RZVM

П р и м е р 7. Найти

Z

sin 7x sin 3x dx:

Р е ш е н и е

Z (cos 4x ¡ cos 10x) dx =

Z

sin 7x sin 3x dx = 2

1

= 2

µ

4

¡

10

¶ + c:

1

sin 4x

sin 10x

П р и м е р 8. Найти

Z

tg 23x dx:

Р е ш е н и е

µcos2 3x

¡ 1¶ dx = tg3

¡ x + c:

Z

tg 23x dx = Z

1

3x

П р и м е р 9. Найти

Z

dx

dx:

sin2 x cos2 x

Р е ш е н и е

Z

dx

dx = 4 Z

dx

dx =

sin2 x cos2 x

sin2 2x

= 4 µ¡

2

¶

+ c = ¡2 ctg 2x + c:

ctg 2x

101

Задачи для практических занятий

16.1. Z

x3 + 5x2 + 7x + 3

16.2. Z

+ 2)2

dx.

(3x

dx.

x

x

16.3. Z

x2

1

5

¡

dx

.

16.4.

px(px + 2) dx.

x2(x + 1)

Z

16.5. Z

x3 + 8 dx

16.6. Z

x3 ¡ 27 dx

x + 2

.

x ¡ 3

.

16.7. Z

dx

.

16.8. Z

dx

.

(x + 4)(x + 7)

x2 ¡ 6x + 8

16.9. Z

(cos 2x + sin 5x) dx.

16.10. Z

(sin x + cos x)2 dx.

Z

16.11.sin2 3x dx.

Z

16.13.sin 2x cos 2x dx.

Z

16.15.(217x + 103)2 dx.

Z

16.17.p2 ¡ 3x dx.

Z

16.19. p15dxx + 2.

Z

16.12.cos2 4x dx.

Z

16.14.ctg 2x dx.

Z

16.16.(12x ¡ 1)3 dx.

Zp

16.18.3 4 + 25x dx.

Z

16.20.52x¡3 dx.

102

Домашнее задание

16.21. Z

3x

3

+

3x2 + 1

16.22. Z µ

2

3

¶dx

dx.

+ p

x

1 + x2

1 ¡ x2

5

x2

4

16.23.

px(px + 1) dx.

¡

dx

Z

16.24. Z

x + 2

.

16.25. Z (cos 5x + sin 7x) dx.

16.26. Z

cos2 5x dx.

Z

16.27.2 sin2 10x dx.

Z

16.29.tg 23x dx.

Z

16.31.sin 6x cos 2x dx.

16.33. Z	5x + 2.
	dx

Zp

16.35.3 5x + 2 dx.

Z

16.37.e¡2x dx.

Z

16.28.(sin 3x + cos 3x)2 dx.

16.30. Z	cos 2x
		dx.
	sin2 x cos2 x

Z

16.32.(3x + 1)10 dx.

Zdx

16.34.p3x.

1		1		1
16.36. Z µ		+		+		¶ dx.
	x3		x2		x

Z

16.38.(2x + 3x) dx.

Ответы:

x3

5x2

9x2

16.1.

+

+ 7x + 3 ln jxj + c. 16.2.

+ 12x + 4 ln jxj + c. 16.3.

3

2

2

1

10

10

4

x3

ln jxj+

+c. 16.4. x µ

px7 +

px¶+c. 16.5.

¡x2 +4x+c. 16.6.

x

17

3

3

+

+ 9x + c. 16.7.

ln

¯

¯

+ c. 16.8.

ln

¯

x

¡

¯

+ c. 16.9.

