ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Показать, используя определение, что последовательность n 1 n бесконечно мала.

Решение. Нам следует доказать, что предел указанной последовательности равен нулю. Для этого выясним, какие

попадают в произвольную - окрестность нуля, то есть

члены последовательности

n 1

n

удовлетворяют равенству |

n 1

n |< ;

n 1

n < ; >(

n 1

n )-1. Так как

n 1

n 1

n

)-

(

n )-1<(2

n )-1, то для тех n , для которых верно (2

n )-1< , тем более верно (

n 1

1< , а также

n < . Решим неравенство (2

n )-1< : n>(2 )-2.

Итак , если n>(2 )-2, то |

n 1

n |< . Значит, для любой

- окрестности нуля можно указать такой номер

n0=[(2 )-2] , что все

члены последовательности с номерами больше номера n0

принадлежат указанной - окрестности нуля, т.е.

удовлетворяют неравенству

- <

n 1

n < .

Последнее означает, что

lim

(

n 1

n )=0.

n

4n3 n2

n 1

lim

3

6. Вычислить предел

.

n n

100n

2n

Решение. Нетрудно заметить, что пределы слагаемых существуют, так как

4n3

n2

4 1 / n

n 1

1 1 / n

lim

=

lim

=4

и

lim

=

lim

=1/2. Тогда

n n3

100n

n

1 100 / n2

n

2n

n

2

4n3

n2

n 1

4 1 / n

1 1 / n

lim

=

lim

+

lim

=9/2.

n n3

100n

2n

n

1

100 / n2

n

2

7. Найти предел последовательности:. { 3n2 n3 n }

Решение. Для вычисления предела последовательности { 3n2 n3 n } преобразуем ее общий член с целью освободиться от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель на множитель, дающий в произведении с числителем сумму кубов:

				n2	n3 n3
lim { 3 n2 n3		n }= lim
										=1/3.
n		n 3 (n2 n3)2				n3 n2		n3 n2

8. Вычислить предел последовательности: {(1+a/n)n}.

Решение. Так как (1+a/n) 1 при n , то для вычисления предела используем формулу второго замечательного предела:

lim	= lim	1 a / n n/ a	a	=еа, так как	lim (1+a/n)n/a=e и	lim а =а.
n	n				n	n

Лекция 6	ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И
	НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
	§1 Подпоследовательности.
	1. Основные понятия.

Определение. Если xn некоторая последовательность, а натуральные числа n1, n2, ..., nk, ... образуют строго возрастающую последовательность, то последовательность xn1, xn2, ..., xnk, ... называется

подпоследовательностью последовательности xn.					~
xn n		~	1			3k 1
		xnk 2k			xnk
Например. (1,2,3,..., n,...)		(1,3,5,...,2k 1,...)			(2,5,8,11,...,3k 1,...)
Для ограниченной последовательности имеет место

Теорема. (Больцано-Вейерштрассе) Из любой ограниченной последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть члены последовательности xn заключены в промежутке [a, b] , т.е. a xn b .

Разделим отрезок [a, b] пополам, тогда хотя бы в одной его половине будет содержаться бесконечное число членов последовательности xn. Выбирая эту половину, снова делим получающийся отрезок пополам и т.д.

Таким образом получили две последовательности: ak - левых концов отрезков (монотонно не убывающая), bk - правых концов отрезков (монотонно не возрастающая). причем bk-ak=(1/2k)(b-a), т.е. последовательности bk

и ak		сходятся к одному и тому же пределу при k , т.е. lim bk =		lim	ak=c [a, b].
			k	k
		Теперь построим последовательность:
xn1	-	возьмем любой член xn	из [a1, b1],
xn2	-	возьмем любой член xn	из [a2, b2], и т.д.
Для построенной данной последовательности выполняется ak xnk bk,				а так как ak c и		bk c , то

lim xn =c.

k k

Некоторые свойства подпоследовательностей.

