Киселева Г.А. Математика часть 3
.pdf1) z = x4 +4x2y3 + 7xy + 1. z'x = 4x3 + 8xy3 + 7y,
z′′ = 12x2 + 8 y3 ,
xx
′′ |
2 |
′′ |
|
zxy = 24xy |
+ 7zyx |
||
|
2) z = sinx · cosy. z'x = cosx · cosy,
z′′ = -sinx · cosy,
xx
z′′ = -cosx · siny
xy
z'y = 12x2y2 + 7x,
z′′ = 24x2 y
yy
24xy2 + 7 (смешанные производные равны).
z'y = -sinx · siny,
z'' = -sinx · cosy,
yy
z'' = -cosx · siny.
yx
Замечание. Аналогично находятся дифференциалы высших по-
рядков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
2 |
′ |
′ |
′′ |
(dx) |
2 |
′′ |
′′ |
(dy) |
2 |
. |
|
z = d (dz ) = d ( fxdx + fy dy) = fxx |
|
+ 2 fxy dxdy + fyy |
|
6.Касательная плоскость
инормаль к поверхности
Плоскость, проходящая через точку М0 поверхности z = f(x; y),
называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке,
если угол между секущей, проходящей через М0 и любую точку М поверхности, и плоскостью стремится к 0, когда точка М стремится
к точке М0.
Можно показать, что касательная плоскость к поверхности z = f(x; y) в точке М0 (x0; y0; f(x0; y0)) определяется уравнением:
z – z 0 = fx'(x0; y0)(x – x 0) + fy'(x0; y0) (y – y 0), где z0 = f (x0;y0), или
fx′(x0 ; y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 ; y0 )( y − y0 ) − (z − z0 ) = 0.
Замечание. Касательная плоскость к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке М0(x0; y0; z0) определяется уравнением:
Fx′(x0 ; y0 ; z0 ) × (x - x0 ) + Fy′(x0 ; y0 ; z0 ) × ( y - y0 ) + Fz′(x0 ; y0 ; z0 ) × (z - z0 ) = 0.
11
Прямая, проходящая через точку М0 поверхности z = f(x; y) и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности.
Можно показать, что нормаль к поверхности z = f(x; y) в точке М0(x0; y0; f(x0; y0)) определяется уравнением (где z0 = f (x0; y0)):
|
|
x − x0 |
|
|
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
|
|
||||
|
|
fx′(x0 ; y0 ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
f y′(x0 ; y0 ) |
|
|
|
−1 |
|
|
|||||
Замечание: Нормаль к поверхности |
|
|
F(x, y, z) |
= 0 в точке |
|||||||||||
М0(x0; y0; z0) определяется уравнением: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x − x0 |
= |
|
|
y − y0 |
= |
|
z − z0 |
|
. |
|||||
|
Fx′(x0 ; y0 ; z0 ) |
|
Fy′(x0 ; y0 ; z0 ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Fz′(x0 ; y0 ; z0 ) |
Пример.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно-
сти z = 1 + x2 + y2 |
в точке М0(1; 1; 3). |
||||||||
′ |
= 2x |
|
M |
= 2, |
′ |
= 2 y |
|
M |
= 2. |
|
|
||||||||
zx |
|
zy |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
Тогда касательная плоскость будет определяться уравнением:
2(x - 1) + 2(y - 1) – ( z - 3) = 0 |
или |
|
2x + 2y – z – 1 = 0. |
|||||
Уравнение нормали будет: |
|
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z − 3 |
. |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
7. Экстремум функции двух переменных
Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности
точки М0(x0; y0).
М0(x0;y0) – точка локального максимума функции z = f(x; y), если существует такая окрестность точки М0, что для всех точек М (x; y) из этой окрестности выполняется: f(x; y) ≤ f(x0; y0).
12
М0(x0; y0) – точка локального минимума функции z = f(x; y), ес-
ли существует такая окрестность точки М0, что для всех точек М (x; y) из этой окрестности выполняется: f(x; y) ≥ f(x0; y0).
