Методичка. Теория вероятностей. ФЛА II курс

1.В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?

2.Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

3.После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами?

4.На отрезок [0;2] наугад, независимо друг от друга брошены две точки ξ и η.

Найти P{|ξ-η|>0,5}.

5.На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросают наудачу монету диаметра 2r < a. Найти вероятность того, что монета попадет целиком внутрь квадрата.

6.Имеется магнитофонная лента длиной L=200 м, на обеих сторонах которой

записаны данные; на одной стороне сообщение длиной L1=30 м, на другой – длиной L2=10 м; местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением участок ленты длиной L0=10 м, начинающийся на расстоянии 80 м от начала ленты, был удален. Найти вероятность, что ни та, ни другая записи не повреждены.

7.На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет заключена между

36 см2 и 81 см2.

8.Расстояние от пункта А до В автобус проходит за 2 мин, а пешеход – за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту А и отправляетесь в В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.

9.Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени T. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.

10.На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а, случайно брошена монета радиуса r. Найдите вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников.

11.Стержень длины а наудачу разломан на 3 части. Любые возможные варианты длин частей равновероятны. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше а4 .

12.Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из отрезка [- 1,1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

13.На окружность радиуса R наудачу поставлены три точки А, В, С. Найдите вероятность того, что треугольник АВС остроугольный.

14.Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Найдите вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго – 2 ч.

15.В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленного на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает

21

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол.

16.Стержень единичной длины произвольным образом разламывается на три части длиной x, y, z. Любые возможные варианты длин частей равновероятны. Найти вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник.

17.В квадрат со стороной 1 наудачу брошена точка А. Найдите вероятности следующих событий:

18.а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит х; б) расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата превосходит х.

19.В любые моменты промежутка времени T равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше τ. Найти вероятность того, что приемник будет забит.

20.Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (r=1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки: а) в круг радиуса 2r; б) в заштрихованную область.

21.По радиоканалу в течение промежутка времени (0;1) передаются два сигнала длительностью T<1/2. Каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала (0;1-T). Если сигналы перекрывают друг друга хотя бы частично, оба они искажаются и приняты быть не могут. Найти вероятность того, что сигналы приняты без искажений.

22.На отрезке длиной l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше kl, где 0<k<1?

23.На отрезке AB длиной l наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.

24.В интервале времени [0, T] в случайный момент времени u появляется сигнал длительности . Приемник включается в случайный момент времени ν [0, T] на время t. Найдите вероятность обнаружения сигнала приемником.

25.Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

26.Наудачу взяты два положительных числа – x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное у/х не больше двух.

Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.

Вероятность суммы двух совместных событий:

P(A + B)= P(A)+ P(B)− P(AB) .

Вероятность суммы трех совместных событий:

P(A + B + C)= P(A)+ P(B)+ P(C)− P(AB)− P(AC)− P(BC)+ P(ABC).

Вероятность суммы n несовместных событий:

22

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

æ

n

ö

n

.

Pèç

åi=1

Ai ø÷ = åi=1 P(Ai

), Ai Aj = f, i ¹ j

Вероятность произведения двух событий:

.

P(A)= P(A B)

P(AB)= P(A)P(B

A)= P(B)P(A

B)

B

A

Если

, то говорят,

что

события

и

независимы. Тогда

P(AB)= P(A)P(B).

Вероятность произведения n событий:

P(A1 A2 K An )= P(A1 )P(A2 A1 )P(A3 A1 A2 )K P(An A1 A2 K An−1 ).

Если события Ai (i=1,2,…,n) независимы, то P(A1 A2 KAn )= P(A1 )P(A2 )KP(An ).

Пример 1: Из колоды в 52 карты вытаскивается одна карта. Какова вероятность того, что это будет либо дама, либо карта пиковой масти?

Решение: Рассмотрим события А={извлечена дама} и В={извлечена карта пиковой масти}. Нас интересует сумма этих двух событий А+В={извлечена либо дама, либо карта пиковой масти}.

