rtc_uch_16

91

5.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Характеристики линейных цепей. Линейной называется цепь, к которой применим принцип суперпозиции (наложения). В линейной цепи (ЛЦ) с постоянными во времени параметрами не образуются новые частоты на выходе. ЛЦ полностью описывается либо дифференциальным уравнением, либо передаточной функцией, либо импульсной характеристикой.

Любая линейная цепь с сосредоточенными параметрами описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами an и bm:

b	d mUвых (t)	+b	d m−1Uвых (t)	+…+ b	dUвых(t)	+ b U	вых	(t) =
m	dtm	m−1	dtm−1	1	dt	0

= a	d nUвх(t)	+ a	d n−1Uвх(t)	+…+ a	dUвх (t)
n	dtn	n−1	dtn−1	1
					dt

+ a0Uвх(t) . (5.1)

Порядок уравнения (5.1) определяется количеством реактивных элементов в цепи.

Передаточная функция (ПФ) K(jω) (или частотный коэф-

фициент передачи) представляет собой отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических сигналов заданной частоты ω:

U&вых

m

a

+ a

( jω) +…+ a

( jω)n

K ( jω) =

=

0

1

n

.

(5.2)

&

b

( jω)

m

Uвх

m

+ b

( jω) +…+ b

0

1

m

При обобщении выражения K(jω) для случая комплексной частоты p = σ + jω получим ПФ в операторной форме или оператор-

ный коэффициент передачи

		a	+ a p +…+ a pn
	K ( p) =	0	1	n		.	(5.3)
		b	+ b p +…+ b		pm
		0	1	m

Импульсная характеристика g(t) линейной системы – это от-

клик на единичный импульс δ(t), т. е. g(t) = f [δ(t)].

Переходная характеристика h(t) линейной системы – отклик на единичный скачок σ(t), т. е. h(t) = f [σ(t)].

Взаимосвязь временных и спектральных характеристик линейных цепей показана на рис. 5.1, где ППФ, ОПФ – прямое и обратное преобразование Фурье

	92					ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
	+∞			1		+∞
	K( jω) = ∫ g(t)e− jωt dt ;	g(t) =				∫ K ( jω)e jωt dω ;	(5.4)
				2π
	-∞					-∞
	ППЛ, ОПЛ – прямое и обратное преобразование Лапласа
	∞			1		c+ j∞
	K ( p) = ∫g(t)e− pt dt ;	g(t) =				∫ K ( p)e pt dp .	(5.5)
			2πj
	0					c− j∞

Передаточную функцию цепи, называемую также частотным коэффициентом передачи, можно представить в виде

K ( jω) = K (ω)e jϕ(ω) = Re[K ( jω)] + j Im[K ( jω)] ,

(5.6)

где K (ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи; ϕ(ω) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) цепи; Re[K ( jω)] и Im[K ( jω)] – действительная и мнимая части ПФ.

		d		ППФ
	h(t)	dt	g(t)
				K ( jω)
		∫		ОПФ
			ОПЛ ППЛ
			K(p)	jω → p
				p → jщ

Рис. 5.1

Важную роль, особенно при исследовании устойчивости цепи,

играет амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) цепи, т. е.

кривая в плоскости прямоугольных координат Re[K( jω)] и Im[K ( jω)] или в плоскости полярных координат K (ω) и ϕ(ω) . В

качестве примера на рис. 5.2 приведены АЧХ, ФЧХ и АФХ резонансного усилителя.

Если между АЧХ и ФЧХ цепи существует однозначное соответствие, то такие цепи называются минимально-фазовыми (МФ), в противном случае – неминимально-фазовыми (НМФ). Следовательно, для МФ цепей при изменении одной из характеристик ме-

93

няется и другая. К таким цепям относятся обычные четырехполюсники и другие цепи, в которых отсутствуют перекрестные связи и операторный коэффициент передачи K( p) которых не имеет нулей

в правой полуплоскости комплексного переменного p . К цепям НМФ относятся мостовые схемы, схемы балансного типа и др.

