Лекции ДиРУр
.pdf
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Y et |
|
cos |
2t isin |
2t . |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
Выделим вещественную и мнимую части этого решения
|
|
cos |
2t |
|
|
|
sin 2t |
|
|
|||||
Y Re(Y) et |
|
|
|
|
|
, |
Y |
Im(Y) et |
|
|
|
|
|
. |
1 |
|
2sin |
|
|
|
2 |
|
|
|
2cos |
|
|
||
|
|
|
2t |
|
|
|
2t |
Откуда получаем общее решение
|
|
C cos |
2t C |
|
sin 2t |
|
|
|
||||||
Y(t) et |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
C |
|
2sin |
2t C |
2 |
|
2cos |
2t |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень ks кратности r.
Если для кратного корня ks имеется столько линейно независимых собст-
венных векторов (1), , (r) , какова его кратность, то ему соответствует
решение C1 (1) C2 (2) Cr (r) ekst .
Пример 3. Найти общее решение системы
dy1 3y1, dt
dy2 y1 2y2 y3, dt
dy3 y1 y2 2y3. dt
Найдем корни характеристического уравнения
3-k 0 0
1 2-k -1 (3 k)(k2 4k 3) 0.
1 -1 2-k
Получаем k1,2 3, k3 1.
51
Найдем собственные векторы для кратного корня k1,2 3. Для этого запи-
шем и решим однородную систему уравнений
0 |
0 |
0 1 |
|
0 |
|
|
1 |
2 3 0, |
||||||
|
1 |
-1 |
-1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 0. |
|||||||
|
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
-1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, ранг матрицы системы равен 1, следовательно, число линейно независимых решений этой линейной однородной системы равно
n rank A 3 1 2. В результате решения однородной системы линейных алгебраических уравнений находим два линейно независимых собственных вектора
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(1) |
|
|
1 |
|
|
|
(2) |
|
|
0 |
|
|
|
|
, |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, кратному корню k1,2 3 соответствует решение Y C1 (1)e3t C2 (2)e3t , где C1, C2 - произвольные постоянные.
Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному
0
значению k3 1: (3) 1 .
1
Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений
имеет вид Y C1 (1)e3t C2 (2)e3t C3 (3)et .
Если для корня ks кратности r имеется только m линейно независимых собственных векторов, и m r , то решение, соответствующее этому корню, можно искать в виде произведений многочлена степени r m на ekt , т.е. в виде
y (b |
b t b |
tr m)ekt, |
||||
|
1 |
10 |
11 |
1r m |
|
(15) |
....................................................... |
|
|
|
|
|
|
y |
n |
(b |
b t b |
|
tr m)ekt. |
|
|
n0 |
n1 |
nr m |
|
Чтобы найти коэффициенты bij надо подставить решение (15) в исходную
систему. Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой части уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений отно-
52
сительно bij . При этом коэффициенты bij должны зависеть от r произволь-
ных постоянных, где r - кратность корня ks .
Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений
Решение.
Составим и решим характеристическое уравнение
,
(5)
.
Для простого корня находим собственный вектор , решая систему
находим . Значит собственный вектор есть ,
и - частное решение исходной системы.
Для кратного корня сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При из (5) получаем матрицу
.
Ее порядок n=3, а ранг r=2. число линейно независимых собственных векторов равно . Корень имеет кратность k=2. Так как , то решение надо искать в виде произведения многочлена степени на , т.е. в виде
(6)
Чтобы найти коэффициенты a,b,...., подставляем (6) в исходную систему и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему
53
Общее решение этой системы есть Таким об-
разом, все неизвестные выражены через c и d. Положив , име-
ем
Подставив найденные значения a,b,... в (6), и прибавив частное решение,
умноженное на , получим общее решение исходной системы:
.
Пример 3. Решить систему
dy1 y1 y2, dt
dy2 y1 3y2. dt
Запишем характеристическое уравнение
|
1 k |
1 |
0 |
|
или |
k2 4k 4 0. |
|
|
1 |
3 k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение имеет кратный корень |
k1,2 |
2. Для определения собственного |
|||||
вектора составим систему линейных уравнений |
|||||||
|
1 1 1 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
. |
||
|
1 1 |
2 |
|
|
0 |
|
Ранг матрицы этой системы равен 1. Число линейно независимых решений
1
равно 1. Собственным вектором является вектор .
1
Следовательно, решение ищем в виде
y1 ( 1 1t)e2t, y2 ( 2 2t)e2t.
После подстановки в первое уравнение системы ДУ и деления на e2t получим
1 1 1t 2 2t.
54
Это равенство будет выполняться, если 2 1 1, 2 1 . Будем считать
1, 1 произвольными постоянными, обозначив их соответственно c1 и c2 .
