Termeh_shpory

y= -xtg+h

(-tg)= = -

= -g+; = -; -= -g+

g= )=

=; x=; = -;

y= -; ;

; y=

21.Каждой степени свободы ставиться в соответствие независящая обобщённая координата. В общем случае обобщ. Корд.мех. сист. все rобобщ. коорд. независимы друг от друга. Соответственно обобщ. скорости они также независимы друг от друга.

Ф-я Лагранжа(L) назыв. разность T-U, где T-кинитич. энергия, U-потенц. энерг. системы. L= T-U T=T (,

U=U (, то ф-я Лагранжа будет ф-я обобщ.коорд. и скоростей.L=L(Ур-я Лагранжа-Эйлера.

Ф-яЛагр. Для мех. сист.с одной степенью свободы будет: L=T-U=L(q, Для получения ур-я движ. мех.сист. 1-й степени свободы воспользуемся принципом наименьшего действия (вариационный принцип).(поскольку операция варьирования и дефференц.по времени, а следоват.иинтегриров. по времени перестановочные операции, то операц. варьирования поднесём под , тогда)=

Ур-я Лагранжа-Эйлера, движущ-ся точки в центрально симметр.поле:

23.Пусть мех.сис-ма опр-ся коор-ми q1,q2..qr,где r-число степеней свободы {qα},α=1,2..r.Обоб. скорости {.Тогда ф.Лагранжа для мех. сис. с r степ. свободы L=L{qα, С помощью прин-ципа наименьшего принципа найдём уравнение движения S= δS=0 δS= = + =Δqαdt=0 В рез.пол.

22.

Ур-е связи.

;

Ур-е Лагранжа;;;

Лагранжев формализм:;;;;;

24. В формализме Лагранжа обоб.имп. мех. сис. Пα= Опр. Цикл.коор-т

Обоб.коор-ты qβназ.цикл.,если ф-ия Лагранжа явно не зависит от этих корт,т.е

,тогда каждой цикл.коор-те соот-ет сохр-ся обоб.импульс

(вып.закон сохр.обоб.импульсов)

25.L=-U(r)В данном случае мат.точка имеет 2 степ.свободы,этим степ. Свободы соот. 2 обоб.коор-ты r, и 2 обоб. скорости => движ.мат.точки будет опр-ся 2 обоб. имп. Пr= Пφ= Ф. Лагранжа не зав. от φПφ=-момент импулься точки дви-ся в пл.орбиты.

26. Пα=-обоб.импульс. Опр-м энергию мех.сис-мы.Если мех.сис-ма опр-ся ур-ем Лагранжа,кот.я вно не зав. от времени,то говорят,что мех сис.стационарна,а если явно зав.то не стационарна,т.е.R(qα,α,t) =+=+(+=

+α;α- L(qα,α,t)]=- Из ур.следует,что если мех.сис-ма стац-на,то и вел. H(qα,=α-L явл. Сохр-ся вел.т.е явл. Инте-ом движения.И это есть ф.Гамильтона;Физ.смысл: Расс.движ. точки в центр-ом поле L=T-U=x,y,z-обоб.коор-ты L(x,y,z+явно от времени не зав.

H=Пх+Пу+Пz- или H=+ U(r)Пример:Движ.мат. точки с сфер.-сим. Поле в полярной СК

L(r,φ,=(-U(r) ;Пr= ;Пφ=-обоб.импульс;

H(r, φ,+U(r)= =H

27. Кинет энергия в центрально-симметричном поле:Поте эне:M-масса солнца, m-масса планеты.В этом случае система имеет 2 степени свободы:;Ур Лагранжа-Эйлера будут:

тогда:

Т. к.то уравнение Лагранжа-Эйлера явно не зависит от, то - циклическая величина.

Пусть

Перепишем (1) с учетом введенных констант:

r=r(φ)

Каким расст. от силового центра в зав. от φ:

Общее решение:

28. Законы Кеплера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных на основе анализа астрономических наблюдений.Первый закон Кеплера (закон эллипсов).Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением e =c/a, где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса ,a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность. Второй закон Кеплера (закон площадей).Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. Третий закон Кеплера (гармонический закон)Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников., где T₁ и T₂ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a₁ и a₂ — длины больших полуосей их орбит.Ньютон установил, что гравит притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M — масса Солнца, а m₁ и m₂ — массы планет.

29. Введем многомерный вектор:

(1)

При введении многомерных векторов и матриц уравнение функции Лагранжа для колеблющейся многомерной системы в линейном приближении можем переписать в виде: (1)

42. Фазовое пространство это множество точек которые задается с помощью осей на которых откладываются обобщенныекоордин.

Распр. т. фазового пространства определённая физическая величина не изменяется т.е. пост.

30.Запишем уравнение в виде Лагранжа-Эйлера:

В дальнейшем будем рассматривать мех.сист. у которых матрицы m и æ являются симметричными.

;

31 Будем рассматривать р-е ур-ийдв-я кол-ся мех-ой сис-мы в линприбл.,т.е когда будем строить ф-ю Лагранжа, то ф-ии будет реализовывать разложение слагаемых до 2ого порядка по оклон. обобщающих координ. от состояния устойчивого равновесия L(ϕ,ψ,ϕ,ψ) Пусть механич. сис-ма имеет r степеней свободы. Эта механич. cис-маопредел-сяобобщ .коорд. коорд-ми q_1,q_2….q_r..Обозначим q_r,где L=1,2….r,тогда L=L(q_λ,q_λ)=T-U(q_λ)

Будем рассм состо-я мех сис-мы,где потенц. энергия мин. X_λ=q_λ-q⁽⁰⁾_λ отклон. обобщ. коорд-ты от пол-ия равновес. U(q_λ)=U(q⁽⁰⁾_λ+x_λ)= U(q⁽⁰⁾_λ)++ +….

