lek5

ИДЕАЛЬНЫЙ ЦИКЛ КАРНО Наибольший кпд при заданных температурах нагревателя и холодиль-

ника можно получить, если организовать цикл следующим образом.

p	a – b: изотермическое расширение
	рабочего	тела при	температуре,
	Q1
a	равной	температуре	нагревателя

	b	Тнгр, с обратимым подводом теп-
		лоты Q1.
d		b – c: адиабатическое расширение

cрабочего тела до температуры хо-

	|Q2|		лодильника Тхлд.
0		V

c – d: изотермическое сжатие

рабочего тела при температуре, равной температуре холодильника Тхлд, с обратимым отводом теплоты |Q2|.

d – a: адиабатическое сжатие рабочего тела до температуры нагревателя Тнгр. Описанный цикл носит имя французского физика Карно, первым предложившего этот цикл и обосновавшего максимальность его кпд. Этот цикл является идеальным, поскольку предусматривает обратимый подвод теплоты при равных температурах рабочего тела и нагревателя и обратимый отвод те-

плоты при равных температурах рабочего тела и холодильника.

Получим формулу для расчета кпд идеального цикла Карно. Учтем, что в изотермическом процессе количество подведенной к газу теплоты равно совершенной этим газом работе, откуда:

Q = Q

= A = νRT ln

Vb

,

ab

1

ab

нгр

Va

Q

2

= Q

dc

= A = νRT ln

Vc

.

dc

хлд

Vd

На двух адиабатах имеем

V

V

, откуда

V

V

и следовательно

Q2

T

хлд

d

=

c

b

=

c

=

.

Va

Vb

Va

Vd

Q1

Tнгр

Итак, коэффициент полезного действия идеального цикла Карно равен

ηид = 1 − Тхлд .

Тнгр

РЕАЛЬНЫЙ ЦИКЛ КАРНО Реальный цикл Карно является необратимым, так как при подводе и от-

воде теплоты должна существовать конечная разность температур между рабочим телом с одной стороны и нагревателем и холодильником с другой. Температура рабочего тела при подводе теплоты Т1 < Тнгр, а температура рабочего тела при отводе теплоты Т2 > Тхлд, откуда

Т2	>	Тхлд	и 1 −	Т2	< 1 −	Тхлд	, и следовательно, кпд необратимого цикла Карно
Т1		Тнгр		Т1		Тнгр

всегда меньше кпд идеального цикла Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника:

ηК < ηид.

НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА Любой цикл можно разбить сеткой из изотерм и адиабат на бесконечно

большое число элементарных циклов Карно. Таким образом, полезная работа, совершенная газом за данный цикл будет равна интегралу от всех элементарных работ, совершенных в каждом из элементарных циклов.

Для каждого элементарного цикла имеем

δQ2

T

или

δQ2

δQ

откуда следует, что

δQ

δQ

(напомним, что

≥

2

≥

1

,

1

+

2

≤ 0

δQ1

T1

T2

T1

T1

T2

δQ2 = −δQ2 ). После интегрирования по всему циклу получим неравенство Клаузиуса:

∫δTQ ≤ 0 .

Знак «меньше» для случая необратимых процессов, а знак «равняется» – для обратимых.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНТРОПИИ Для обратимого, идеального, цикла Карно имеем

∫δTQ = 0 ,

то есть интеграл по замкнутому контуру от некоторой величины равен нулю, и следовательно, приращение этой величины не зависит от траектории. Это означает, что под знаком интеграла должен стоять дифференциал некоторой величины, которая должна быть функцией состояния газа. Эту величину, которая является функцией состояния газа, Клаузиус назвал энтропией и обозначил буквой S.

Энтропия – это функция состояния газа, элементарное приращение которой равно отношению полученного газом количества теплоты к температуре газа:

δQ Дж dS = T , К .

ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ Из термодинамического определения энтропии следует формулу рас-

чета количества теплоты:

δQ = T dS .

Эта формула носит название «второе начало термодинамики» для обратимых процессов. В общем случае имеем

δQ ≤ T dS ,

где знак «меньше» относится к необратимым процессам.

При поглощении газом (или любым телом) теплоты энтропия возрастает, а при выделении теплоты энтропия тела уменьшается.

Существуют и другие формулировки второго начала термодинамики, например, словесная формулировка Клаузиуса: «Невозможен циклический

процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому». Действительно, ведь тепло самопроизвольно переходит только от более нагретых тел к менее нагретым. Обратный переход тепла практически невероятен.

Поскольку полное изменение энтропии рабочего тела в цикле равно нулю, поступившая в рабочее тело энтропия вместе с количеством теплоты Q1 должна быть равна энтропии, вышедшей из него вместе с количеством теплоты Q2 . Отсюда следует справедливость формулировки Кельвина: «Невозможен циклический процесс производства работы только за счет теплоты, полученной от нагревателя. Превращение некоторого количества теплоты в работу обязательно должно сопровождаться передачей части теплоты холодильнику». Отсюда следует, что невозможно все имеющееся количество теплоты превратить в работу.

