Bessel functions

и приведем полученное уравнение к виду

2

00 +

R

0 +

20 2

n

!21

2

m2

3

= 0 :

(142)

l

R

4@

A

5 R

Решение этого уравнения должно удовлетворять условию R(R) = 0 на поверхности цилиндра, а по физическим соображениям эта функция обязана быть ограниченной внутри цилиндра, в частности, на оси симметрии = 0.

В четвертый раз повторим рассуждения о константах.

Åñëè 2 ln 2 = 2 < 0, то уравнение (142) сводится к модифицированному уравнению Бесселя, и его решение имеет вид:

R( ) = Cm(1) Im( ) + Cm(2) Km( ) ;

(143)

ãäå Im è Km - функции Бесселя мнимого аргумента. Как мы уже знаем, функция Km неограниченно возрастает, если е¼ аргумент стремится к нулю,

и потому данная функция может входить в (143) только с нулевыми константами Cm(2)=0. Мы знаем также, что у функции Im нет вещественных корней при x > 0, а потому заставить решение (143) обратиться в нуль при = R

невозможно, как невозможно было обратить в нуль гиперболические функ-

ции (134) на верхней и нижней крышке цилиндра одновременно.

Åñëè 2 ln 2 = 0, но m 6= 0, уравнение (142) превращается в уравнение Эйлера, решение которого выражается через степенные функции

		R( ) = Cm(1) m + Cm(2) m :	(144)
Данная функция ограничена в нуле только если C(2)			=0, но тогда возрастаю-
		m
щая функция m не сможет обратиться в нуль при =R.
Åñëè 2	n	2 = 0 и m = 0, то решение уравнения (142)
	l
		R( ) = C1 log + C2	(145)

принимает неограниченное значение на оси цилиндра.

Остается предположить, что 2 ln 2 = 2 > 0, тогда (142) сводится к уравнению Бесселя, и его общее решение имеет вид

R( ) = Cm(1)Jm( ) + Cm(2) Ym( ) :

(146)

Функции Вебера-Шлефли Ym( ), как мы специально подчеркивали в конце раздела 1.2.2., являются неограниченными при = 0, и мы вновь обязаны

31

(im)

принять, что Cm(2)=0. Что же касается функций Бесселя первого рода Jm( ), они имеют бесчисленное множество положительных вещественных корней и способны обеспечить обращение в нуль функции R( ) на поверхности ци-

линдра по аналогии с тем, как это удалось сделать с тригонометрическими

функциями в (136)-(137). Полагая Jm( R) = 0, найдем, что = R , ãäå символом (im) обозначен i-ый по счету корень функции Бесселя индекса m.

Завершая построение решения исходного линейного уравнения теплопроводности, запишем следующую тройную сумму

			1 1		1
	U =		iX X X
			=1 n=1 m=0
	Jm	0	i(m)		1 sin
			R
		B			C
		@			A

8

2

2

i(m)

2

n

23 9

exp

>

a

0

1

+

!

t>

l

>

6B

R

7

>

<

C

=

6@

A

7

>

4

5

>

>

>

:

!

;

nz

Cimn(1)

cos m'+Cimn(2)

sin m' :

(147)

h

Функция U удовлетворяет уравнению (126) по построению. Эта функция ограничена во всех точках внутри цилиндра для любого момента времени и периодична по полярному углу. При z = 0 и z = h функция U обращается

в нуль за счет множителя sin hnz . При = R найденная функция обращается в нуль, поскольку Jm( (im)) = 0. Оставшиеся неотождествленными

константы Cimn(1) è Cimn(2) могут быть найдены с помощью начального условия (129). Действительно, полагая t = 0 в (147), получим соотношение

F ( ; '; z) = 1 1 1	Jm 0 i(m)		1
iX X X		R		C
	B
	@			A

		=1 n=1 m=0
sin	nz	! Cimn(1) cos m'+Cimn(2) sin m' :	(148)
	h

Используя соотношения ортогональности-нормировки для тригонометриче- ских функций

2

2

Z

cos m0' cos m'd' = mm0

;

Z

cos m0' sin m'd' = 0 ;

0

0

h dz sin

nz

sin

0

n0z

1

=

h

nn0

;

h

h

2

Z

!

@

A

0

легко получить первое интегральное следствие (148):

2 d' cos m'

h dz sin

nz

F ( ; '; z) =

h 1

C(1)

Jm

0

i(m)

1

:

h

2

R

Z

Z

!

=1

0

0

iX

imn

B

C

@

A

(149)

(150)

(151)

32

Воспользовавшись далее условием ортогональности - нормировки (122) для функций Бесселя первого рода, получим набор коэффициентов Cimn(1) :

C

(1)

=

4

imn

hR2Jm2 +1 i(m)

R 2 h

d d'dzF ( ; '; z)Jm

0

i(m)

1 cos m' sin

nz

:

(152)

Z

Z

Z

R

h

B

C

!

