y
	X	ATT

Рис. 3.11

В уравнении (3.22)

∑ Miz = Mz – результирующий момент всех внешних сил относительно оси Z. Правую часть уравнения (3.22) можно записать в виде

∑	d	(m i R i2 ω ) =	dω	∑ (m i R i2 ) ,	(3.23)
	dt
			dt

гдесумма ∑ (m i R i2 ) = I естьмоментинерцииАТТотносительноосиZ .

С учетом выполненных преобразований уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси

	Mz = Iz	dω	= Iz ε .	(3.24)
		dt

В уравнении (3.24) ε – угловое ускорение АТТ.

Для тела симметричной формы относительно оси Z уравнение (3.24) можно записать в виде, которое по форме аналогично второму

49

закону Ньютона в динамике поступательного движения,

	r	dω	= I z εr	,	(3.25)
	M = I z
		dt

поэтому уравнение (3.25) можно трактовать как второй закон Ньютона динамики вращательного движения абсолютно твердого тела.

На рис. 3.12 показано решение задачи, в которой задано направление вращения симметричного твердого тела относительно оси симметрии и направление внешнего момента сил M , приложенного к этому телу (рис. 3.12, а). Необходимо определить направления кинематических (угловой скорости и углового ускорения) и динамических (момента импульса) характеристик тела. Вектор угловой скорости ω направлен по оси Z, и это направление определяется правилом правого винта (рис. 3.12, б). Направление углового ускорения εr определяется из уравнения (3.25), т.е. направление векторов момента силы и углового ускорения одинаковые.

	Z	L	Z
		ω
	a)		б)

M	M	ε

Рис. 3.12

Направление вектора момента импульса L совпадает с направлением вектора угловой скорости (см. формулу (3.9) в п. 3.3).

3.7.Свободные оси. Вращение тела относительно свободной оси

Вразличных технических устройствах оси вращения элементов закреплены в подшипниках, которые удерживают эти элементы при их вращении. Если ось вращения тела не проходит через центр масс, то такое тело является несбалансированным и при его вращении оси (валы) испытывают динамическую нагрузку. Поскольку динамические

нагрузки определяются центробежными силами FЦБ= mω2R , динами-

50