3

2

3

x + 7

2

2

x3

3x2

1

¯

x + 4

¯

1

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

103

sin22x ¡											5										+ c. 16.10. x ¡																	2						+ c.						16.11. 2										µx ¡					6					¶ + c.
									cos 5x																											cos 2x																					1							sin 6x
16.12.							1			µx +										sin 8x							¶ + c. 16.13. ¡														cos 4x										+ c. 16.14. ¡ ctg x ¡ x + c.
								2															8																				2			8
											3				3																																														¡		p			52x¡3
								(217x + 103)3																			+c										(12x ¡ 1)4													+c												2													+
16.15.																														. 16.16.																								. 16.17.											(2		¡			3x)3
													651																										48																							9
									3							p																															p
																						2
c. 16.18.											100				3						(4 + 25x)4 +c. 16.19.																					15						15x + 2+c. 16.20.																		2 ln 5							+c.
16.21. x											+						x						+ ln jxj + c. 16.22. 2 arctg x + 3 arcsin x + c. 16.23.
															2
10					10								5																	1														2														sin 5x							cos 7x
								7											5
					p
	17	x					x	1				+	6		xpx + c. 16.24.																			2	(x ¡ 2)											+ c. 16.25.															5			¡			7						+ c.
16.26.											µx +											sin 10x							¶ + c.						16.27. x ¡																	sin 20x								+ c.				16.28. x ¡
								2															10																															20
cos 6x																							1
							+ c. 16.29.																				tg 3x ¡ x + c. 16.30. ¡ ctg x ¡ tg x + c. 16.31.
	6			µ																						3
¡2							8						+										4				¶+c. 16.32.																33								+c. 16.33. 5 ln j5x+2j+c.
1						cos 8x												cos 4x																				(3x + 1)11																								1
							2																							3									3																										1							1
									p3x + c. 16.35.
16.34.																																	(5x + 2) p5x + 2 + c. 16.36. ¡																																			¡						+
								3																								20																																	2x2								x
ln jxj + c. 16.37. ¡																											1			+ c. 16.38										2x						+				3x					+ c.
																									2 e2x															ln 2									ln 3

17.Метод подстановки

1.Замена переменной в неопределенном интеграле

Полагая

x = '(t);

где t новая переменная, '(t) непрерывно дифференцируемая функция, получим формулу замены переменной в неопределенном интеграле Z Z

f(x) dx = f('(t))'0(t) dt:

Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы. Для удобства все промежуточные вычисления будем записывать в квадратных скобках.

104

x2

(1 + x)100 dx = [1 + x = t; x = t ¡ 1; dx = dt] =

П р и м е р 1. Найти

Z cosp2x + 2					dx:
		p	x + 2

Р е ш е н и е. Если есть возможность избавится от корня, то это надо сделать. Поэтому

Zcosp2px + 2 dx = [ замена px + 2 = t; x = t2 ¡ 2; dx = 2t dt] = x + 2

= Z

t

2t dt = 2 Z

cos 2t dt = sin 2t + c = sin 2px + 2 + c:

cos 2t

П р и м е р 2. Найти

Z

dx

p

sin2 p

:

3x

3x

Р е ш е н и е

·p3x = t; x = 3 ; dx = 3t dt¸ =

Z

p3x sin2 p3x =

Z

dx

t2

2

= 3

t sin2 t =

3

Z

sin2 t

= ¡3 ctg t + c =

3 ctg p3x + c:

2

t dt

2

dt

2

2

П р и м е р 3. Найти

Zx2

(1 + x)100 dx:

Р е ш е н и е. После замены 1 + x = t применяем формулу 11:

Z

(t

1)2

2

2t + 1

1

2

1

= Z

¡

dt = Z

t ¡

dt = Z µ

¡

+

t100

t100

t98

t99

t100

= ¡

1

+

2

¡

1

+ c =

97t97

98t98

99t99

¡

1

+

1

¡

1

+ c:

97(1 + x)97

49(1 + x)98

99(1 + x)99

¶

dt =

105

П р и м е р 4. Найти

Z

p dxp dx: x + 3 x

Р е ш е н и е. Если в подынтегральную функцию входят несколько корней различной степени из одного итого же подкоренного выражения, то иногда удается свести интегрирование к более простой функции, если в качестве новой переменной взять корень из того же выражения, степень которого равна наименьшему общему кратному (НОК) степеней корней, входящих в подынтегральную функцию. В

