НГТУтв3

Глава 3. Случайные величины

Случайной величиной называется функция Х, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ω Ω число X = X (ω).

Будем обозначать случайные величины прописными буквами Х,Y,Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z.

Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

x1, x2 , x3.

Случайные величины используются для того, чтобы выразить числовые характеристики случайных событий.

Функцией распределения называют функцию F (x) ,

определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е. F (x) = P( X < x).

Свойства функции распределения.

1.Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]: 0 ≤ F (x) ≤1.

2.F (x) есть неубывающая функция, т.е. если x1 < x2 , то

F (x1 ) ≤ (x2 ).F

Доказательство. Введем события A1 ={X < x1},

A2 ={X < x2}. Тогда A1 A2, поэтому P( A1 ) ≤ P( A2 ), значит

F (x1 ) ≤ F (x2 ).

A1 A2 x1 x2

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка [a,b) равна

P(a ≤ X <b) = F (b)−F (a),

то есть приращению функции распределения на этом интервале.

Доказательство. Так как событие

{X <b}

эквивалентно событию

{X < a} {a ≤ X <b},

то

P( X <b) = P( X < a) + P(a ≤ X <b).

Поэтому

P(a ≤ X <b) = P( X <b) − P( X < a) = F(b) − F(a).

4. Существуют пределы lim F (x) = 0;	lim F (x) =1.
x→− ∞	x→∞

5. Функция распределения непрерывна слева, т.е. для возрастающей последовательности x1 , x2 ,..., xn ,..., где xn → x выполняется: F( xn ) → F( x −0) = F( x).

1

f(x)

X

x

Случайная величина Х называется дискретной, если существует конечная или счетная последовательность чисел x1, x2 ,..., такая, что

∞

∑P( X = xk ) =1.

k =1

Дискретную случайную величину удобно задавать в виде таблицы или графика (полигона распределения):

Значения	x1	x2	x3	…
Вероятности	p1	p2	p3	…

График функции распределения для дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид:

xi	-1	2	3	5
pi	0.1	0.3	0.4	0.2