P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB), где AB={извлечена пиковая дама}.

P(A)= 524 , P(B)= 1352 (13 одинаковой масти), P(AB)= 521 .

P(A + B)= P(A)+ P(B)- P(AB)= 524 + 1352 - 521 = 1652 = 134 .

Пример 2: В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наугад две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными.

Решение: Нас интересует событие A={вытащенные пуговицы одноцветные}. Представим событие A как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2,

где A1={обе пуговицы красные}; A2={обе пуговицы синие}. Так как события несовместны, то P(A)=P(A1)+P(A2).

Представим A1 и A2 как произведение двух событий: A1=B1B2; A2=C1C2, где B1={первая пуговицы красная}, B2={вторая пуговицы красная},

С1={первая пуговицы синяя}, С2={вторая пуговицы синяя}.

Тогда P(A1)=P(B1)P(B2|B1); P(A2)=P(C1)P(C2|C1).

P(B1 )= 1016 = 58 ; P(B2 | B1 )= 159 = 35 – вероятность того, что вторая пуговица красная, если точно известно, что первая пуговица тоже красная.

Аналогично P(C1 )= 166 = 83 ; P(C2 | C1 )= 155 = 13 .

Следовательно P(A1 )= 85 × 35 = 83 , P(A2 )= 83 × 13 = 18 , P(A)= 38 + 18 = 84 = 12 .

Пример 3: Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны p1, p2, p3. Найти вероятность того, что в мишень произойдет ровно два попадания.

Решение: Запишем событие, вероятность которого нас интересует: A={ровно два попадания}.

Событие A представим в виде трех несовместных события: A=A1+A2+ A3, где A1={попал; попал; промах}; A2={попал; промах; попал}; A3={промах; попал; попал}.

23

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Каждое из событий Ai можно представить, как произведение трех независимых событий:

B1={попадание при I выстреле};`B1={промах при I выстреле};

B2={попадание при II выстреле};`B2={промах при II выстреле};

B3={попадание при III выстреле};`B3={промах при III выстреле}.

A1 = B1B2 B3 ; A2 = B1 B2 B3 ; A3 = B1B2 B3 .

P(B1 )= p1 ; P(B2 )= p2 ; P(B3 )= p3 ; P(B1 )=1- p1 ; P(B2 )=1- p2 ; P(B3 )=1- p3 .

Поскольку события Bi независимы, то P(A1 )= P(B1B2 B3 )= P(B1 )P(B2 )P(B3 )= p1 p2 (1- p3 ),

P(A2 )= p1(1- p2 )p3 ; P(A3 )= (1- p1 )p2 p3 .

Так как события Ai несовместны, то

P(A)= P(A1 + A2 + A3 )= P(A1 )+ P(A2 )+ P(A3 )= p1 p2 (1- p3 )+ p1 (1- p2 )p3 + (1- p1 )p2 p3 .

Пример 4: Одна торпеда попадает в корабль с вероятностью ½. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для его потопления достаточно попадания одной торпеды?

Решение: A={корабль потоплен}. Будем искать вероятность противоположного события A ={корабль не потоплен}. Введем дополнительные события: Bi={i-ая торпеда попала в цель (i=1,2,3,4.)}. Bi = {i-ая торпеда не попала в цель (i=1,2,3,4.)}.

P(Bi )= 12 , P(Bi )=1- P(Bi )= 12 .

Корабль будет потоплен, если в него попадет хотя бы одна торпеда. Сформулируем фразу противоположного смысла: корабль не будет потоплен, если в него не попадет

ни одной торпеды. Таким образом A = B1 B2 B3 B4 . Поскольку события Bi независимы,

то будут независимы и противоположные к ним события, и тогда

P(A)= P(B1 )P(B2 )P(B3 )P(B4 )= 12 × 12 × 12 × 12 = 161 , P(A)=1- P(A)=1-161 = 1516 .

Замечание: Если в задаче встречается формулировка «хотя бы один…», то удобнее перейти к противоположному событию, смысл которого «ни одного…».