нашем примере НОКf2; 3g = 6. Следовательно, можно попытаться p

сделать замену t = 6 x. Имеем

Z

dx

p

+ p3

dx = [t = p6 x;

px = t3; p3 x = t2; x = t6; dx = 6t5 dt] =

x

x

6t5 dt

t3 dt

(t

3 + 1)

1

= Z

= 6 Z

= Z

¡

dt =

t3 + t2

t + 1

t + 1

1

t3

t2

= 6 Z µt2 ¡ t + 1 ¡

¶ dt = 6 µ

¡

+ t ¡ ln jt + 1j¶ + c =

t + 1

3

2

p p p

= 2 x ¡ 3 3 x ¡ 6 ln( 6 x + 1) + c:

2. Внесение функции под знак дифференциала

Часто интегрирование с помощью подстановки упрощается, если предварительно внести некоторую функцию под знак дифференциала. Иными словами, если F 0(x) = f(x), то используется соотношение

f(x) dx = dF (x);

и функцию F (x) принимают за новую переменную интегрирования.

П р и м е р 5. Найти	Z

ctg x dx:

106

Р е ш е н и е

cos x dx

d sin x

dt

Z ctg x dx = Z

= Z

= Z

=

sin x

sin x

t

= ln jtj + c = ln j sin xj + c:

П р и м е р 6. Найти

Z

Р е ш е н и е

sin5 x dx:

sin4 x sin x dx = ¡ Z (1 ¡ cos2 x)2 d cos x =

Z sin5 x dx = Z

= ¡ Z (1 ¡ t2)2 dt = ¡ Z (1 ¡ 2t2 + t4) dt = ¡t +

2

t5

t3

¡

+ c =

3

5

=¡ cos x + 23 cos3 x ¡ 15 cos5 x + c:

Пр и м е р 7. Найти

Z

pxx2dx+ 1:

Р е ш е н и е. При решении используется формула 10: из таблицы

неопределенных интегралов.

x dx

d(x2)

dt

Z

p

= Z

2p

= Z

2p

= pt + 1 + c = px2 + 1 + c:

x2 + 1

x2 + 1

t + 1

П р и м е р 8. Найти

Z

dx

:

ex + 1

Р е ш е н и е

dx

ex dx

d ex

dt

Z

= Z

= Z

= Z

=

ex + 1

ex( ex + 1)

ex( ex + 1)

t(t + 1)

1

1

= Z µ

¡

¶ dt = ln jtj ¡ ln jt + 1j + c =

t

t + 1

= ln ex ¡ ln( ex + 1) + c = x ¡ ln( ex + 1) + c:

107

3. Тригонометрические подстановки

П р и м е р 9. Найти

Z

x2 dx

p

:

a2 ¡ x2

p

Р е ш е н и е. Полагаем x

=

a sin t. Тогда dx

= a cos t dt и

=

a2 ¡ a2 sin2 t = a cos t. Производя далее замену в ин-

a2 ¡ x2

теграле, получаем

Z

p

= Z

Z

p

x2 dx

a2 sin2 t a cos t dt

= a2

sin2 t dt =

a cos t

a2 ¡ x2

a2

a2

µt ¡

sin 2t

¶

a2

=

Z (1 ¡ cos 2t) dt =

+ c =

(t ¡ sin t cos t) + c =

2

2

2

2

2

2

x

x

x2

=

a

(t ¡ sin tp1 ¡ sin2 t) + c =

a

Ãarcsin

¡

r1 ¡

! + c =

2

2

a

a

a2

a2

x

x

=

arcsin

¡

pa2 ¡ x2 + c:

2

a

2

П р и м е р 10. Найти

Z

dx

x2p

:

x2 + 1

Р е ш е н и е. Полагаем x = tg t. Тогда dx =

dt

и p

=

x2 + 1

cos2 t

1

ptg

2x + 1

=

Подставляя эти значения в интеграл получаем

cos t.

