Киселева Г.А. Математика часть 2
.pdf2. Площадь криволинейного сектора (ограничивающая кривая задана уравнением в полярных координатах r = r (φ) и двумя лучами φ = φ1, φ = φ2) находится по формуле
|
1 |
|
|
|
S |
2 |
r2 |
d . |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2.4.2. Вычисление длины дуги плоской кривой
а) Если кривая задана уравнением y = f (x) в прямоугольных координатах, то
|
b |
|
|
l 1 f x 2 dx . |
|
|
|
|
a |
|
|
б) Если кривая задана в параметрической форме |
x x t |
, то |
|
|
|||
|
|
y y t |
|
|
|
|
|
|
x t 2 y t 2 dt . |
|
|
l |
|
|
в) Если кривая задана уравнением r = r (φ) в полярных координатах, то
2 |
r 2 r2 d . |
l |
|
1 |
|
2.4.3. Вычисление объемов тел вращения
Объем тела, полученного вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и прямыми x = a, x = b, равен
41
b
V π f x 2 dx .
a
Объем тела, полученного вращением вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной кривой x = φ (y), осью OY и прямыми y = c, y = d, равен
d
V π y 2 dy .
с
3. Несобственные интегралы
3.1. Интегралы по бесконечному промежутку
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования назы-
вают несобственными интегралами первого рода и определяют по формулам:
a
b
f x dx lim |
b |
f x dx ; |
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
f x dx lim |
b |
f x dx; |
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
f x dx lim |
c |
f x dx lim |
b |
f x dx . |
a |
b |
|
||
|
a |
|
c |
|
Если в указанных равенствах существуют конечные пределы, стоящие справа, то существуют и несобственные интегралы, стоящие слева. В этом случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае соответствующие несобственные интегралы расходятся.
42
Примеры
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x |
|
a |
|
|
x |
2 |
|
|
b |
|
1 |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a 1 |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= lim |
|
|
arctg |
x |
|
c |
|
|
lim |
|
|
arctg x |
|
b |
|
= |
|
|
lim |
arctg c arctg a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
arctg b arctg c = arctg c |
|
|
|
π |
|
|
π |
arctg c π. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
b |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
|
b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, если 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
lim |
dx |
lim |
|
|
ln |
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
сходится при > 1 и расходится при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 1.
3.2.Интегралы от неограниченных функций
Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в одной или не-
b
скольких (конечное число) точках [a; b], то f x dx называют
a
несобственным интегралом второго рода.
43
Пусть f (x) имеет бесконечный разрыв в точке c (a, b). Тогда
b |
f x dx lim c ε |
f x dx lim |
b |
f x dx. |
|
|
ε 0 |
|
ε 0 |
|
|
a |
|
a |
|
c ε |
|
Если существуют конечные пределы справа, то интеграл слева сходится.
Примеры
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ln x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dt dx |
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
x |
|
0 |
1 x ln |
|
x |
|
|
|
x |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|||
|
|
ln 2 |
|
dt |
|
|
|
1 |
|
ln 2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= lim |
|
|
|
2 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
t |
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, интеграл расходится.
2. |
|
b |
dx |
α |
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
|
|
x a |
1 |
|
b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
lim |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
ε 0 a |
|
|
|
|
|
ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
если α 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
b a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если α 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b |
|
dx |
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
ln |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||
|
x a |
ε 0 |
|
|
|
|
ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
a x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
b |
dx |
|
|
Таким образом, |
|
сходится при < 1 и расходится |
|
x a |
α |
||
a |
|
|
|
при ≥ 1. |
|
|
|
3.3. Теоремы сравнения
Теорема 1. Если при x ≥ a выполняется 0 f (x) φ (x), то:
|
|
|
|
|
а) |
из сходимости интеграла |
x dx |
следует сходимость |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
интеграла f x dx (из сходимости большего следует сходи- |
||||
|
a |
|
|
|
мость меньшего); |
|
|
|
|
|
|
|
f x dx |
|
б) |
из расходимости интеграла |
|
следует расходи- |
a
мость интеграла x dx (из расходимости меньшего следует
a
расходимость большего).