Точки локального максимума и локального минимума – точки локальных экстремумов.
Локальный характер экстремума – выполнимость вышеперечисленных условий лишь в некоторой окрестности точки.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке М0(x0; y0) и имеет в этой точке экстремум, то частные производные в этой точке равны 0:
z'x (x0; y0) = z'y (x0; y0) = 0.
Замечание. Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.
Точки, в которых частные производные равны 0 или не существуют, называются критическими точками. Точки экстремума следует искать среди критических точек.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности критической точки (x0; y0) и имеет в этой точке непрерывные частные производные
второго порядка: |
|
′′ |
(x0 ; y0 ) = A, |
fxx |
|
′′ |
(x0 ; y0 ) = B, |
fxy |
|
′′ |
(x0 ; y0 ) = C. |
f yy |
|
Тогда, если |
|
=A B = AC − B2 B C
1)∆ > 0, то в точке М0 функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем при А < 0 – локальный максимум, при А > 0 – локальный минимум;
13
2)∆ < 0, то в точке М0 экстремума нет;
3)∆ = 0, то точка М0 может быть, а может и не быть точкой экстремума. Необходимы дополнительные исследования.
Пример.
Найти точки экстремума функции z = x2 + xy + y2 – 2x – 3y. z'x = 2x + y – 2,
z'y = x + 2y – 3. 2x + y – 2 = 0 x + 2y – 3 = 0
y = 4/3 , x = 1/3.
z′′ |
= 2 = A, |
z′′ |
= 1 = B, |
z'' |
= 2 = C |
= |
2 |
1 |
|
= 3 > 0 . |
||||
xx |
|
xy |
|
|
|
|
|
yy |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, в точке |
|
|
; |
|
|
локальный минимум. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Условный экстремум
Требуется найти экстремум функции z = f(x; y) при условии g (x; y) = 0. При этом z = f(x; y) называется целевой функцией,
g (x; y) = 0 – уравнением связи.
Экстремум – условный.
Функция g (x; y) предполагается известной.
Способы нахождения условного экстремума:
1) Метод подстановки
Из уравнения g (x;y) = 0 выражаем одну из переменных y = φ(x) и подставляем в функцию z = f(x; y) = f(x; φ(x)), получим функцию одной переменной.
Этот метод применим, когда уравнение связи легко разрешить относительно одной из переменных.
Пример.
Найти экстремум функции z = x2 – 3xy+ 12x при условии 6 –
– 2 x – 3y =0 .
14
y = 2 – 2/3x, тогда z = x2 – 6x + 2x2 + 12x = 3x2 + 6x.
z' = 6x + 6 = 0, x = -1, |
y = 8/3 . |
Следовательно, в точке |
(-1; 8/3) условный экстремум. |
2) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим функцию трех переменных:
L(x; y; λ) = f (x; y) + λ g(x; y).
Это функция Лагранжа, где λ – множитель Лагранжа.
Для нахождения условного экстремума функции z = f(x; y) требуется найти локальный экстремум функции L(x; y; λ). Для этого необходимо решить систему уравнений:
L/x/Ly
L/λ
Пример.
Найти экстремум функции z= x2
=0,
=0,
=0.
– 3xy + 12x при условии 6 – 2 x –
– 3y = 0. |
|
|
|
|
Составим функцию Лагранжа: |
|
|||
L(x; y; λ) = x2 |
– 3xy + 12x + λ(6 – 2x – 3y) |
|||
|
%& = 2 − 3 + 12 − 2* = 0 |
|
|
|
|
& |
|
|
|
$ |
% = −3 − 3* = 0 |
|
|
|
%&+ = 6 − 2 − 3 = 0 |
|
λ = 1, = −1, = 0/. |
||
Решая данную систему, получим: |
Следовательно, в точке (-1; 8/3) условный экстремум.
