УМК ТеорМех для Мех2012

также непрерывная кривая, которая называется подвижной центроидой.

Отсюда следует, что при движении фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения (точка касания, являющаяся для фигуры мгновенным центром скоростей, имеет скорость, равную нулю).

Скорости точек плоской фигуры

Пусть плоская фигура движется по отношению к основанию системы отсчета .

Точка А – полюс и A - его радиус-вектор, точка М – произвольная точка фигуры и M -

ее радиус-вектор. Тогда в любой момент времени t : M A r .

Дифференцируем по t

d M

d A

dr

. Так как AM=const, то r

dt

dt

dt

dr

меняется только по направлению, следовательно,

r .

dt

Отсюда, vM vA r или vM vA vMA

Скорость любой точки

М

складывается

из

скорости

произвольно выбранного полюса А, общей для всех точек фигуры

(скорость поступательной части движения фигуры) и скорости vMA r , происходящей вследствие вращения фигуры вокруг

полюса А. vMA направлена перпендикулярно МА в сторону вращения фигуры.

vMA AM .

Таким образом, зная скорость какой-нибудь одной точки А плоской фигуры и угловую скорость фигуры , можно найти скорость любой точки фигуры.

Теорема. Если известны скорость какой-либо точки фигуры и направление скорости другой ее точки, то можно определить скорость любой точки фигуры с помощью мгновенного центра вращения.

Теорема. Проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на его направление равны между собой.

Лекция №6

Ускорения точек плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений

Движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного движения фигуры вместе с полюсом и ее вращение вокруг полюса.

Теорема. Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении вокруг полюса.

wM	wA	wMA

wMA wMAвр wMAцс - полное ускорение точки М во вращении вокруг полюса А. По модулю:

wвр

r AM; wцс

2

r 2

AM ,

MA

MA

wвр

w

wвр 2

wцс 2

MА 2

4 ;

tg

.

MA

wцс

MA

MA

MA

2

MA

Направление wMAвр всегда соответствует направлению . Не следует смешивать нормальное ускорение точки с центростремительным ускорением вокруг полюса, а касательное ускорение – с вращательным вокруг полюса.

wn не зависит от выбора полюса и направлено перпендикулярно к скорости, то есть по мгновенному радиусу к мгновенному центру скоростей. wцс зависит от полюса и направлено

всегда по радиусу к полюсу. w направлено по скорости точки или противоположно v , то есть не зависит от полюса, wвр зависит от выбора полюса и направлено перпендикулярно к прямой

АМ.

Мгновенный центр ускорений

Теорема. В каждый момент движения плоской фигуры в своей плоскости (если0, 0), существует точка плоской фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю.

Точка Q, ускорение которой в данный момент времени равно нулю, называется

мгновенным центром ускорений.

Если мгновенный центр ускорений принять за полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры определится

для

любой точки

В, К и т.д.

как:wM

wQ

wMQ . Аналогично

wB wQB , wK wQK .

wA QA

2

4

w

QB

w

QK

По модулю: wK QK

2

4

B

;

K

wA

QA

wA

QA

wB QB

2

4

Т.е., ускорения точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям этих точек до мгновенного центра ускорений. Угол между ускорением точки и отрезком, соединяющим ее с мгновенным центром ускорений для всех точек фигуры одинаков и равен .

Итак, в каждый момент времени ускорения точек плоской фигуры таковы, как будто плоская фигура совершает вращение вокруг неподвижной точки – мгновенного центра ускорений Q.

В общем случае мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений – разные точки.

Если фигура совершает чисто вращательное движение, то центры P и Q совпадают с неподвижным центром вращения плоской фигуры.

Частные случаи нахождения мгновенного центра ускорений

1. Пусть 0, 0 ( const , либо min ), тогда

max

tg 2 0 0.

Следовательно, мгновенный центр ускорений Q расположен в точке пересечения прямых, по которым направлены ускорения точек плоской фигуры. Все ускорения направлены к Q, так как wQврA,B,C 0, то есть

wА wQ wQAвр wQAцс wА wQAцс

2. 0, 0 . Это возможно при мгновенном поступательном движении. Тогда

tg						. Этот угол откладывается от	w в направлении . Мгновенный центр
	2
				2

ускорений лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям.

wA wQ wQAвр wQAцс wQAвр .