1. Если последовательность xn имеет предел а (конечный или нет), то тот же предел имеет любая ее подпоследовательность.

Определение. Предел b любой сходящейся подпоследовательности называется частичным пределом последовательности, а соответствующая точка называется точкой сгущения или предельной точкой последовательности.

Определение. Наименьший частичный предел последовательности называется ее нижним пределом, а наибольший частичный предел - верхним пределом.

2. Если верхний и нижний пределы последовательности совпадают, то такая последовательность сходится. Например.

1. x =(-1)n;

lim x

n

=1; (верхний предел)

lim x

n

=-1 (нижний предел).

n

n

n

lim xn =-1.

2. xn=sin(n /2);

lim xn =1;

n

n

Здесь существует еще один частичный предел

xn, который равен нулю.

Доказательство свойства 2.

lim xn =а, тогда левее окрестности (а- ; а+ ) при любых >0 находится конечное число

Пусть lim xn =

n

n

членов последовательности xn, в силу того, что а - нижний предел. Правее этой же окрестности также находится

конечное число членов последовательности, т.к. а - верхний предел. Т.е. для >0, n0( ) такое, что при n>n0 все члены xn удовлетворяют условию |xn-a|< . А это есть определение того, что последовательность сходится к а.

3. Если последовательность имеет различные частичные пределы, то она расходящаяся

Пример. xn=sin(n /2);	lim xn		lim xn , т.к.		lim xn =1,		lim xn =-1 значит последовательность {xn}
	n		n		n		n
расходящаяся.
	2.Принцип сходимости Коши.

Принцип Коши - необходимое и достаточное условие сходимости последовательности. Теорема. Для того чтобы последовательность xn сходилась к конечному пределу, необходимо и

достаточно, чтобы для каждого числа >0 существовал номер n0( ) такой, что имеет место |xn-xm|< как только

n>n0 и m>n0.

Геометрический смысл. При достаточно больших номерах разность между элементами последовательности становится сколь угодно мала.

Замечание. Из принципа сходимости не следует указания предела - числа, т.к. принцип Коши является теоремой существования.

Пример. Возьмем последовательность xn=1+1/(22)+1/(32)+...+1/(n2), т.е. х1=1, х2=1+1/4; х3=1+1/4+1/9, и

т.д.

Переформулируем принцип Коши: Для того чтобы xn сходилась к некоторому пределу необходимо и

достаточно, чтобы для любого >0 существовал номер n0 такой, что при всех p N и любом n>n0 имеет место неравенство |xn+p-xn|< .

Тогда для доказательства сходимости последовательности xn=1+1/(22)+1/(32)+..+1/(n2) оценим разность |xn+p-xn| при любых p N и n>n0:

1

1

...

1

1

1

...

1

|xn+p-xn|=

=

<

(n 1)2

(n 2)2

(n p)2

(n 1)2

(n 2)2

(n p)2

<1/n - 1/(n+1) + 1/(n+1) - 1/(n+2)+...+1/(n+p-1) - 1/(n+p)=1/n - 1/(n+p) <2/n, так как

1/(n+1)2<1/n - 1/(n+1).

Тогда 2/n<

при p N и n>n0=[2/ ], что означает |xn+p-xn|< при >0 и

p N; при n>n0, т.е. имеет место

принцип сходимости Коши, а следовательно, последовательность xn сходящаяся. Хотя мы не можем указать, к

какому пределу она сходится.

Пример 2. Доказать расходимость последовательности xn=1+1/2+1/3+...+1/n.

Доказательство. Снова применим принцип Коши:

Оценим |1+1/2 + 1/3 +... +1/n + 1/(n+1) +...+1(n+p) - 1 - 1/2 -...-1/n|= =|1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n+p)|=1/(n+1) + 1/(n+2) +...+1/(n+p) > p/(n+p) .