K (щ) ϕ(щ)

Im(K ( jщ))

K p

	р/2			K(ω)	K (щ1)	K(щp )
					ϕ(щ1)
	щ1 щ0		щ2	щ	0	Re(KK(ω( j))щ))
					K (щ2 )
	-р/ 2			ϕ(щ)
	2	щ0.7

Рис. 5.2

Некоторые свойства АЧХ и ФЧХ минимально-фазовых цепей:

1)логарифмическая АЧХ A(ω) = ln K (ω) является сопряженной по Гильберту ФЧХ ϕ(ω) ;

2)при прохождении АЧХ через максимум наклон ФЧХ отрица-

телен ( dϕ(ω) / dω< 0 );

3)участкам с равномерной АЧХ или слабым изменением K (ω) соответствует линейная ФЧХ;

4) если K (ω) = K0 для всего диапазона ω от 0 до ∞ , то

ϕ(ω) = 0 .

Цепи с обратной связью (ОС). В этих цепях выходной сигнал или его часть снова воздействует на вход (рис. 5.3). В общей постановке система с ОС может быть представлена двумя цепями (элементами) (рис. 5.3, а): прямой цепью (основным элементом) – активным четырехполюсником K( p) и цепью (элементом) обратной

связи – как правило, пассивным четырехполюсником β( p) . ПФ всей системы в операторной форме

	Koc ( p) =	Uвых( p)	=		K( p)	.	(5.7)
		Uвх( p)		1− K( p)β( p)

При замене p на jω получаем выражение для ПФ(см. рис. 5.3, б)

	94							ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
	Koc ( jω) =			K ( jω)	=			K( jω)	.	(5.8)
		1		− K ( jω)β( jω)		1		− H ( jω)

Произведение K ( jω)β( jω) имеет смысл ПФ последовательного соединения четырехполюсников K ( jω) и β( jω) , т. е. ПФ разомк-

нутой системы H ( jω)

H ( jω) = K ( jω)β( jω) = H (ω)e jϕH (ω) = Re H + j Im H ,	(5.9)
где H (ω) и ϕ(ω) – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы
H (ω) = K (ω)β(ω) , ϕH (ω) = ϕK (ω) + ϕβ(ω) ;	(5.10)

Re H = Re[H ( jω)] , Im H = Im[H ( jω)] – действительная и мнимая

части ПФ разомкнутой системы.

ПФ Koc ( jω) часто называют ПФ замкнутой системы. Если на некоторой частоте ω

1 − H ( jω)

>1, то

Koc ( jω)

<

K ( jω)

,

(5.11)

т. е. введение ОС уменьшает модуль ПФ замкнутой системы и обратная связь для этой частоты называется отрицательной; в противном случае

	1 − H ( jω)		<1,		Koc ( jω)		>		K ( jω)		(5.12)

– положительной.

Отрицательная ОС позволяет в ряде случаев улучшить характеристики цепей: стабилизировать коэффициент усиления, осуществить коррекцию АЧХ. Положительная ОС используется в различных генераторах и в том числе в генераторах гармонических колебаний.

Uвх(p)

Uвых(p)

Uвх

Uвых

+

K(p)

вх

ω

вых

вх

вых

K(j )

Uос(p)

β(p)

β(jω)

Uос

а

б

Рис. 5.3

95

Устойчивость цепей с ОС. Условие устойчивости заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений система возвращается в исходное состояние. Известно несколько критериев устойчивости, различающихся в основном по форме, а не по существу. Они подразделяются на две группы.

Алгебраические критерии. Уравнение (5.1) с нулевой правой частью, т. е.

b	d mUвых(t)	+ b	d m−1Uвых(t)	+…+b	dUвых(t)	= 0	(5.13)
m	dtm	m−1	dtm−1	1
					dt

будет описывать состояние покоя линейной цепи. После внешнего воздействия переходные процессы должны быть затухающими для возвращения цепи в исходное состояние покоя. Решение уравнения (5.13) имеет вид:

		m
	u(t) = ∑Uie pit		,	(5.14)
		i=1
где Ui – постоянные,		pi = σi + jωi	– корни характеристического
уравнения
b	pm + b	pm−1 +.... + b p + b = 0 .		(5.15)
m	m−1	1	0

Следовательно, система устойчива, если действительные части σi всех корней характеристического уравнения (5.15) отри-

цательны. Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым.

Поскольку левая часть уравнения (5.15) представляет собой знаменатель ПФ (5.3), корни уравнения (5.15) являются полюсами ПФ (5.3) и, следовательно, для устойчивости цепи необходимо, чтобы ПФ не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной p .