Способы вычисления углового ускорения

1. Известен угол поворота или угловая скорость в зависимости от времени t, тогда

	d		d2	.
	dt
			dt2

2. Угловая скорость найдена через мгновенный центр скоростей: vA . Дифференцируя

по времени:

AP

d

1

dv

d

1

A

v

A

.

AP

dt

dt

dt

AP

а) AP const во всё время движения, следовательно,

1

dvA

1

w .

AP

AP dt

A

б) AP AP(t) - величина переменная во всё время движения. Тогда находится путём

проектирования уравнения

wM wA wMAвр wMAцс .

Здесь wMAвр MA. Отсюда находим .

Лекция №7

Сложное движение точки. Основные понятия. Полная и относительная производные от вектора. Cложение скоростей.

Сложное движение точки – это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.

Например, лодка, переплывающая реку; пассажир, перемещающийся в вагоне движущегося поезда или по палубе плывущего парохода; человек, перемещающийся по палубе движущегося

эскалатора, и т.д.

Пусть точка движется относительно некоторой подвижной системы координат Оxyz, которая в свою очередь перемещается по отношению к основной

(неподвижной) системе . Тогда движение, скорость

и ускорение точки (vr ,wr ), рассматриваемое по отношению к системе Охуz, называется относительными, а по отношению к системе - абсолютными (va ,wa ).

Движение подвижной системы Оxyz по отношению к неподвижной является для движущейся точки переносным движением, а скорость и ускорение той

неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, в которой в данный момент находится движущаяся точка, называются переносными. Иным образом,

переносные скорость и ускорение можно в каждый момент времени представить себе как ту скорость и то ускорение, которые движущаяся точка имела бы в данный момент, если она, начиная с этого момента, оказалась бы жестко связанной с подвижной системой (т.е. перестала бы совершать относительное движение).

Например, если человек идет вдоль радиуса вращающейся платформы, то с платформой можно связать подвижную систему отсчета, а с поверхностью земли – неподвижную. Тогда движение платформы является переносным, движение человека по отношению к ней - относительным, а движение человека по отношению к Земле - абсолютным.

Основная задача изучения сложного движения состоит в установлении закономерностей между относительными, переносными и абсолютными скоростями и ускорениями точки.

Пусть точка движется относительно некоторой подвижной системы координат Оxyz , которая перемещается по отношению к основной (неподвижной ) системе .

Тогда движение, скорость и ускорение точки, рассматриваемые по отношению к системе Оxyz, называются относительными, а по отношению к - абсолютными (движение еще называется сложным). Движение подвижной системы Оxyz по отношению к неподвижнойявляется для движущейся точки переносным движением, а v и w той неизменно связанной с подвижной системой координат точки пространства, в которой в данный момент находится движущаяся точка, называются переносными (т.е., как если бы точка М не совершала относительное движение).

Сложение скоростей

Рассмотрим сложное (абсолютное) движение точки М. За

время	t t1	t эта точка совершает вдоль		относительной
траектории АВ относительное			перемещение (вектор MM1 ).
Сама	кривая	АВ переходит	в кривую A1B1	за время t .

Одновременно точка m кривой АВ (в которой в момент t находилась точка М) совершит переносное перемещение

mm1 Mm1 . В результате точка М придет в положение M1 и за время t совершит абсолютное перемещение MM1 .

Mm1M1 : MM1 Mm1 m1M1

Разделим на t и перейдем к пределу:

lim

MM1

lim

Mm1

lim

m1M1

t

t 0

t

t 0 t

t 0

По определению,

т.к.

при t 0 кривая

A1B1 к AB, то в пределе имеем

lim

m1M1

=lim

MM

=vîòí

vr

t 0

t

t 0 t

В результате:

va ve vr

(vr ,ve,va

направлены

по касательным к

соответствующим

траекториям).

Теорема о сложении скоростей: При сложном движении абсолютная скорость точки

равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

, где - угол между направлениями v

и v .

По модулю:va

ve2 vr2

2vr2ve2

cos

e

r

Полная и относительная производные от вектора

Пусть подвижная и неподвижная система координат имеют общее начало О.

- мгновенная

угловая скорость

подвижной системы координат

по отношению к

неподвижной. Рассмотрим точку М, совершающую движение, независимо от Oxyz. Тогда

вектор r OM в разных системах изменяется по-разному.

За время t

в разных системах

вектор будет иметь разное приращение:

r

r

и

(O )

(Oxyz)

Разделим на t

и, переходя к пределу, получим:

dr

lim

r

- абсолютная или полная

t

~

~

dt t 0

производная и

dr

lim

r

- относительная или локальная производная.

dt

t 0

t

Найдем зависимость между этими производными.