Тогда при любом номере n мы будем выбирать p=n и будем иметь истинное неравенство |xn+p-xn| > 1/2 при любом n N и p=n. Это означает, что принцип Коши не имеет места и данная последовательность расходится.

§ 2.Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

Нетрудно заметить, что существуют последовательности, для которых неприменимы знакомые нам теоремы о пределах (предел суммы-разности, предел произведения, предел частного). Однако предел таких последовательностей существует.

Это такие последовательности, которые в предельной форме имеют вид:

un/vn= / ; un/vn=0/0; un vn=0 ; (un)vn=1 ; un-vn= - ; (un)vn=00; (un)vn= 0. Такие пределы могут существовать или нет, и это зависит от конкретных последовательностей un и vn . В силу этого указанные типы пределов называются «неопределенностями».

Например. (n3-3n)/n2;

1.	lim	Pm (n)	= lim
	n Ql (n)		n

Тип предела / .

sin1 / n

1

(n2+2n);

n 1

;

1 / n

n

nm a

nm 1 ... a

0,

a

0

m

1

= a

nl b

nl 1 ... b

b

0

l

0

1

,

n ; (n2+n)1/n.

l m;

/ b0 , l m;	n, m, l, N.
l < m.

Действительно, если поделить числитель и знаменатель на nl, то получим

	a	0	nm l a nm l 1	... a	m	n l
lim			1				.
			b0 b1n 1 ... b l n l
n

Откуда следует:

1. если l >m, то числитель стремится к нулю, т.к. m-l<0, а знаменатель к b0, поэтому данный предел равен нулю.

2. если l=m, то числитель имеет предел а0, а знаменатель - b0, поэтому исходный предел равен a0/b0. Здесь полагаем, что b0 0.

3. если l<m, то числитель есть бесконечно большая последовательность, т.к. m-l >0, а знаменатель сходится к b0, что означает - данный предел будет бесконечным

2. lim (n/2n)=0. Тип передела / .

n

Так как 2n=(1+1)n=1+n+

n(n 1)

+

n(n 1)(n 2)

+...+n!/n! >1+n+

n(n 1)

, тогда 1/2n <

2

3!

2

1

. Тогда 0<n/2n<

n

<

2n

. Имея ввиду теорему о зажатой

1 n (n(n 1)) 2

1 n (n(n 1)) 2

n(n 1)

последовательности приходим к утверждению, что n/2n есть бесконечно малая последовательность, т.к.

2n

lim =0. n n(n 1)

Замечание. Из данного примера видим, что показательная функция с основанием большим единицы растет быстрее линейной функции.

3. lim an =0, при а[0; 1).

n

По определению: для >0, найдем						n0( ) N такое, что при всех n>n0		получим |an|< . Действительно; если an< ,
то n lg a<lg ,		n>lg /	lg a	(т.к. lg a<0). Тогда нужно взять			n0=[ lg /	]. Если >1 , неравенство n lg a<lg , имеет
							lg a
место при всех n N, т.к. n lg a<0, а lg >0.
4. lim	2n
	/	=0. Тип предела / .
n	n!
Так как 0< 2n/		=2/1 2/2 2/3 ... 2/n 2 (2/ )n-2 исходное равенство имеет место, так как lim							(2/ )n-2=0 (смотри
		n!				3		n	3

предыдущий пример).

Замечание. Из данного примера следует, что показательная функция стремится к бесконечности медленнее факториала (n!).

lim

k

n)=0 (a>1, k>0). Тип предела / .

5.

(n /

n

a

k

Оценим 0< n /an=(n/an/k)k=

k

k

k

n

n

n

=

=

<

n(n 1)

n(n 1)

(1

(b 1))n

1 n(b 1)

(b 1)2 ...

(b 1)2

2

2

k

n

здесь b= k a >1. Исходное неравенство имеет место, так как lim

=0

n

n(n 1)

(b 1)

2

2

6. lim na =1, a=const. Тип предела а0.

n

Для доказательства оценим разность na -1>0.