0

0

0

@

A

Следует особо напомнить, что согласно правилам разложения в ряд Фурье формула (152) справедлива только для m 1, а для m = 0 следует исполь-

зовать формулу с половинным коэффициентом

(1) 2

Ci0n = hR2J12 (0)i

	R 2 h			d d'dzF ( ; '; z)J0	0	i(0)	1 sin
	Z	Z	Z			R
					B		C
	0	0	0
					@		A

Коэффициенты				4
C	(2)	=
	imn		hR2Jm2 +1 i(m)

nz	!	:	(153)
h

	R 2 h			d d'dzF ( ; '; z)Jm	0	i(m)		1 sin m' sin	nz	(154)
	Z	Z	Z			R			h
					B			C		!
	0	0	0
					@			A

находятся аналогично. Поставленная задача решена, причем при е¼ решении мы существенно использовали свойства функций Бесселя первого и второго рода, а также функций Бесселя мнимого аргумента.

3.3.2. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в сферической системе координат

Целый ряд физических задач приводит к уравнению Гельмгольца (Helmholtz)

U + k2U = 0 :	(155)
Здесь k - некоторая вообще говоря ненулевая константа; если	k = 0, óðàâ-

нение Гельмгольца превращается в уравнение Лапласа (Laplace). В сфериче- ской системе координат уравнение Гельмгольца удобно записать в виде

1	@		r2	@U	!	+	1	'U + k2U = 0 ;	(156)
2		@r					2
r				@r			r

33

где символом ' обозначена угловая часть оператора Лапласа :

'

1 @

sin

@

!

+

1

@2

:

(157)

sin @

2

2

@

sin

@'

Не останавливаясь на деталях, напомним, что так называемые сферические функции Ymn( ; ') являются собственными функциями данного оператора, то есть, удовлетворяют соотношению

'Ymn( ; ') = n(n + 1)Ymn( ; ') ;	(158)
где n - целые положительные числа. Сферические функции [4,5]
Ymn( ; ') = Pn(m)(cos ) Cm(1) cos m' + Cm(2) sin m'	(159)

выражаются через присоединенные полиномы Лежандра Pn(m)(cos ). Используя метод разделения переменных, представим решение уравнения (155) в

виде суммы	1	1
	nX X		<n(r)Ymn( ; ') ;
	U(r; ; ') =			(160)

=0 m=0

тогда радиальные функции <n(r) обязаны удовлетворять уравнению

1

d

d

!

2

n n + 1)

3

r2

n +

4

k2

(

5 <

n = 0 :

(161)

2

dr

dr

r

2

r

<

1

Заменой искомой функции <n = p

Yn(r) уравнение (161) сводится к уравне-

r

нию Бесселя полуцелого индекса

r2

Y

n00(r) + r

Y

n0 (r) +

2k2r2

n +

1

!23

n = 0 :

(162)

4

2

5 Y

Если k 6= 0, общее решение уравнения (161) имеет вид

1

Cn(1)Jn+21 (kr) + Cn(2)Yn+21 (kr) :

<n(r) = p

(163)

r

Если k = 0, то ключевое уравнение (161) превращается в уравнение Эйлера,

а решение последнего выражается через степенные функции

	<n(r) = C~n(1)rn + C~n(2)r (n+1) :					(164)
(1)	(2)	~(1)	~(2)	(1)	(2)
Коэффициенты Cn ,	Cn	, Cn	, Cn	, Cm	è Cm находятся из решения соот-

ветствующей граничной задачи.

34

3.3.3.Функции состояния релятивистского газа

Âтеории релятивистских статистических систем функция

	8	cp		9
f(p) = A exp			m2c2 + p2
			kBT
	<			=
	:			;

описывает изотропное однородное распределения частиц по импульсам

q

(165)

p, ãäå

p (p~)2, m - масса покоя частицы, c - скорость света, kB- постоянная Больц- мана, T - температура, A- нормировочный множитель. Число частиц в единице объема N, плотность энергии E, давление в системе P определяются следующими интегралами с функцией распределения (165):

				1
		N = 4 Z					p2dp f(p) ;						(166)
				0
			1
	E = 4 c Z			p2dp				m2c2	+ p2			f(p) ;	(167)
			0				q
			1				p4
	P =	4	Z		p					dp f(p) :			(168)
		3
						m2c2 + p2
			0

С помощью замены переменной интегрирования p = mc sinh t удается преобразовать квадратный корень к гиперболическому косинусу mc cosh t, и искомые величины представляются интегралами