Из определения v

и v

следует, что

d~r

dr

т.к. v

= v

+ v

r

a

vr

,

va

,

a

r

e

dt

dt

где

ve-

скорость точки пространства, неизменимо связанной с Oxyz, в которой в данный

момент находится точка М. Тогда

(формула Эйлера для любой точки вращающегося

ve

r

твердого тела).

~

~

dr

dr

r

или,

для произвольного вектора a:

da

da

a

dt

dt

dt

dt

a axi ay j azk .

Выведем эту же формулу по другому:

da

da

x

day

da

z

di

dj

dk

Дифференцируем по t :

(

i

j

k) (ax

ay

az

)

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

di

,

dj

,

dk

-

скорости

концов

единичных векторов,

т.е.

триэдра Oxyz,

следовательно, по

dt

dt

dt

формуле Эйлера:

di

=

i ,

dj

=

,

dk

=

.

j

k

dt

da

d~a

dt

dt

d~a

d~a

Тогда:

ax i ay j az k

(axi ay j azk)

a

dt

dt

dt

~

dt

Окончательно имеем:

da

da

a

dt

dt

Лекция № 8

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Ускорение сложного движения точки М, или абсолютное ускорение этой точки, равно производной от абсолютной скорости точки М по t:

dv

a

w

dt

Дифференцируя по t, получим:

a

d2i

d2 j

d2k

di

dj

dk

wa

0

x

y

z

)

(1)

xi yj

zk

2(x

dt

y

dt

z

dt2

dt2

dt2

dt

Разделим слагаемые правой части этого равенства на три группы.

К первой

группе отнесем

слагаемые, содержащие только производные от относительных координат x, y, z, но не

содержащие производных от векторов 0 ,i, j,k , т.е.

wr xi yj zk

Ко второй группе – слагаемые, которые содержат только производные от векторов 0 ,i, j,k ,

но не содержащие производных от относительных координат x,y,z, т.е.

d2i

d2 j

d2k

we 0

x

y

z

.

dt2

dt2

dt2

Осталась еще одна группа слагаемых, обозначим ее

di

dj

dk

)

wc 2(x

y

z

dt

dt

dt

Каждая из групп представляет собой некоторое ускорение. Выясним их физический смысл. Ускорение wr вычисляется так, как если бы подвижная система Oxyz покоилась, а

точка М двигалась. Поэтому wr есть относительное ускорение точки М. Ускорение we

вычисляется в предположении, что сама точка М покоится по отношению к подвижной системе координат Oxyz и перемещается вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной

системе координат . Поэтому

we есть переносное ускорение точки М. Третья группа

слагаемых не относится ни к w , ни к w . Учитывая, что

di

=

i ,

dj

=

,

dk

=

,

j

k

r

e

dt

dt

dt

третье ускорение можно преобразовать к виду:

wc 2 vr

Это ускорение называют ускорением Кориолиса или поворотным ускорением, так как оно появляется в случае вращения подвижной системы координат. С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительных движений.

Равенство (1) теперь имеет вид

wa we wr wc

(2)

Формула (2) представляет собой теорему сложения ускорений:

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного, и кориолисового ускорения.

Из (2) следует, что wc 2wevr sin(we,vr)

Направление ускорения Кориолиса wc определяется по правилу буравчика.

Случаи, когда кориолисово ускорение равно нулю:

1.Если переносное движение есть поступательное, то e=0 wc=0

2.Если vr we, т.е. относительное движение точки происходит по направлению,

параллельному оси переносного вращения, то wc=0

3.Точка не имеет движения относительно подвижной системы координат vr =0 wc=0

Лекция №9

Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных скоростей. Сложение мгновенных угловых скоростей. Сложение мгновенных угловой и поступательной скоростей.

Твердое тело движется относительно системы отсчета Оxyz, которая перемещается по отношению к неподвижной системе Oa . Пусть v1M - относительная скорость какой-либо

точки М тела, v1M - переносная скорость (скорость той связанной с Оxyz точки пространства, в которой в данной момент находится точка М).

Тогда абсолютная скорость точка М в сложном движении может быть представлена

формулой:

vM v1M v2M

Слагаемые движения коммутативны (распределение скоростей не изменится, если относительную и переносную скорость поменять местами ).