Если цепи описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, нахождение корней характеристического уравнения осложнено. В этом случае используют критерий РаусаГурвица: для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (5.15) с вещественными коэффициентами bm были отрица-

тельными и, следовательно, цепь была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы были положительными следующие величины:

1) коэффициенты b0 ,…, bm ;

2) определители 1 = bm−1 ,

96								ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
						bm−1 bm−3 bm−5.....0
2	=	bm−1	bm−3	,………..,	m =	b	b	b	.....0	;	(5.16)
						m	m−2	m−4
		bm	bm−2			.............................0
						0....................b2 b0

3) все главные миноры определителей.

Достоинство этого критерия – относительная простота. Однако с возрастанием m увеличивается порядок определителей и вычисление их становится громоздким. Кроме того, он неприменим к системам с распределенными параметрами и неудобен при экспериментах, когда заданы не коэффициенты уравнения, а ПФ разомкнутой цепи. Алгебраические критерии не дают ясных указаний по переводу неустойчивой системы в устойчивую и наоборот.

От этих недостатков свободны геометрические критерии.

Геометрические (частотные) критерии. Из (5.8) следует, что при H ( jω) =1 усиление Koc ( jω) бесконечно возрастает, т. е. сис-

тема становится неустойчивой. Следовательно, если АФХ (годо-

граф) H ( jω) разомкнутой системы не охватывает точку с коор-

динатами (1, j0), то замкнутая система устойчива и наоборот. Это условие называется критерием устойчивости Найквиста.

Вместо АФХ могут быть использованы обычные АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Если при изменении частоты ω от 0 до ∞

фаза ϕН не достигает 0, или n 2π (где n – целое), то замкнутая система устойчива при любом значении H = Kβ . Если H = Kβ при

любой частоте меньше единицы, то замкнутая система устойчива при любой ФЧХ.

Система неустойчива, если имеются частоты, на которых одновременно выполняются два условия:

ϕ		= ϕ		+ ϕ = n 2π,
	H		K		n = 0,1,2,..	(5.17)
				β
H = Kβ ≥1.

Критерий Найквиста получил наибольшее применение в радиотехнике и радиоэлектронике. Известен также ряд других геометрических критериев устойчивости, например критерий Михайлова и критерий пересечений, которые широко используются в автоматике при анализе систем регулирования.

Гребенчатые фильтры. Запаздывающая ОС, в которой цепь ОС представляет собой звено (линию) задержки на время τ3 , по-

97

зволяет создать гребенчатый фильтр, у которого АЧХ и ФЧХ имеют периодическую структуру:

Koc (ω) =

K (ω)

,

(5.18)

1− 2K (ω)β(ω)cos[ϕ

K

(ω) −ωτ ] + K 2 (ω)

3

K (ω)β(ω)sin[ϕK (ω) −ωτ3 ]

ϕoc (ω) = ϕK (ω) −ωτ3

+ arctg

. (5.19)

1

− K (ω)β(ω)cos[ϕ

K

(ω) −ωτ

]

3

Из соображений устойчивости на всех частотах должно быть:

Kβ <1.

Koc (ω)
8
6		K=0.9
4		K=0.8
2		K=0.5
0	р/ф	2р/ф3	3р/ф3	4р/ф	щ
	3			3
		Рис. 5.4
На рис. 5.4 приведены графики Koc (ω)				для частного идеализи-
рованного случая,	когда	K ( jω) = K	и β( jω) =1exp(− jωτ3 ) .		Оче-

видно, что АЧХ имеет вид “гребенки”, отсюда и название фильтра гребенчатый. Максимальное и минимальное значения АЧХ

Kmax = K /(1 − K ) , Kmin = K /(1 + K ) .

(5.20)

Расстояние между максимумами (или минимумами) Δω1 и ширина каждого зубца 2Δω0.7 (на уровне 0.707 от максимума) могут быть найдены из соотношений

98	ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Δω1 = 2π/ τ3 ,	2Δω0.7 ≈ 2(1 − K ) / τ3 .	(5.21)

Импульсная характеристика для идеализированного случая имеет вид

g(t) = Kδ(t) + K 2δ(t − τ3 ) + K 3δ(t − 2τ3 ) +....

(2.22)

5.3. ЗАДАЧИ

5.3.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПАРАМЕТРЫ ЛЦ

1.Для схемы, показанной на рис. 5.5, составьте дифференциальное уравнение для входного тока цепи.

2.Определите передаточную функцию K(jω) для схемы рис. 5.5

ипостройте графики АХЧ, ФЧХ и АФХ.