Задачи к разделу V:

1.Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8 и после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятности событий:

a.все три раза промах;

b.хотя бы одно попадание;

c.два попадания.

2.Батарея, состоящая из K орудий, ведет огнь по группе, состоящей из L самолетов (K£L). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все K орудий будут стрелять по одной

итой же цели.

3.Цифры 1, 2, 3, 4, 5 располагаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что первой окажется четная, а последней – нечетная цифра?

4.Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для одного стрелка равна 0,7, для другого – 0,6. Найти вероятности событий: а) только один из стрелков попал в мишень;

24

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

б) хотя бы один из стрелков попал в мишень; в) оба стрелка поразили мишень; г) ни один из стрелков не попал в мишень;

д) хотя бы один из стрелков не попал в мишень.

5.Студент пошел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы, и получил 2 вопроса, наудачу выбранных из 25. Найти вероятность того, что студент знает оба этих вопроса.

6.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для одного стрелка равна р, для второго 0,7. Вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти р.

7.Три стрелка, у которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Найти вероятность того, что:

а) мишень будет поражена более одного раза; б) мишень будет поражена не более одного раза.

8.В урне лежат 5 черных шаров, 4 красных и 3 белых. Последовательно вынимают три шара, причем каждый шар возвращается в урну перед тем, как вынимается следующий. Найти вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным, третий – белым.

9.Студент сдает экзамен до первой удовлетворительной оценки, но не более трех раз. Вероятность сдать экзамен с первой попытки равна 0,5. Вероятность сдать экзамен со второй попытки (после неудавшейся первой) равна 0,7, с третьей (после неудавшихся первой и второй) – 0,7. Какова вероятность: а) сдать экзамен? б) провалить экзамен?

10.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

11.По железнодорожному мосту, независимо один от другого, производят серийное бомбометание три самолета. Каждый самолет сбрасывает одну серию бомб. Вероятность попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолета равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если для разрушения достаточно хотя бы одного попадания.

12.Определить, какова вероятность, что все члены группы, состоящей из трех лиц разного возраста, проживут ближайшие 10 лет, если вероятность прожить 10 лет для первого лица равна 0,95, для второго лица – 0,93 и для третьего – 0,89.

13.Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

14.В цехе работают две мясорубки. Цех прекращает работу досрочно при поломке одной из мясорубок. Вероятность поломки каждой – 0,2 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что цех прекратит работу досрочно.

15.Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Какова вероятность того, что монету придется подбрасывать: а) ровно 5 раз; б) не менее 5 раз; в) не более 5 раз?

16.Игральная кость брошена пять раз. Найти вероятность появления одной и более «1».

25

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

17.Куплены два холодильника. Вероятность того, что каждый из них выдержит гарантийный срок службы равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока:

а) оба холодильника не потребуют ремонта; б) только один из них потребует ремонта; в) хотя бы один не потребует ремонта.

(Холодильники выходят из строя независимо друг от друга).

18.Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает их до первого попадания. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,1 и не зависит от результата предыдущих бросков. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным.

19.Из букв разрезной азбуки составили слово КОМБИНАТОРИКА. Не умеющий читать ребенок перемешал буквы этого слова и составил из них «слово» из четырех букв. Какова вероятность того, что этим словом оказалось слово кино?

20.В случайном порядке в ряд располагают 5 белых, 7 черных и 3 оранжевых шара. Найдите вероятность того, что на 1-м и 5-м местах в этом ряду будут белые шары, а на 15-м месте – оранжевый шар.

21.Студент пришел на зачет, зная ответы на 24 из 30 вопросов. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос? Зачет выставляется за один правильный ответ.

22.Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Выстрелы независимы, вероятность попадания при каждом выстреле одинакова. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

23.В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. В первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наугад извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что: а) оба шара одного цвета; б) хотя бы один шар белый.

24.Для того, чтобы сбить самолет достаточно одного попадания. Было сделано три выстрела с вероятностями попадания 0,1; 0,2 и 0,4 соответственно. Какова вероятность того, что самолет сбит?