0< na -1<, тогда na <+1 и a<(1+ )n. Откуда n lg(1+ )>lg a и n>lg a/lg(1+ ), а значит na -1 бесконечно

малая последовательность по определению предела, т.е. по >0, n0=[lg a/lg(1+ )] такое, что при всех n>n0 имеет место

| na -1|< .

Замечание. Если a<1, то n0=0.

7. lim ( n 1 n )=0. Тип предела -.

n

Действительно,

)

(

n 1

n)(

n 1

n

1

lim (

n 1

n )=

lim

= lim

=0.

n

n

( n 1 n)

n

n 1

n

n 1 n

8. lim

=e-1. Тип предела 1 .

n n

2

n 2

n

n

n

(n 2)

n 1

1

1

n 2

n 2

Т.к. lim

==

lim

1

= lim 1

=

n

n 2

n

n

2

n 2

n

lim

n

1

(n 2) n n 2

= lim

1

=е-1

n 2

n

	n 1		n2	=0. Тип предела 1 .
9. lim
n n 2

n 1 n2

Действительно, lim

n n 2

			1		n2				1		(n 2) n2
											n 2 =
= lim	1					= lim	1
n			n 2			n			n 2

					lim
			1		(n 2) n
=	lim 1
n			n 2

n 1 n

10.lim =е. Тип предела

nn

n 1 n
Имеем: lim			= lim 1
n	n		n

n2
n 2	n	2
=0, т.к. lim			=-.
n n		2
1 .

1 n

=e.

n

Замечание. Стоит запомнить, что тип неопределенности 1 «раскрывается» по второму замечательному пределу.

11. lim nn =1. Тип предела 0.

n

Доказательство:

n

n

n

n(n 1)

n

n -1)

n -1)+

n -1)

2

Имеет место оценка n=(1+

=1+n(

2

(

+...+

n

n

n(n 1)

n

2

n(n 1)

n

2

n 1

n

2

n

+(

n -1) >

2

(

n -1)

. Откуда n>

2

(

n -1)

или 0

2

(

n -1)

<1, 0 (

n -

1)<

2

. При этом

lim

2

=0. Тогда из теоремы о зажатой последовательности имеем исходное

n 1

n 1

n

равенство.

12. Доказать, что последовательность x

=sin(n/

) не имеет предела.

n

2

Доказательство.

В последовательности xn

можно выделить три существенно отличных друг от друга

подпоследовательности:

xnk=sin

xnk=sin

xnk=sin

4k 3		=1; xnk=(1; 1; 1; ...)
2
4k 1		=-1; xnk=(-1; -1; -1; ...)
2

2(k 1) =0; xn =(0; 0; 0; ...)

2 k

Заметим, что верхний и нижний пределы последовательности соответственно 1 и -1 , не совпадают. Значит последовательность не имеет предела, т.е. расходится.

Замечание. Указанные «неопределенности» могут быть сведены к двум основным 0/0 и / (или

к одной из них). Например:

а) (un)vn=1 , т.е. un1, vn.

ln u n

Сделаем преобразование: (un)vn =evnln un= e1/ vn , где 1/vn0; ln un 0. Таким образом, вычисление предела

lim	(u )vn типа 1 , сводится к вычислению предела последовательности	ln un	типа	0/ .
n	n	1/ vn		0

б) un-vn=- ; т.е. un, vn.
1			1
Действительно: un-vn=				=
	1 / un		1 / vn

lim (	1		1	)=0,	lim (	1		1
n	vn		un		n	un		vn
вычислению «неопределенности» типа								0/ .
								0
в) (u )vn	=00, т.е. u 0, v 0.
n			n		n

1 / vn 1 / un	, Так как
(1 / un ) (1 / vn )

)=0, то исходный предел сведется к

vn

Так как (un)vn =evnln un= e1/ln un

1

. В силу того, что vn 0 и 0, то исходный предел мы свели к

ln un

«неопределенности» типа 0/0.