Общее решение системы имеет вид
y1 (c1 c2t)e2t , y2 (c1 c2 c2t)e2t.
7.Разностные уравнения
Вданном разделе рассматриваются числовые функции, заданные на дискретном множестве точек {ti} R. Дискретное множество значений аргумен-
та {ti}принято называть сеткой, а значения ti - узлами. Функции, заданные на сетке, называют сеточными функциями. Будем считать, что узлы сетки упорядочены в порядке возрастания и для всех i ti 1 ti h 0. Путем мас-
штабирования аргумента можно задать сетку так, чтобы расстояние между соседними узлами было равно единице.
В дальнейшем всегда будем считать, что h 1, и все рассматриваемые сеточные функции определены на множестве целых чисел. В некоторых случаях значения целочисленного аргумента будем обозначать нижним индексом у обозначения функции, например, yt есть то же самое, что и y(t).
Пусть дана функция y дискретного аргумента t. Правой разностью первого порядка функции y в точке t называется величина
55
yt |
y(t 1) - y(t), |
(1) |
В практике также используют левую разность первого порядка, определяемую как
yt y(t) - y(t 1) yt
В численном анализе также используются разности порядков выше первого: правые разности:
2 y y |
- y |
t |
y(t 2) 2y(t 1) y(t) |
|
||||||||
t |
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r yt |
r 1yt 1 |
- r 1yt |
( 1)jCrj y(t r j) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 |
|
|
|
|
и левые разности: |
r y |
|
r-1y |
- |
|
r-1y |
r y |
. |
|
|||
|
|
t |
|
t |
|
t 1 |
t r |
|
|
|||
Разностным уравнением порядка n называется уравнение вида |
|
|||||||||||
|
G(t,y(t),y(t 1), ,y(t n)) 0 . |
(3) |
Разностное уравнением порядка n можно представить как соотношение, свя-
зывающее yt и разности i yt или i yt вплоть до порядка n.
Решением разностного уравнения (3) называется функция y(t), которая об-
ращает это уравнение в тождество.
Если записать уравнение (3) в виде |
|
|
y(t n) G1 t,y(t), ,y(t n 1) , |
(4) |
|
то, задавая при t t0 начальные значения |
|
|
y(t0) y0 , y(t0 1) y1 |
y(t0 n 1) yn 1, |
|
получим значение y(t0 n) и, следовательно, при любом целом t |
значение |
y(t0 t). Таким образом, решение разностного уравнения n - го порядка за-
висит от n начальных значений, и его можно представить в виде
y(t) F t,y0,y1, ,yn 1 .
56
С другой стороны, если имеется функция y(t) целочисленного аргумента,
которая является представителем |
семейства |
y(t) F t,C1, ,Cn , |
то из уравнений |
|
|
y(t) F t,C1, ,Cn , |
|
|
y(t 1) F t 1,C1, ,Cn , |
|
|
|
|
|
y(t n 1) F t n 1,C1, ,Cn |
|
|
можно выразить константы C1, ,Cn |
через y(t),y(t 1), ,y(t n 1). После |
подстановки этих выражений в уравнение y(t n) F t n,C1, ,Cn придем к разностному уравнению n - го порядка.
7.1.Линейные разностные уравнения. Линейным разностным уравнением порядка n называется уравнение вида
n yt a1(t) n 1yt an(t)yt |
f (t). |
(5) |
Если f (t) 0, то уравнение (3) называется однородным линейным разност-
ным уравнением. Применяя формулы определения конечных разностей (1), (2), можно переписать уравнение (5) в виде
y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) f (t). |
(6) |
||||||
Рассмотрим свойства решений линейного однородного уравнения |
|
||||||
y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) 0. |
(7) |
||||||
Теорема 1. Если y1(t),y2(t), ,yn(t) - решения уравнения (7), то функция |
|||||||
C1y1(t) C2 y2(t) Cn yn(t), где Ci |
(i 1, ,n) - постоянные, тоже являет- |
||||||
ся решением уравнения (7). |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Пусть y1(t),y2(t), ,yn(t) |
- решения уравнения (7), при этом оп- |
||||||
ределитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
y1(0) |
y2 (0) |
|
yn (0) |
|
|
|
|
|
|
|||||
D[y1(0), , yn(0)] |
y1(1) |
y2(1) |
|
yn (1) |
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|||
|
y1(n-1) y2(n-1) yn (n-1) |
|
|
|
|||
|
|
57 |
|
|
|
|
не равен нулю, то общее решение уравнения (7) имеет вид
y(t) C1y1(t) C2 y2(t) Cn yn(t).
Теорема 3. Общее решение неоднородного линейного уравнения
y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) f (t)
выражается в виде суммы его частного решения y(t) и общего решения со-
n
ответствующего однородного уравнения, т.е. y(t) y(t) Ci yi(t), где yi (t)
i 1
(i 1, ,n) - частные решения однородного уравнения такие, что
D[y1(0), ,yn(0)] 0.