25.Серия после-матчевых пенальти состоит из 10 ударов. На момент нанесения семи ударов выигрывает 1-я команда со счетом 3:2 (первый удар наносила 1-я команда). Вероятность точно пробитого пенальти 1-й командой – 0,6, 2-й – 0,8. Найти вероятность того, что на момент нанесения 10 ударов 1-я команда не проиграет.

Раздел VI: Формулы полной вероятности и Байеса.

Формула полной вероятности.

Предположим, нам нужно определить вероятность события A. Опыт может закончиться одной из гипотез H1, H2, …, Hn, вероятность которых P(Hi) нам известны (гипотезы должны образовывать полную группу несовместных событий: Hi H j = ,

n

если i¹j, åHi = Ω ). Вероятности появления события A при условии наступления

i=1

каждой гипотезы нам известны: P(A|Hi). Тогда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

n

P(A)= åP(Hi )P(A | Hi ).

i=1

26

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 1: В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Решение: A={стрелок попал}. Введем гипотезы: Hi={стрелок выбрал i-ое ружье (i=1, 2, 3, 4, 5)}. Очевидно эти события несовместны (стрелок может выбрать только одно из ружей) и образуют полную группу событий (стрелок обязательно выберет одно из

этих пяти ружей). Найдем вероятностиi								гипотез. Так как шансы быть выбранным у
каждого ружья одинаковыi						, то	P H	i
							( )=1/5=0,2 ( =1, 2, 3, 4, 5). Вероятности попадания в
цель при выборе5				-го ружья заданы по условию задачи:					P A H	P A H
									( | 1)=0,5;	( | 2)=0,6;
P A H	)=0,7;	P A H		)=0,8;i	P A H		)=0,9.
( |		( |	4		(	i|
3						5

Тогда

(

A

)

=

åi 1

(

H

) (

A | H

)

= 0,2×0,5 + 0,2×0,6 + 0,2×0,7 + 0,2×0,8 + 0,2×0,9 = 0,7

.

P

=

P

P

Пример 2: При помещении в урну n шаров (из них m белых, остальные черные) один шар затерялся. Цвет его неизвестен. Теперь в урне осталось n-1 шаров. Какова вероятность вытащить белый шар?

Решение: A={вытащенный шар – белый}.

Если бы мы точно знали цвет утерянного шара, то вычислить вероятность события A не составило бы труда. Введем следующие гипотезы: H1={утерянный шар белый}, H2={утерянный шар черный}. Эти два события действительно являются гипотезами, поскольку, они несовместны (утерянный шар не может быть одновременно белым и черным) и образуют полную группу событий (утерянный шар может быть либо белым, либо черным).

P

H1

)

=

m

;

P

H2

)

=

n - m

;

P

A | H1 =

m -1

;

P A | H2

=

m

(

n

(

n

(

m)m -1 n - m( m

)m

n -1

1 )

2 )

n

-1

P A = P H

P

A | H

+ P

H

P

A | H

=

+

=

.

n n -1

n n -

1

n

Замечание( ) (

1 ) (

(

2 ) (

: поскольку цвет утерянного шара неизвестен, то вероятность вытащить

белый шар не изменится.

Пример 3: В первой партии деталей содержится N деталей, из которых n – бракованных. Во второй партии деталей содержится M деталей, из которых m – бракованных. Из первой партии берут K деталей (K<N), а из второй партии L деталей (L<M) и образуют новую партию из K+L деталей. Из новой партии берут одну деталь. Какова вероятность, что эта деталь бракованная?

Решение:

I				II
N деталей				M деталей
n бракованных				m бракованных
		III
K		K+L деталей		L
H1				H2
		одна деталь

27

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

A={выбранная деталь бракованная} Введем гипотезы:

H1={деталь ранее принадлежала I партии}; H2={деталь ранее принадлежала II партии}.

Найдем вероятность первой гипотезы. В новой III партии K деталей из I партии и L деталей из II партии. Тогда вероятность того, что взятая из III партии деталь, ранее

была в I партии равна

P(H1 )= K

. Аналогично

P(H

2 )=

L

.