Теорема 2. Если при любом a ≤ x ≤ b выполняется 0 f (x)φ (x) и если функции f (x) и φ (x) имеют в точке c [a; b] бесконечный разрыв, то:
а) из сходимости интеграла
b
f x dx ;
a
б) из расходимости интеграла
b
мость x dx .
a
b
x dx следует сходимость
a
b
f x dx следует расходи-
a
45
Примеры
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
1. |
Выяснить, сходится или нет |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 1 ex |
|
|
|
|
||||||||||||||||
При всех x ≥ 1 выполняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
2 |
1 |
e |
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||
1 |
x2 |
сходится ( = 2 > 1), следовательно, |
1 |
|
схо- |
||||||||||||||||
x2 1 ex |
|||||||||||||||||||||
дится (по теореме 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 sin x 1 |
|
|
||||||
2. |
Выяснить, сходится или нет |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||||
|
|
5 |
1 x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подынтегральная функция в точке x = 1 терпит бесконечный разрыв.
Для всех х [0; 1) выполняется неравенство
|
|
|
|
2 sin x 1 |
|
2 1 |
|
|
|
3 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
5 1 x |
|
|
5 1 x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 5 |
|
||||
1 |
3 |
|
сходится |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
, |
следовательно, исходный |
||||||||||
1 |
5 |
|||||||||||||
0 |
1 x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл сходится (по теореме 2).
46
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение примерного варианта |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контрольной работы |
|
|
|
|
||
Задача 1. |
Найти интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
|
|
sin 2x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos |
2 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
|
|
x 13 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
x sin 3x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
|
sin 2x dx |
= |
|
t cos2 x 3 |
|
= |
dt |
= |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt 2cos x sin x dx sin 2x dx |
|
|
|||||||||||
cos |
2 |
x 3 |
|
t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
t |
|
C |
|
cos2 x 3 |
|
C . |
|
|
|
|
|||||||
= ln |
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x13
2)x2 2x 8 dx .
|
x 13 |
|
|
x 13 |
|
|
= |
|
A |
|
|
|
B |
|
|
A x 2 B x 4 |
, |
||||
|
x2 2x 8 |
x 4 x 2 |
|
|
x 4 |
x 2 |
|
|
x 4 x 2 |
||||||||||||
x – 13 = A(x + 2) + B(x – 4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x = –2 |
|
–15 = –6B |
B = |
5 |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x = 4 |
|
–9 = 6A A = – |
3 |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 13 |
3 |
|
|
1 |
|
5 |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 2x 8 |
x 4 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
|
|
|
|
x 13 |
|
|
3 |
|
dx |
|
5 |
|
dx |
|
|
= |
3 |
|
|
x 4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 ln |
|
|
|
||||||||||
|
x2 2 x 8 |
2 |
x 4 |
2 |
x 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
5 ln |
|
x 2 |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u x |
|
|
du dx |
|
|
|
|
|
1 xcos 3x |
|||||||
|
|
|
x sin 3x dx |
= |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv sin 3xdx |
|
v |
3 cos3x |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
1 cos 3x dx 1 xcos 3x 1 sin 3x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) ln cos2 x 3 C ;
2) 32 ln x 4 52 ln x 2 C ; 3) 13 xcos 3x 19 sin 3x C .
Задача 2. Вычислить интеграл или доказать его расходимость:
|
dx |
||
|
|||
|
. |
||
x2 6x 11 |
Решение
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||
|
2 |
6x 11 |
|
2 |
6x 11 |
x |
2 |
6x 11 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
b |
|
dx |
|
|
|
|
0 |
|
|
dx |
|
|
||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
2 |
6x 11 |
|
2 |
6x 11 |
x 3 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
a a |
|
b |
0 x |
|
|
a a |
|
2 |
48
+ lim |
|
b |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 3 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
x 3 |
b |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
= |
||||||||||||
|
0 x 3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
3 |
|
|
|
3 |
= |
||||||
|
|
|
|
lim |
arctg |
|
|
|
arctg |
|
|
|
lim |
arctg |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: π2 .
Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e x, y = e - x, x = 1.
Решение
Построим заданную фигуру:
y
y = e x
e
1
y = e - x
1e
0 1 |
x |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
10 = e1 e0 |
|
S ex e x |
dx = exdx |
e x dx = ex |
|
10 e x |
|
|||
|
|
|||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
e 1 e0 = e 1e 2 = |
e 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
(ед2). |
|
49
Ответ: e e1 2 ед2.
Список литературы
Основная литература
1.Кремер Н. Ш . Высшая математика для экономистов: Учебник. –
М.: ЮНИТИ, 2000.
2.Шипачев В . С. Высшая математика: Учебник для вузов. - М.:
Высш. шк., 2001.
Дополнительная литература
1.Минорский В. П . Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов, 2004.
2.Шипачев В . С. Задачник по высшей математике. – М.: Высш.
шк., 2001.
50