				1
N = 4 Am3c3				Z	dt sinh2 t cosh te cosh t ;		(169)
				0
				1
E = 4 Am4c5			Z		dt sinh2 t cosh2 te cosh t ;		(170)
			0
	4				1
P =		m4c5A Z				dt sinh4 te cosh t ;	(171)
	3
					0

где безразмерный параметр = mc2

kBT задает отношение энергии покоя частиц к их средней кинетической энергии. Согласно (107) из интегрального пред-

ставления функций Макдональда K ( ) следует, что

		1
K1( ) = Z			dt sinh2 te cosh t ;		(172)
		0
	1		1
K2( ) =		2	Z	dt sinh4 te cosh t :	(173)
	3
			0

35

Учитывая также дифференциальное соотношение

23

	d K1( )				K2( )		(174)
		4		5 =
	d

вытекающее из (62), и рекуррентное соотношение

K3( ) K1( ) =	4
	K2	( ) ;	(175)

следствие формулы (63), приходим к следующим трем выводам. Во-первых, из формулы для плотности числа частиц находим нормировочный коэффициент A:

3 K2( )

!

N

N = 4 A(mc)

A =

:

(176)

4 m3c3K2( )

Во-вторых, видим, что давление пропорционально плотности

N и темпера-

òóðå T :

mc2

4 5

K2( )

P = 4 m c

A

= N

= NkBT :

(177)

2

Наконец, плотность энергии выражается через отношение функций Макдональда:

E = 4 Am4c5				Z01 sinh2 t(1 + sinh2 t)dte cosh t =														:
= 4 Am4c5	"K1 + 3							22	# = NkBT		2		K	3	( )		13		(178)
								K			4						5
													K2		( )
Удельная энтальпия (теплосодержание) системы h равна в этом случае
	h					E + P			= mc2	K3	( )		:						(179)
						N				K2	( )

Подводя итог, подчеркн¼м ещ¼ раз, что функции Макдональда, то есть модифицированные функции Бесселя, играют фундаментальную роль при описании состояния релятивистских кинетических систем.

36

Литература

1.Г.Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. ×.1. Ì.: ÈË, 1949.

2.Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, Т.1,2. М.: Наука, 1966.

3.Н.Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М.: ГИФМЛ, 1963.

4.А.Н. Тихонов, А.А. Самарский Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

5.Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФМЛ, 1962.

6.Э. Камке Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям . М.: Наука, 1976.

7.Л.И. Чибрикова. Избранные главы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Казанский Фонд "Математика". Казань. 1996.

37

Содержание
ЛЕКЦИЯ I. Цилиндрические функции как фундаментальные
решения дифференциального уравнения Бесселя	4
1.1. Дифференциальные уравнения, определяющие функции Бесселя	4
1.2. Представление цилиндрических функций с помощью обобщенных
степенных рядов	5
1.2.1. Функции Бесселя первого рода	5
1.2.2. Функции Бесселя второго рода - функции Вебера-Шлефли	10
1.2.3. Функции Бесселя третьего рода - функции Ханкеля	11
1.2.4. Функции Бесселя мнимого аргумента	11
1.3. Замечание о дифференциальных уравнениях, сводящихся к
уравнениям Бесселя	12
ЛЕКЦИЯ II. Интегральные представления функций Бесселя,
рекуррентные соотношения и производящая функция	14
2.1. Представление функций Бесселя с помощью рекуррентных
соотношений	14
2.1.1. Вывод рекуррентных соотношений	14
2.1.2. Приложение рекуррентных соотношений к функциям Бесселя
целого индекса ( = n)	16
2.1.3. Функции Бесселя полуцелого индекса ( =n+21)	17
2.2. Представление функций Бесселя целого индекса с помощью
производящей функции	20
2.3. Интегральные представления функций Бесселя	21
2.3.1. Интегральное представление, введенное Бесселем для функций
целого индекса =n	21
2.3.2. Представление функций Бесселя произвольного индекса
с помощью интеграла Пуассона	22

2.3.3. Интегральные представления модифицированных функций Бесселя 23 2.4. Об асимптотическом поведении функций Бесселя при больших

значениях аргумента	24
2.5. О корнях функций Бесселя	25

38

ЛЕКЦИЯ III. Ряды Фурье-Бесселя и их приложения	26
3.1. Ортогональность функций Бесселя	26
3.2. Ряды Фурье-Бесселя	27
3.3. О некоторых приложениях функций Бесселя	28
3.3.1. Задача о распространение тепла в цилиндре конечных размеров	28
3.3.2. Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в сферической
системе координат	33
3.3.3. Функции состояния релятивистского газа	35
Литература	37
Содержание	38

39