Указания.	При	выводе	выражения	K(jω)	учесть, что
ω0 =1 LC –	резонансная частота контура;			Q = ω0 L R – доброт-
ность контура.
				R
R	L
uвх			uвх	C	C
	C	uвых		R	uвых
Рис. 5.5				Рис. 5.6

3. Для схемы, показанной на рис. 5.6, получите в аналитическом виде передаточную функцию K(jω) и постройте графики АЧХ и ФЧХ. По виду АЧХ и ФЧХ определите, является ли данная цепь минимально-фазовой.

Указания. Графики АЧХ и ФЧХ постройте для двух областей частот: 1) ω < 1/τ; 2) ω>> 1/τ. Обратите внимание на значение АЧХ

иФЧХ на частоте ω0 = 1/τ; где τ = RC – постоянная времени цепи.

4.Докажите, что цепь, имеющая комплексную передаточную функцию

K(jω) = 1/(jωτ),

является идеальным интегратором.

5. Докажите, что цепь, имеющая комплексную передаточную функцию K(jω) = jωτ, является идеальным дифференцирующим устройством.

99

6.Для идеального дифференцирующего устройства, имеющего K(jω) = jωτ, найдите в аналитическом виде переходную характеристику.

7.Для схемы, показанной на рис. 5.5, определите в аналитическом виде импульсную g(t) и переходную h(t) характеристики для

случая R = 0. Объясните, почему g(t) и h(t) имеют различную размерность.

Указания. Для нахождения g(t) и h(t) используйте функцию K(jω), полученную в задаче 2.

8. Импульсная характеристика цепи имеет вид

g(t) = ω0 K0 sin[ω0 (t − τ3 )] ,

π ω0 (t − τ3 )

где K0 – значение коэффициента передачи на нулевой частоте; ω0 – граничная частота; τ3 – время задержки. Получите выражение для

комплексной передаточной функции K(jω).

Указания. Эффективным способом решения данной задачи является использование теорем о спектрах.

9.Для идеального интегратора, имеющего комплексную передаточную функцию K(jω) = 1/(jωτ), вычислите импульсную g(t) и переходную h(t) характеристики.

Указания. Для определения g(t) целесообразно воспользоваться теоремой о вычетах.

10.Для схемы, показанной на рис. 5.7, определите в аналитиче-

ском виде K(jω) и изобразите графики АЧХ и ФЧХ.

Указания. В качестве развязывающих элементов используются идеальные операционные усилители (ОУ), имеющие на всех частотах постоянный коэффициент усиления К0, при этом входное сопротивление операционного усилителя бесконечно велико, а его выходное сопротивление равно нулю.

	R	C
	K0
		K0
вх	C	R вых

Рис. 5.7

11. По выражению АЧХ, полученному в задаче 10, определите полосу пропускания Δω0.7 цепи рис. 5.7 по уровню 0.707 от максимального значения.

100	ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

12. Для схемы, показанной на рис. 5.7, получите в аналитическом виде импульсную характеристику g(t). Определите длительность переходных процессов tn по уровню 0.1 от максимального значения g(t).

Пользуясь результатами решения задачи 11, найдите соотноше-

ние неопределённости Δω0.7 tn.

13. Определите в аналитическом виде импульсную g(t) и переходную h(t) характеристики линейной системы, изображённой на рис. 5.8.

Указания. Для решения данной задачи целесообразно применить теорему о вычетах для кратных полюсов.

вх	K1(jω)=1/jω		K2(jω)=K0		K3(jω)=1/jω	вых

Рис. 5.8

14. Получите выражения для ПФ, АЧХ и ФЧХ резонансного усилителя, схема которого приведена на рис. 5.9. Полевой транзистор работает на линейном участке вольт-амперной характеристики и имеет в рабочей точке (U0 ) известную крутизну S . Параметры контура:

C , L , Q и p = L1 / L . Изобразите качественно АЧХ, ФЧХ и АФХ. 15. Определите резонансную частоту ( f p ), полосу пропускания

( 2 f0.7 ), резонансный коэффициент усиления ( K p ) и постоянную времени ( τk ) линейного резонансного усилителя (рис. 5.9) при сле-

дующих параметрах:	C =1.2 нФ,		L = 20 мГн, Q =10 ,
p = L1 / L = 0.95 и S =1.5	мА/В.
			CР
VT			Вых
CP
Вх RP	L	L1	С
		L2
U0		EП	Вых.1

Рис. 5.9