TPf(x,y)

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

21 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z ln(y ln x)

2) z ulnv; ɝɞɟ

u xy ; v y ; x

ɪx = 1; y = 2.

3) y3

z3

6yz

x3

0;

M0(-2;3;2)

4) u

sin (x

2y)

xyz ;

M (

;

3

;3);

0

2

2

l

4i

3

j

5)v

3x2

y2

2z2 ;

2

2

.

u

z2

; M0

2

;2;

2

x2 y2

3

3

6) x2 y2

2y z3

16;

M0(1;2;2).

7ɚ)

y - 4x2 + 4 = 0.

7ɛ) z 4 2x2

y2 ;

D:{y 0; y 4x2 - 4}.

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

22 ɜɚɪ

ɚ

ɬ.

1) z

ln x ln y

2) z

u

1

; ɝɞɟ u

xy ; v

xy ;

ɪ

x = e; y = 1.

v

3) sin (y z) cos(x z)

1;

M

(

S

;

S

;-

S

)

0

4

4

12

4) u x2 y2 z ln(z 1) ;

M0(1;1;2);

l

5i 6 j 2

5k

5) v

x3

y3

8z3

;

2

.

2

3

x2

3

u

; M0 2; 2;

y2 z3

2

6)(8 z2 )y2 _ 4x2

0 ;

M0(2;2;2).

7ɚ)

x

y

1

0 .

23

7ɛ) z xy ;

' ɤ OBC, ɝɞɟ

D :

O(0;0);B(2;0);C(0;3)

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

			23 ɜɚɪ		ɚ	ɬ.
1)	z	y x 2
2) z		sin u ev ; ɝɞɟ u	1	; v	y ;	ɪ x =	2	; y = 1.
			x				S
3)	y2	x2 2z2 3xyz
	x z 2 0
	M0(1;2;2)
4) u x3 z2 y2 ;

M0(1;-3;4);

lj k

5)v 3 x2 3y2 2z2
2	.
u x2 yz3 ; M0 2;13 ; 23

6) x sin y ; zx

M0(1;S;2). 7ɚ)

y	x2				0 .
	3
7ɛ) z			x2		xy;
	2
D:	y t			x2		; y d 3
					3

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

24 ɜɚɪ ɚ ɬ.

1) z

arcsin

x2

y

2) z

arctgu

1

; ɝɞɟ u

x2 y2 ; v

xy ; ɪ x =2; y =

v

=1.

2

y

xy

xz

3)

ln(y

z)

0

M0(-2;0;1)

4) u

x

yz

;

y

x

y

M0(4;1;-2);

l

2i

k

5)v

9

2x3

y3

4z3

2

2

3

.

u

xy2

; M0

1

;2;

3

z3

3

2

6) x

y tg

z

;

3

M (3;3;

3

).

0

4

7ɚ)

1

2y

x

0.

3

7ɛ)

z

1

xy2 ;

D:{x 0; y 0; 1+2y-

x

0}

3

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

25 ɜɚɪ ɚ

ɬ.

1) z

arccos(2x

y)

2) z

arccos u

ev ; ɝɞɟ u

y

;v

xy ɪ x =2;

x

y = 1.

3) ln (z

y)

x

z

0

M0(-2;1;2)

4) u

z

xy

y

5

x2 ;

M0(1;1;0);

l

2i

2

j

k

5)v

2x2

3 y2

6 2z2

2

.

u

1

;

M0 1;

2

;

1

xy2 z

3

6

6)(18

z2 )x2

9y2

0 ;

M0(3;3;3). 7ɚ)

yx2 1 0.

7ɛ) z 4 2y2 x2 ; D:{ y 1- x2; y 0}

Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ

1.ɇɚɣɬɢ ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɨɠɧɨɣ

ɮɭɧɤɰɢɢ.

2.ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɫɥɨɠɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.

3.Ⱦɥɹ ɧɟɹɜɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ Ɍɟɣɥɨɪɚ 2 ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɹɦ (x-x0); (y-y0).

4. ɇɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɢ u(x, y,z) ɜ ɬɨɱɤɟ 0 ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɧɟɲɧɟɣ ɧɨɪɦɚɥɢ n ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S, ɡɚɞɚɧɧɨɣ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ S (x, y, z)=0 ɢɥɢ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ e .

5. ɇɚɣɬɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɣ u(x,y,z) ɢ v(x, y,z)ɜ ɬɨɱɤɟ 0.

6.ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢ ɧɨɪɦɚɥɢ

ɤɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɣ ɬɨɱɤɟ.

7ɚ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɦɟɬɨɞ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɺɧɧɵɯ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ, ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɡɚɞɚɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚ ɭɫɥɨɜɧɵɣ

ɷɤɫɬɪɟɦɭɦ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ (x, y)=0.

7ɛ. ɇɚɣɬɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ z=f(x, y) ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D.

26 ɜɚɪ

ɚ

ɬ.

1) z

ln(2

x

y)

2) z

tgu ev ; ɝɞɟ u

1

; v

y

ɪ x =

1

; y = 0.

x

x

3)

x3

2y3

z3

3xyz

2y

9

0

M0(1;0;2)

4) u

2

x

y

y arctg z ;

M0(3;-2;1);

l

4i

3k

5)v

x2

9y2

6z2

.

u

1

;

M0 1;

1

;

1

xyz

3

6

6) y

ln(z2

x2 );

M0(1;0;0).

7ɚ)

y

x

1

0.

7ɛ) z y2

2xy x2

4y;

D:{ x 3; y 0; y x +1}