A

K + L

Найдем вероятность события

K + L

при наступлении каждой гипотезы.

P A H

( |

1) – вероятность того, что извлеченная из III партии деталь бракованная, если

мы точно знаем, что она ранее принадлежала I партии (то есть это одна из

K

деталей). Таким образом, задача определения

P A H

(

| 1) сводится к примеру 4 раздела

3:

1

N . Аналогично

2

M .

K

n

L

m

P(A | H

)=

n

P(A | H

)=

m

Тогда P(A)= P(H1 )P(A | H1 )+ P(H2 )P(A | H2 )=

+

.

K + L

N

K + L

M

Формула Байеса

Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его исходах можно было

сделать

ряд гипотез

H

H

…,

Hn

. Вероятность

гипотез до опыта известны

1,

2,

(априорные вероятности). Теперь предположим, что опыт произведен, и в его результате появилось событие A. Нужно пересмотреть вероятности гипотез с учетом этого факта. Другими словами, найти априорные вероятности гипотез при условии,

A

формула Байеса

P(H | A)

=

P(Hi )P(A | Hi )

=

P(Hi

)P(A | Hi )

i=

n

что опыт дал

дает

:

результатi

. Ответ на этот вопросn

( 1, 2, …, )

P(A)

åk=1 P(Hk )P(A | Hk )

Пример 4: На фабрике машины № 1, 2 и 3 производят соответственно 25%; 35% и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет в среднем 5%, 4% и 2% соответственно. Выбранное наугад изделие оказалось дефектным. Найти вероятность того, что оно было произведено машиной № 1.

Решение: Если задача решается с помощью формулы Байеса, то сначала записывается событие, которое уже произошло A={выбранное изделие дефектное}. Затем вводятся гипотезы, причем так, чтобы одна из них была интересующим нас событием. Нас интересует событие H1={изделие было произведено машиной №1} (при условии, что произошло событие A). Теперь необходимо дополнить гипотезу H1 другими гипотезами так, чтобы они образовывали полную группу несовместных

событий: H2={изделие было произведено

машиной №2} и

H3={изделие было

P H

P H

P H

произведено машиной №3}.

P(A

H

P A H

(

P A H

1)=0,25;

( 2)=0,35;

3)=0,4;

1

P(H

1

)P(A | H

1

)

0,25

×

0,05

P(H1

| A)=

3

)=0,04;

( |

=

= 0,362

( | )=0,05; ( |

)=0,02.

Тогда

.

åk=1

P(Hk )P(A | Hk )

0,25×0,05 + 0,35×0,04 + 0,4×0,02

28

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 5: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания первого p1=0,8, второго p2=0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

Решение: A={в мишени ровно одна пробоина}

H1={первый стрелок попал в мишень}; H2={первый стрелок промахнулся}.

P(H1)=p1=0,8; P(H2)=1–p1=0,2.

Найдем вероятность события A при наступлении гипотезы H1: P(A|H1). Если мы точно знаем, что первый стрелок попал в мишень, то в ней будет одна пробоина,

только

когда

второй стрелок

промахнулся. Тогда

P A H

p

( | 1)=1–

2=0,6. Аналогично

P A H

)=

p

=0,4. Тогда

( |

2

2

P H1 P A | H1

0,8×0,6

P

H1 | A

=

=

= 0,857

)

2

H)k

P(

A | H)k

(

åP(

(

(

)

0,8

×0,6 + 0,2×0,4

k 1

)

=

Задачи к разделу VI:

1.В первой урне 10 белых и 20 черных шаров, во второй – 10 белых и 10 черных шаров. Из первой урны наугад извлекают 4 шара, из второй – 6 шаров и перекладывают эти 10 шаров в третью урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный наугад из третьей урны, окажется белым?

2.В городе три шоколадные фабрики. Первая выпускает 45% конфет, причем 15% из них в обертке. Вторая выпускает 35% конфет, из которых 23% в обертке. Третья выпускает 20% конфет, из них 48% в обертке. Какова вероятность, что купленная наугад конфета окажется без обертки?