Лекция 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

1.Предел функции в точке.

Прежде чем рассматривать предел функции, введем некоторые понятия.

А. Предельная точка множества.

Определение. Точка х0 называется предельной точкой множества Х или точкой сгущения, если в любой окрестности точки х0 содержится хотя бы одна точка множества Х отличная от х0.

Например. 1. Любая точка замкнутого промежутка является точкой сгущения этого промежутка.

2. Любой частичный предел последовательности является точкой сгущения для последовательности.

3. Любая точка интервала (a, b) и точки a, b являются предельными для множества (a, b). Как видим из приведенных примеров, что предельные точки множества могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству, для которого они являются предельными.

Например. 1. хn=(-1)n - последовательность имеет две предельные точки: 1 и -1

2. xn=1/n - последовательность имеет одну предельную точку 0;

3. [0; 1] - все точки множества являются предельными ;

4. (a, b) - все точки множества [a, b] являются предельными для этого множества;

5. Предел последовательности всегда является предельной точкой последовательности.

Б. Окрестность.

Определение. Любой открытый промежуток (х0- ; х0+ ) называетсяокрестностью точки х0 и обозначается (х0).

Определение. Левой полуокрестностью точки х0 является

множество (х0- , х0), а правой полуокрестностью точки х0 является множество (х0, х0+ ). Определение. Окрестностью бесконечности будем называть множества:

(- ; - ) ( ; + ), где некоторое положительное число.

Замечание. Окрестностью + является множество ( ; + ), а окрестностью - является множество (- ; -) , где некоторое положительное число.

Очевидно, что любая окрестность предельной точки множества содержит бесконечно много точек этого множества.

В. Замкнутость множества. Граница множества.

Определение. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Определение. Множество Х называется открытым, если всякая его точка принадлежит этому множеству

вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Граничной точкой множества Х называется точка х0, в любой окрестности которой лежат как точки множества Х, так и точки, которые ему не принадлежат.

Определение. Множество всех граничных точек образует границу данного множества. Замечание. Граничная точка множества Х может не принадлежать этому множеству.

Примеры.

1. Множество [0; 2] является замкнутым; так как все его предельные точки (а это сам отрезок [0;2]) принадлежат данному множеству.

2. Множество (0; 2) является открытым, так как все его точки принад-лежат множеству (0; 2) вместе с некоторой окрестностью. (При этом предельные точки 0 и 2 не принадлежат данному множеству).

3. Множества (0; 2] и [0; 2) не являются ни замкнутым ни открытым, т.к.: 1). не все предельные точки их принадлежат данному множеству

(точка 0 предельная для (0, 2], но ему не принадлежит; точка 2 предельная для [0, 2), но ему не принадлежит; 2). не все точки принадлежат множеству вместе с некоторой

окрестностью (точка 2 для (0; 2] не принадлежит ему вместе с окрестностью; точка 0 для [0, 2) не принадлежит ему вместе с окрестностью)

То есть существуют множества, которые не являются ни открытыми ни замкнутыми.

4.Для множеств [0, 2], (0, 2), [0, 2), (0, 2] точки 0 и 2 являются граничными, причем:

1). граничные точки 0		и 2 принадлежат [0, 2];
2). граничные точки 0		и 2 не принадлежат (0, 2);
3). граничная точка	0	принадлежит [0, 2), а граничная точка 2 не принадлежит [0, 2);
4). граничная точка	0	не принадлежит (0, 2], а граничная точка 2 принадлежит (0, 2].

Далее рассмотрим два примера: y=1/x, y=x+1. Указанные функции обладают такими свойствами:

-значение первой функции у=1/х становится близким к 0, если значение аргумента х становится достаточно большим, например положительным.

-значение второй функции становится близким к 2, если значение аргумента х становится близким к 1.