T= Ф-ю Лагранжа для колеб. многомерной сис-мы в лин.приближении можем записать в виде L= где координаты опред.пар-ми коэ-ты

41. Если частица движ. центр.симетр. в пот. поле то в этом случае выполн. з-н сохр. 3-ей компоненте мом. импульса. Аналог.образом м-но показ. что явлсохран. велич. независ. от врем. =const

В случае дв-я частицы в центр.симетр. пот. поля выполн. з-н сохр. мом. импульса L как векторной велич.

З-нысохр. определ. физ. велич. тесным образом связаны со св-ми симметрии физ. сист.

33 нормальные колебания-набор характерных для колебательной системы типов гармонических колебаний. Каждое из нормальных колебаний физической системы, например, колебаний атомов в молекулах, характеризуется своей частотой. Набор частот нормальных колебаний составляет колебательный спектр. Произвольное колебание физической системы можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. Вынужденные колебания физической системы имеют резонанс на частотах, которые совпадают с частотами нормальных колебаний.. Нормальные колебания взаимно линейно независимы и взаимно ортогональны:

42. Фазовое пространство это множество точек которые задается с помощью осей на которых откладываются обобщенныекоордин.

Распр. т. фазового пространства определённая физическая величина не изменяется т.е. пост.

41. Пусть частица с зарядом e находится в электромагн. поле, заданном скалярным φ(r,t) и векторным A(r,t) потен­циалами. Электрическое и магнитное поляЕ и B связаны с потенциалами соотношениями

Где c- скорость света. Нетрудно показать, что уравнение Лагранжасовпадают с известными уравнениями движенияесли выбрать функцию Лагранжа в виде

В функции Лагранжа слагаемые 1/2mv² и еср — это обычные кинетическая и потенциальная энергии частицы, а послед­нее слагаемое (e/c)Av, линейное по скорости, не является ни кинетической, ни потенциальной энергией. Обобщённый им­пульс

Известно, что поля Е и B, а следовательно, и уравнения движения частиц в электромагнитном поле не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов, т. е. при за­мене

где f — произвольная функция координат и времени. В лагранжевом же формализме это приводит к тому, что по­тенциалам φ', A' и φ, A соответствуют лагранжианыL и L', отличающиеся на полную производную по времени от функции ef/c:

и эти лагранжианы должны быть физически эквивалентны.

42Для нерелятивистской частицы в электромаг­нитном поле

В релятивистском случае

Фотон (квант света) — это релятивистская ча­стица с массой m = 0 и зарядом e = 0. Согласно преды­дущему примеру, его функция Гамильтона для движения в вакууме равна

H(p, r) =c|p| .Распространение света в прозрачной изотропной среде с по­казателем преломления n(r) в приближении геометрической оптики определяется функцией Гамильтона

Уравнения Гамильтона имеют вид

Фактически в геометрической оптике „частицей" является волновой пакет, r(t) есть закон именно его движения, r — это групповая скорость, а вектор р, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор электромагнитной волны

37. Функция Гамильтона: (1)

Вариационный принцип или принцип наименьшего действия Гамильтона: действие S для истинного движения материальной точки, траектория которого в начальный и конечный моменты времени проходит через две определенные точки, принимает минимальное значение по сравнению с любыми виртуальными движениями, траектории которых в указанные моменты времени проходят через те же две точки.Поскольку операция варьирования перестановочна с операцией дифференцирования по времени, то мы можем перенести δ под интеграл и варьировать функцию Лагранжа под интегралом.

Воспользуемся определением функции Гамильтона через функцию Лагранжа (1)

Во втором слагаемом действие производной по времени можно перенести на 1 множитель Поскольку обобщенные координаты и обобщенные импульсы независимы друг от друга и вариации от обобщенных координат и обобщенных импульсов будут независимы друг от друга. Поскольку пределы интегрирования выбраны произвольным образом, то S по времени =0, если подынтегральное выражение будет=0.

51. 1. 2.Компоненты тензора будем проектировать на главные оси симметрии . В этом случае

3. Воспользуемся теоремой об изменении момента импульса

; (1) – ур вращения твердого тела

Спроектируем ур-е (1) на оси . Тогда мы получим

Для свободного вращения твердого тела мы получаем:

- ур-я Эйлера для вращения свободного твердого тела.

52. ;;;

;; 1.; 2.

; 3.θ, α – const;;

- нутационный угол

; -const; – const

59.Исп.Лагранжев формализм:

L=πv-H=

Ф-ла Лагранжа для свободно движ.ч-цы:L=

.π;для

своб.движ.ч-цы буд.циклич. Ур. Движ.для своб.движ.ч-цы:.Рассм.прим.дв-я зар.ч-цы в пост.эл.поле:

L=.. .

54.При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки. При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перем некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением: Δs = rΔφ, где r – модуль радиус-вектора (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей: υ = rω, и между модулями линейного и углового ускорения: a = aτ = rε. Векторы v и a= aτ направлены по касательной к окружности радиуса r. При движении тела по окруж возникает также нормальное или центростр ускорение, модуль которого есть an=v^2/r=w^2*r. Кин энергию вращающегося тела можно записать в виде: Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси: кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде Момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны. Пусть ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2

определяется выражениямиВ векторной форме это соотношение принимает вид: ; для системы из многих частиц Для сплошного тела суммы в выражении заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия.Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия.

 49. Момент импульса вращения твердого тела.

момент  импульса    тела  совпадает по направлению с угловой скоростью   тела  и определяется формулой

=I где I -  момент  инерции  тела  относительно данной главной оси инерции. Причем  не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют - при условии, что ось  вращения  неподвижна.Найдем выражение для  момента   имп  твердого   тела  относительно оси 00'