Z

= Z

cos

2

t

dt

¢ cos t = Z

cos t dt

dx

=

x2p

sin2 t

cos2 t

sin2 t

x2 + 1

d sin t

1

1

p

x2 + 1

= Z

= ¡

+ c = ¡

+ c = ¡

+ c:

sin2 t

sin t

tg t ¢ cos t

x

П р и м е р 11. Найти

Z r

1 ¡ x dx:

1 + x

108

r

1 ¡ cos t = tg t . После подстановки в интеграл получаем

1 + cos t 2

r

Р е ш е н и е. Полагаем x = cos t. Тогда dx = ¡ sin t dt и 1 ¡ x = 1 + x

Z r

¡ Z

¡ Z

sin

t

1

¡ x

t

2 sin

t

cos

t

dx =

tg

sin t dt =

2

¢

dt =

1

+ x

2

cos

t

2

2

2

= ¡2 Z

sin2

t

dt =

Z (cos t ¡ 1) dt = sin t ¡ t + c =

2

p

=1 ¡ x2 ¡ arccos x + c:

Задачи для практических занятий

Z

17.1.e5 sin x cos x dx.

Zex

17.3.sin2( ex + 1) dx.

17.5.tg 2x dx.

Ze5px+3

17.7.px + 3 dx.

Z

17.9.p2x cos1 2 p2x dx.

Z

17.11. p dxp . x + 4 x

17.2. Z

sin3 x dx.

17.4. Z

ln x

dx.

x

17.6. Z

cos(2 arctg x)

dx.

1 + x2

17.8. Z

3p

x + 4

sinp

dx.

x + 4

17.10. Z

p3

x

dx.

x + 5

17.12. Z

dx

x2 p

.

4 ¡ x2

109

17.13. Z		dx
	p		.
		ex + 4

Z

17.15.e3 cos x sin x dx.

17.17. Z		e	x
	p			dx.
		ex	+ 1
Z

17.19.ctg 2x dx.

17.21. Z	sin p
			5x +	8	dx.
	p
		5x + 8

Z6x ¡ 5

17.23.p3x ¡ 1 dx.

Z

17.25.x(x ¡ 1)100 dx.

17.14. Z		cos3 x
	p		dx.
		1 + sin x

Домашнее задание

17.16. Z

cos3 x dx.

17.18. Z

dx

.

x ln x

17.20. Z

sin(2 arcsin x)

dx.

p

1 ¡ x2

3

17.22.

cos px

dx.

Z

px2

3

17.24. Z

dx

.

p

¡ p4

x

x

17.26. Z

p

4 ¡

x2

dx.

x2

Ответы:

					1																			1
17.1.												e5 sin x + c. 17.2.																cos3 x ¡ cos x + c. 17.3. ¡ ctg ( ex + 1) + c.
						5																				3
					1								2														1																				1
17.4.												ln x + c. 17.5. ¡																		ln j cos 2xj + c.												17.6.								sin(2 arctg x) + c.
							2																					2																				2
								2					5p																		2				p																					p
															x+3
17.7.								5				e						+ c.			17.8. ¡											3	cos 3			x + 4 + c.											17.9.								tg 2x + c.
								3						3							(2x							15) + c							17.11. 2p											+ 4 p4								+ 4 ln(p4								+
17.10.																(x + 5)2																		.
																																													x							x									x
										10 p								p					¡													1						p								2
																				4			x2
2																																								1¯				ex + 4									¯
1) + c																					¡					+ c													ln												¡		¯			+ c
					.					17.12. ¡ 4x																					. 17.13.					2																					.		17.14.
																																									¯p ex + 4 + 2
																																								3¯													¯
			p3															(7	¡																			¡																					sin x				¡
	15																						x
1																																																					1
				(1 + sin x)3																	3 sin x) + c. 17.15.																				¯e3 cos x + c. 17.16.¯
		sin			x+c. 17.17. 2p
																						e		+ 1+c. 17.18. ln j ln xj+c. 17.19.																																ln j sin 2xj+
	3																																																					2
110