ЗАКОН ВОЗРАСТАНИЯ ЭНТРОПИИ

Энтропия теплоизолированной системы никогда не убывает, она остается постоянной, если происходящие в системе процессы обратимы,

а при необратимости процессов в системе ее энтропия возрастает – закон возрастания энтропии.

Для доказательства этого закона рассмотрим переходы системы из состояния 1 в состояние 2 и наоборот. Пусть теплоизолированная система перейдет в ходе необратимого процесса из состояния 1 в состояние 2 по пути 1 – а – 2 (смотрите рисунок внизу). Затем переведем систему из состояния 2 в состояние 1 посредством обратимого процесса с отводом теплоты Q. По второму началу термодинамики это количество теплоты будет равно

1

Q = ∫TdS .

2

a

2

1

b

Q

1

2

Q = ∫TdS < 0, а ∫TdS

2

1

Мы получили циклический процесс, для которого справедливо неравенство Клаузиуса ∫δTQ < 0.

Поскольку температура положительна, имеем

∫δQ = Q1−a −2 + Q2−b−1 = 0 + Q < 0, откуда следует, что

>0, откуда dS > 0, а следовательно S2 > S1, то есть энтро-

пия в теплоизолированной системе возросла, что и требовалось доказать.

РАСЧЕТ ПРИРАЩЕНИЯ ЭНТРОПИИ Энтропия как функция состояния может быть представлена в виде

функции от температуры и объема. Формулу для расчета энтропии получим, объединив первое начало термодинамики, записанное в следующем виде

δQ = ν cV dT + p dV ,

и второе начало термодинамики

δQ = T dS .

а также выразив давление через объем и температуру из уравнения состояния. Получим

TdS = νcV dT + νRTdV ,

V

откуда после деления на Т и интегрирования получим искомую формулу для расчета приращения энтропии:

S = S		− S		= νc ln	T2	+ νR ln	V2	.
	2		1
				V	T1		V1

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭНТРОПИИ. ЭНТРОПИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ

Все реальные процессы в макросистемах являются необратимыми.

Предоставленная самой себе макросистема переходит от менее вероятных состояний к более вероятным. В этом заключена сама суть необратимости.

Именно поэтому любой вид энергии превращается в конце концов во внутреннюю (тепловую) энергию.

По мере движения макросистемы к равновесному состоянию у нее меняется особое внутреннее свойство, связанное с теплотой. Это внутреннее свойство, зависящее только от состояния системы, называется энтропией. Энтропия S характеризует степень беспорядка в макросистеме: состояниям с большим беспорядком отвечает большая вероятность и большая энтропия, чем у более упорядоченного состояния.

Для нахождения связи энтропии с вероятностью рассмотрим процесс расширения газа в теплоизолированной системе в пустоту, то есть без совершения работы.

					перегородка				Согласно поставленным усло-
									виям δQ = 0 и δA = 0, а следователь-
			газ			пустота
									но и dU = 0. Таким образом, данный
									процесс изотермический.
	0		V1		V2		V0 V

Имеем сосуд с газом объема V0. Представим, что все молекулы сначала собрались в объеме V1 в левой части сосуда, а в остальной части сосуда осталась пустота. Затем газ расширяется от объема V1 до объема V2. При изотермическом расширении имеем приращение энтропии

	V2				N
				V2		,
S 2 − S1	= νR ln
			= k ln
		V1	V1

где k – константа Больцмана. Когда газ занял больший объем, пространственное распределение его молекул стало более свободным, а значит, более вероятным.

Вероятность попадания одной молекулы из объема V0. в объем V1 равна

V1 . Попадание всех N молекул из объема V0. в объем V1 является сложным

V0

событием, а согласно теории вероятности вероятность сложного события равна произведению вероятностей простых событий. Следовательно, вероят-

						N
ность Р попадания всех N молекул из объема V	0.	в объем V равна	P =		V1		,
1		1	1
				V0

а вероятность Р2 попадания всех N молекул из объема V0. в объем V2 равна

V2

N

После деления вероятностей получим

P2

V2

N

откуда прира-

P2

,

=

V

.

P

=

V

0

1

1

щение энтропии будет равно S 2 − S1

= k ln

P2

.

P

1

Число микросостояний, реализующих некоторое макросостояние, называется статистическим весом >, который прямо пропорционален вероятности данного макросостояния. С учетом этой пропорциональности получим

S 2 − S1 = k ln Ω 2 , откуда можно получить искомую связь энтропии с вероятно-

Ω1

стью:

S = k ln Ω ,

то есть энтропия макросистемы прямо пропорциональна логарифму ста- тистического веса состояния этой системы, а изменение энтропия макро-

системы прямо пропорционально логарифму отношения вероятностей нового и старого состояний макросистемы.

Заметим, что под знаком логарифма должен стоять именно статистический вес – величина, много большая единицы, а не вероятность, которая меньше единицы, ведь логарифм чисел, меньших единицы отрицателен, а энтропия положительна.