В заключение следует отметить, что метод Лагранжа позволяет находить условные экстремумы. Но вопрос о том, максимум это или минимум, остается открытым. При решении экономических задач, однако, часто сам характер задачи подсказывает, что мы можем ожидать – максимум или минимум. Кроме того, существует
15
простой способ анализа точки экстремума, вытекающий из самого определения.
Пусть (x0; y0) – точка условного экстремума, а f(x0; y0) – соответствующее значение целевой функции. Берется точка (x; y) близкая к точке (x0; y0) и вычисляется значение в ней целевой функции.
Если f (x; y) < f (x0; y0), то в точке (x0; y0) локальный максимум; если f (x; y) > f (x0; y0), то в точке (x0; y0) локальный минимум.
В настоящее время существует большое количество программных пакетов, позволяющих численно решать на компьютерах задачи как условной, так и безусловной оптимизации.
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1
Найти и изобразить область определения функции:
z = |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1− x2 |
y2 −1 |
Решение |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 − x2 > 0, |
|
|||
|
2 |
− 1 |
> 0. |
|
y |
|
1 |
||
|
|
|
|
x < 1, |
|
|
|
|
|
> 1. |
-1 0 |
1 |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
16
Задача 2
Найти приближенно изменение функции z = x3 - y2 при изменении x от 2 до 1,94, y от 2 до 2,06.
Решение
Найдем частные производные в точке М0 ( 2 ; 2).
z¢x |
= |
|
3x2 |
|
|
|
|
|
= |
3× 22 |
|
|
|
|
= 3. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 x3 - y2 |
М0 |
2 23 |
- |
22 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z¢y |
= |
|
-2 y |
|
|
|
= |
-2 × 2 |
|
|
|
|
= -1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 x3 - y2 |
М0 |
2 23 |
- |
22 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Dz » dz = z′ |
( x ; y |
0 |
) × Dx + z′ |
( x ; y |
0 |
) × Dy. |
||||||||||||||
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
y |
|
0 |
|
|||||||
По условию x0 |
= 2, x = 1,94 − 2 = −0, 06; y0 = 2, y = 2, 06 − |
|||||||||||||||||||
− 2 = 0, 06. Тогда |
Dz » 3 ×(-0, 06) + (-1) × 0, 06 = -0, 24. |
Ответ: – 0,24.
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найти |
частные |
|
производные второго |
|
порядка функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||
z = x × ln |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z¢x = x¢x × ln |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
y |
|
y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
+ x ln |
|
|
|
= 1× ln |
|
|
+ x × |
|
× |
- |
|
|
|
= ln |
|
-1, |
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
y |
x |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z¢ |
= x × |
x |
× |
1 |
|
= |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z¢¢x2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
′ |
x |
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ln |
|
|
|
|
-1 |
= |
|
|
× |
- |
|
|
|
= - |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
z¢¢ |
= |
ln |
y |
-1 ′ |
= |
x |
× |
1 |
= |
1 |
, |
|
|
|
|
||||||||
xy |
|
|
|
|
|
y x y |
|||||
|
|
|
x y |
|
z¢¢2 |
= |
|
x |
′ |
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
||
|
|
|
y y |
z¢¢ |
= |
|
x ′ |
|
|
|
|
||
yx |
|
|
||
|
|
|
y x |
Ответ: z¢¢x2
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
= x |
- |
|
= - |
, |
|||
2 |
2 |
||||||
|
|
y |
|
|
y |
=1 . y
= - |
1 |
; z¢¢ |
= z¢¢ |
= |
1 |
; z¢¢2 = - |
x |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
xy |
yx |
|
y |
y |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности x3 + x3 y - y3 z + 6x + 54 = 0 в точке (0; 3; 2 )
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем |
|
|
частные |
производные |
функции |
F = x3 + x3 y - y3 z + |
|||||||||||||||||
+ 6x + 54 в точке M 0 (0; 3; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F ¢ = 3x2 |
|
+ 3x2 y + 6 |
|
= 3 × 02 + 3 × 02 ×3 + 6 = 6, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F¢ = x3 |
- 3y2 z |
|
= 03 - 3 ×32 × 2 = -54, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Fz′ = − y3 |
|
|
|
= −33 = −27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Касательная плоскость определяется уравнением: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F ′( x , y |
, z |
0 |
) ( x − x |
) + F ′ |
( x , y |
, z |
0 |
)( y − y |
0 |
) + F ′( x , y |
, z |
0 |
)( z − z |
0 |
) = 0 |
||||||||
x |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
y |
0 0 |
|
|
|
z 0 0 |
|
|
|
Тогда
6( x − 0) − 54 ( y − 3) − 27 ( z − 2) = 0,
2x −18 y + 54 − 9z + 18 = 0, 2x − 18 y − 9z + 72 = 0.