Будем определять вид результирующего сложного движения в каждый момент t при частных предположениях о характере относительного и переносного движений (т.е. речь идет о сложении мгновенных, бесконечно малых, перемещений тела).

Все изложенное распределяется и на случай, когда тело участвует в n движениях.

Сложение поступательных скоростей

Пусть v1- скорость мгновенного поступательного движение твердого тела относительно системы координат Оxyz, а v2- скорость мгновенного поступательного движения системы

Оxyz относительно системы Oa . Для произвольной точки М тела по теореме о сложении

скоростей имеем: va= vr + ve или (в нашем случае) v	v1	v2.

М - произвольная точка все точки тела имеют одинаковую скорость v в данный момент исложное движение тела является мгновенно поступательным.

	n
Для случая n составляющих: v		v .
	i 1	i

Сложение мгновенных угловых скоростей

Пусть твердое тело совершает мгновенное вращение относительно системы Оxyz, а та - мгновенное вращение относительно системы Oa .

Возможны случаи:

1.мгновенные угловые скорости пересекаются в одной точке, тогда мгновенная угловая скорость результирующего движения будет:

n

i

i 1

2.мгновенные угловые скорости параллельны и направлены в одну сторону:

1 2

3.мгновенные угловые скорости антипараллельны:

1 2

Пара вращений

Совокупность двух мгновенных вращений вокруг параллельных осей с одинаковыми по модулю и противоположными по направлению угловыми скоростями образует пару мгновенных вращений или просто пару вращений.

1 2

Вэтом случае угловая скорость результирующего движения 0, а мгновенная ось результирующего вращения уходит в бесконечность. Следовательно, результирующее движение не является вращением.

Покажем, что пара вращений дает мгновенно-поступательное движение. Для любой точки

Мимеем:

v1 AM 2 BM 1 AM 1 BM 1 (AM BM) 1 AB.

Так как точка М – произвольная, то скорости всех точек тела в данный момент времени равны друг другу. Т.е. пара мгновенных угловых скоростей эквивалентна поступательной

скорости. Расстояние d между угловыми скоростями 1 и 2 называется плечом пары.

Сложение мгновенных угловой и поступательной скоростей

1. Поступательная скорость							перпендикулярна к мгновенной оси вращения. Вместо v берем
пару (		',				и			'	уничтожаются. Остается только
			'). Тогда

мгновенное вращение вокруг другой оси В-b с угловой скоростью '=

.

Таким образом, при сложении мгновенного вращательного движения и поступательного движения результирующее движение представляет собой мгновенное вращение с такой же угловой скоростью, но вокруг другой

оси, смещенной на расстояние d v .

2. Поступательная скорость параллельна оси вращения (результирующее движение представляет собой либо перманентное винтовое движение,

либо мгновенное винтовое движение). 2.1. Перманентное винтовое движение.

v, оба движения равномерны. Результирующее

движение называется перманентным винтовым движением, ось вращения называется осью винта.

2.2. Мгновенное винтовое движение будет в случае, если складываются мгновенное вращение с угловой

скоростью			и			поступательное	движение	со
скоростью	v				.	Результирующее	движение	–

мгновенно винтовое движение, ось этого винта – мгновенная винтовая ось. С течением времени положение мгновенной винтовой оси меняется.

3. Поступательная скорость образует произвольный угол с мгновенной осью вращения. Результирующее движение будет мгновенно-винтовым.

Лекция 10

Приведение системы скользящих векторов. Главный вектор и главный момент. Изменение центра приведения. Инварианты приведения.

Приведение системы скользящих векторов. Главный вектор и главный момент

Рассмотрим самый общий случай, когда тело участвует в k вращательных движениях с мгновенными угловыми скоростями 1 ,…, k и в m поступательных движениях со скоростями v1,…, vm . Но, как известно, любой вектор v приводится к паре, следовательно, общий случай

представляет собой сложение мгновенных угловых скоростей 1 ,…, n .

Лемма. Всякий скользящий вектор , приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив пару с моментом, равным моменту вектора

относительно точки В.

Если теперь рассмотреть систему скользящих векторов 1 ,…, n , произвольно расположенных в пространстве, то их можно перенести в точку О (центр приведения), добавляя соответствующие пары.