3.На столе четыре пакета. В первом 4 шоколадные конфеты и 10 леденцов, во втором 11 шоколадных и 2 леденца, в третьем –20 леденцов, а в четвертом – 13 шоколадных. Наугад выбирают один пакет и в нем конфету. Определить:

а) какова вероятность того, что выберут шоколадную конфету?

б) какова вероятность выбора конфеты из первого пакета, если она оказалась шоколадной.

4.В магазин поступает минеральная вода в бутылках от двух изготовителей: местного и иногороднего, причем местный изготовитель поставляет 40% всей продукции. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, равна: для местной продукции 0,02, для иногородней 0,05. Найти вероятность того, что взятая наудачу бутылка окажется неразбитой.

5.Имеется пять урн. В первой, второй и третьей находятся по 2 белых и 3 черных шара; в четвертой и пятой урнах по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?

6.Есть 10 симметричных монет, 8 нормальных, а на двух герб находится с обеих сторон. Наудачу взятая монета бросается три раза. Найти вероятность того, что выпадут три герба.

7.На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй 0,1% брака; продукция, поступающая с третьего автомата, не содержит бракованных изделий. На сборку поступило 2000 деталей с первого автомата, 3000 деталей со второго автомата и 5000 деталей с третьего автомата.

29

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1)Найдите вероятность того, что деталь, выбранная наугад из всех этих деталей, будет бракованная.

2)Какова вероятность того, что деталь, выбранная наугад из данных деталей, поступила с первого автомата, если известно, что она является небракованной?

8.Из урны, в которой было m³3 белых и n черных шаров, потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из нее наудачу вынуты два шара. Найти вероятность того, что был утерян белый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.

9.Вероятности попадания в мишень для трех стрелков равны 4/5, 3/4 и 2/3 соответственно. В результате одновременного выстрела трех стрелков в мишени образовалось две пробоины. Какова вероятность того, что 3-й стрелок попал в мишень?

10.В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй – 8 белых и 2 черных шара. Из каждой урны наугад удаляют по k шаров (1£ k £ 9), а оставшиеся шары ссыпают в третью, пустую урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, будет белым?

11.Группа студентов состоит из a отличников, b хорошо успевающих и c занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или удовлетворительную оценку.

12.В магазине продается 60% тортов фирмы «Дюжина», 30% – фирмы «Эстье» и 10% фирмы «Инмарко». Вероятность того, что торт фирмы «Дюжина» окажется несвежим, равна 0,2; для тортов, изготовленных фирмами «Эстье» и «Инмарко», эти вероятности соответственно равны 0,1 и 0,3. Найти вероятность того, что купленный в этом магазине торт окажется свежим.

13.Вероятности попадания в мишень для трех стрелков равны 4/5, 3/4 и 2/3 соответственно. Для поражения цели в нее нужно попасть не менее двух раз. В результате одновременного выстрела трех стрелков цель была поражена. Какова вероятность того, что 3-й стрелок попал в цель?

14.В баре разливают 50% пива «Балтика», 30% пива «Золотая бочка» и 20% пива «Очаков». Вероятность того, что пиво «Балтика» окажется «неправильным», равна 0,3; для пива «Золотая бочка» и пива «Очаков» эти вероятности соответственно равны 0,1 и 0,2. Посетитель купил «правильное» пиво. Какова вероятность того, что ему налили пиво «Очаков»?

15.Бросается две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпала единица, если известно, что на второй кости выпало очков больше, чем на первой?

16.В ящике находится a новых теннисных мячей и b игранных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращаются в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (a³2; b³2).

17.В первой чашке два пирожка с малиной и 4 с лимоном, во второй чашке – 5 пирожков с малиной и 5 с лимоном. Из первой чашки наудачу переложили во вторую два пирожка. Найти вероятность того, что потом взятый наудачу из второй чашки пирожок окажется с лимоном.

30

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com