18
Уравнение нормали имеет вид
|
x − x0 |
= |
|
|
|
y − y0 |
= |
|
|
z − z0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
Fx′( x0 , y0 , z0 ) |
|
Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) |
Fz′( x0 , y0 , z0 ) |
||||||||||||||
Тогда |
|
x − 0 |
|
|
y − 3 |
|
|
|
z − 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
= |
= |
, |
|||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
−54 |
|
−27 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
= |
y − 3 |
= |
z − 2 |
. |
||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−18 |
−9 |
Ответ: уравнение касательной плоскости 2x − 18 y − 9z + 72 = 0 ; |
|
уравнение нормали x = y − 3 = z − 2 . |
|
2 −18 |
−9 |
Задача 5
Найти точки экстремума функции z = 4x3 +12x2 + 4 y3 +12 y2 + 4.
Решение
′ |
= 12x |
2 |
+ 24x, |
|
|
|
|
|||||
zx |
|
|
|
|
|
|
||||||
′ |
= 12 y |
2 |
|
+ 24 y, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
zy |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0, |
|
|
|
2 |
+ 24x = 0, |
|
|
x = −2, |
||||||
12x |
2 |
|
|
|
y = 0, |
|||||||
|
|
|
+ 24 y = 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
y = −2. |
|||||||||
12 y |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0;0), |
|
(0; − 2), |
|
(−2;0), |
|
(−2; 2) – критические точки. |
||||||
z′′2 = |
(12x2 + 24x)′ = 24x + 24 |
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
x |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
zxy = (12x |
+ 24x) |
= 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
z′′2 = (12 у2 + 24 у)′ = 24 y + 24 |
|
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Проверим критические точки на экстремум: |
|||||||||||||||
1) |
(0; 0) |
|
|
|
z′′2 (0; 0) = 24, |
z′′xy (0; 0) = 0, |
z′′2 (0; 0) = 24. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
= |
|
|
|
|
|
24 |
0 |
|
= 576 > 0 экстремум есть. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
z′′2 (0;0) > 0 в точке (0; 0) – локальный минимум. |
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z′′2 (0; − 2) = 24, |
|
z′′2 (0; − 2) = −24. |
||||
2) |
(0; − 2) |
z′′xy (0; − 2) = 0, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
= |
|
|
24 |
0 |
|
|
|
= − 576 < 0 экстремума нет. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
−24 |
|
|
|
|
|
|||||
3) |
(−2; 0) |
|
z′′2 (−2; 0) = −24, |
z′′xy (−2; 0) = 0, |
z′′2 (−2; 0) = 24. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
= |
|
|
|
−24 |
0 |
|
= − 576 < 0 экстремума нет. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
24 |
|
|
|
|
|
|||||
4) |
(−2; − 2) |
|
|
|
z′′2 (−2; − 2) = −24, z′′xy (−2; − 2) = 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z′′2 (−2; − 2) = −24. |
|
|
|||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
−24 |
|
0 |
|
|
= 576 > 0 экстремум есть. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
−24 |
|
|
|
z′′x2 (−2; − 2) < 0 в точке (−2; − 2) – локальный максимум.
Ответ: функция z имеет в точке (0; 0) локальный минимум, в точке (−2; − 2) локальный максимум.
20