Для произвольной точки Ai , в которой приложен вектор i , при его переносе в точку О

'

получим вектор i i и пару с моментом momO i OAi i ri i . В результате имеем

систему векторов i и систему векторов ri i . Суммируя, получим:

n

i - главный вектор данной системы скользящих векторов,

i 1

n

v (ri i ) - главный момент данной системы скользящих векторов.

i 1

Изменение центра приведения. Инварианты приведения

Эту же систему скользящих векторов 1 ,…, n приведем к другому центру O . Тогда получим:

n

n

i и

v

(ri

i ), где ri

O Ai . Очевидно, что (т.е. главный вектор не

i 1

i 1

изменяется при изменении центра приведения – это первый инвариант системы).

Найдем изменение главного момента. Так как

, то

ri

ri

OO

ri

O O

v

(ri O O) i (ri i ) O O

i v

v O O .

i

Т.е. главный момент изменяется на величину, равную моменту вектора относительно нового центра приведения.

Вторым инвариантом системы скользящих векторов будет величина:

v v cos(v, ):

Доказательство:

v (v O O ) v (O O ) v .

Так как - инвариант, то вторым инвариантом будет величина:

vcos(v, )

Таким образом, проекция v на направление - величина постоянная для данной системы скользящих векторов и не зависит от выбора центра приведения.

Лекция 11

Понятие силы и массы. Виды сил. Основные определения и аксиомы статики. Задачи геометрической статики. Связи. Реакции связей Аксиома связей.

Статика - это раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. Равновесие -

состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам. Чтобы твердое тело находилось в покое под действием некоторой системы сил необходимо, чтобы эти силы удовлетворяли определенным условиям равновесия данной системы сил. Но для нахождения этих условий необходимо уметь приводить данную систему сил к простейшему виду. Следовательно, в статике рассматриваются две задачи:

1)сложение сил и приведение системы сил, действующих на тело, к простейшему виду;

2)определение условий равновесия действующих на твердое тело системы сил.

Существуют геометрические, графические, аналитические методы решения задач статики.

Сила - это мера механического взаимодействия между телами. Сила является векторной величиной. Ее действие на тело определяется:

1.численной величиной или модулем;

2.направлением;

3.точкой приложения.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Основные определения статики

1.Совокупность сил, действующих на какую–либо механическую систему, называется системой сил.

2.Система сил, которая, действуя на свободное твердое тело, находящееся в покое, не сообщает ему никакого движения, находится в равновесии или эквивалентна нулю.

3.Если направления системы сил (s) заменить на противоположные, сохраняя их точки

приложения, то получится система(s ), противоположная (s)

(s ) (s)

4. Если две системы сил (s1) и (s2 ), действующие одновременно на свободное тело,

находятся в равновесии, то (s2 ) уравновешивает (s1) и наоборот.

5. Если система сил (s1) уравновешивается системой, противоположной системе (s2 ), то (s1) и (s2 ) – эквивалентны.

(Физический смысл: каждая из систем эквивалентных сил, действуя на одно и то же неподвижное свободное тело, сообщает телу одно и то же движение).

Аксиомы статики

1.Система двух взаимно противоположных сил, равных по модулю и приложенных в одной точке, находится в равновесии.

2.Система двух равных по модулю взаимно противоположных сил, приложенных в двух каких-либо точках абсолютно твердого тела и направленных по прямой, соединяющей их точки приложения, находятся в равновесии. (Эта аксиома справедлива только для абсолютно твердого тела, где расстояния между точками не изменяются).

3.Любую систему сил (s1) можно, не изменяя ее действия заменить другой системой (s2 ), ей

эквивалентной. (Т.е. эквивалентные системы действуют на одно и то же тело одинаково). Следствие: Всякую силу, приложенную в какой-либо точке абсолютно твердого тела, можно, не изменяя ее действия, перенести в любую другую точку, лежащую на линии действия этой силы.

4.Две системы сил, различающиеся между собой на систему сил, эквивалентную нулю, эквивалентны между собой.

5.Равновесие механической системы, находящейся в покое, не нарушается от наложения новых связей (принцип отвердевания).

6. Система	двух сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, приложенной
в той точке	u равной геометрической сумме этих сил.
	Несвободное твердое тело. Аксиома связей

Любое твердое тело, которое может занимать произвольное положение в пространстве, называется свободным; если же на тело наложены внешние связи, стесняющие свободу его перемещений, то тело становиться несвободным. Эффект действия связей такой же, как и действия сил, следовательно, действие связей можно заменить соответствующими силами, которые называются реакциями связей (аксиома связей).

Реакции связей по своей природе отличаются от других действующих на систему сил, которые принято называть активными: