algebra10_нелін_дворівн
.pdf
|
|
§ 13. Обернені тригонометричні функції |
|
||||||||
Приклад |
Знайдіть cos(arccos 2 ). |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Р о з в ’ я з а н н я |
|
К о м е н т а р |
||||||||
X Нехай |
arccos 2 = ϕ, тоді за озна$ |
Оскільки записϕ = arccos a (| a | m 1) |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
означає, що ϕ [0; π] і cos ϕ = a, то |
||||
ченням арккосинуса одержуємо, що |
|||||||||||
завжди виконується рівність |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
cos (arccos a) = a, | a | m 1 . |
||||
cosϕ = 3. Отже, cos (arccos |
3 )= |
3. Y |
Aле цю формулу можна не запа$ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
м’ятовувати: досить позначити ви% |
||||
|
|
|
|
|
|
|
раз у дужках через ϕ і використати |
||||
|
|
|
|
|
|
|
означення арккосинуса. |
||||
13.3. ФУНКЦІЯ y = arctg x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц я 28 |
|
|
|
|
|
|
|
1. Графік |
|
|
|
||
|
y = tg x |
|
|
y = arctg x |
|||||||
На проміжку (− π ; π ) tg x зростає. |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Значення arctg a |
|
|
|
|||
|
Орієнтир |
|
|
|
|
|
Приклад |
||||
arctg a — це таке число з проміжку |
|
|
|
|
|||||||
(− 2π ; 2π ), тангенс якого дорівнює а. |
arctg |
|
3 = π , оскільки |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
π π |
π (− π ; π ) |
і tg π = 3. |
||||
|
|
|
(− 2; 2), |
3 |
2 |
2 |
3 |
||||
arctg a = ϕ, якщо ϕ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ = α |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
151 |
|
|
|
§14 |
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ |
||||
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ |
|
||||
До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння cos x = a, |
|||||
sin x = a, tg x = a, ctg x = a. |
|
|
|||
Щоб міркування по знаходженню коренів цих рівнянь були більш наочни$ |
|||||
ми, скористаємося графіками відповідних функцій. |
|||||
14. 1. РІВНЯННЯ cos x = a |
|
|
|||
|
|
|
|
Т а б л и ц я 30 |
|
|
1. Графічна ілюстрація і розв’язки рівняння cos x = a |
||||
|
|
Графічна ілюстрація |
|
||
|
Розв’язки |
|
Приклади |
||
|
cos x = a |
|
1. X cosx = 1 , |
||
|
|
|
|
2 |
|
| a | > 1 |
| a | m1 |
x = ± arccos 1 + 2πn, n Z, |
|||
|
|
|
|
2 |
|
Коренів немає |
|
x = ± π + 2πn, n Z. Y |
|||
|
3 |
|
|||
х = ä arccos a + 2πn, n Z |
2. X cosx = |
3. |
|||
Коренів немає, оскільки 3 > 1. Y |
|||||
|
|
|
|||
|
2. Окремі випадки розв’язування рівняння cos x = a |
||||
|
|
|
cos x = 0 |
x = π + πk, k Z |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos x = 1 x = 2πk, k Z |
||
|
|
|
cos x = –1 x = π + 2πk, k Z |
||
|
|
|
158 |
|