Функции y1(t),y2(t), ,yn(t) называются линейно зависимыми, если суще-
ствуют постоянные C1, ,Cn , не равные нулю одновременно, такие, что при
всех t 0 имеет место |
|
C1y1(t) C2 y2(t) Cn yn(t) 0. |
(9) |
Если равенство (9) может выполняться для всех t 0 |
только, когда Ci 0, |
i 1, ,n,тофункции y1(t),y2(t), ,yn(t) являются линейно независимыми.
Пример 1. Функции y1(t) 2t , y2(t) 3t являются линейно независимыми.
Функции y1(t) sin2 t, y2(t) cos2 t , y3(t) 1являются линейно зависимыми.
Лемма. Пусть y1(t),y2(t), ,yn(t) линейно независимые решения однород-
ного уравнения n - го порядка, тогда определитель
|
y1(t) |
y2(t) |
yn(t) |
|
D[y1(t), , yn (t)] |
y1(t 1) |
y2(t 1) |
|
yn (t 1) |
|
|
|
||
|
y1(t n-1) |
y2(t n-1) |
|
yn (t n-1) |
не может быть тождественно равным нулю.
Метод вариации постоянных для решения неоднородного уравнения
Предположим, что известны y1(t),y2(t), ,yn(t) - n линейно независимые ре-
шения линейного однородного уравнения
58
y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) 0,
и нам требуется найти частное решение неоднородного уравнения
y(t n) p1(t)y(t n 1) pn(t)y(t) f (t)
при t 0. Общее решение однородного уравнения, как известно, имеет вид
n
Ci yi(t), где Ci (i 1, ,n) - произвольные постоянные. Решение неодно-
i 1
n
родного уравнения ищем в виде Ci(t)yi(t) путем выбора функций Ci(t).
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
Обозначим Cit Ci(t 1) Ci(t) |
(i 1, ,n). Составляется система уравнений |
||||||
для определения Cit . |
|
|
|
|
|
|
|
C1t y1(t 1) C2t y2(t 1) Cnt yn(t 1) 0, |
|
||||||
|
C1t y1(t 2) C2t y2(t 2) Cnt yn(t 2) 0, |
|
|||||
|
(10) |
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
C y (t n) C |
y |
(t n) C |
y |
(t n) f (t). |
|
||
|
1t 1 |
2t |
2 |
nt |
n |
|
|
После определения разностей при любом t 0 можно определить Ci(t), если задать начальные значения C1(0) C10 , C2(0) C20 ,…, Cn(0) Cn0 .
7.2.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Для решения неоднородного линейного разностного уравнения надо найти линейно независимую систему решений соответствующего однородного уравнения. Для случая уравнения с постоянными коэффициентами ниже дается способ нахождения системы линейно независимых решений.
Однородные линейные уравнения. Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
y(t n) a1y(t n 1) an y(t) 0. |
(11) |
Решение уравнения (1) будем искать в виде y(t) qt . Послеподстановки в уравнение (1) получим уравнение для определения q
59
qt n a1qt n 1 anqt 0. |
(12) |
Т.к. очевидное нулевое решение нас не интересует, будем считать, что q 0.
Поделив уравнение (12) на qt , получим
qn a1qn 1 an 0. |
(13) |
Уравнение (13) называется характеристическим для уравнения (11). Рассмотрим всевозможные типы корней характеристического уравнения.
А) Все корни характеристического уравнения q1,q2, ,qn вещественные и различные. В этом случае уравнение (11) имеет n решений
y1 q1t, y2 q2t , , yn qnt . |
(14) |
Покажем, что эти линейно независимы. Составим для этой цели определитель
|
q1t |
q2t |
|
qnt |
|
|
|
||
|
|
|
t 1 |
t 1 |
|
t 1 |
|
|
|
D[q1t, ,qnt ] |
q1 |
q2 |
|
qn |
. |
(15) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
q1t n-1 |
q2t n-1 |
qnt n-1 |
|
|
|
|||
Вынесем за знак определителя из каждого столбца в (15) qt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D[q1t, ,qnt ] q1tq2t qnt |
|
q1 |
q2 |
|
qn |
. |
(16) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
qn-1 |
qn-1 |
|
qn-1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
Считаем, что все qi отличны от нуля, т.к. в противном случае коэффициент an был бы равен нулю, и мы бы тогда рассматривали уравнение меньшего порядка. Определитель в правой части (16) есть определитель Вандермонда и он равен (qj qi) и отличен от нуля, поскольку все корни характеристиче-
j i
ского уравнения различны. Следовательно, решения y1 q1t, y2 q2t , , yn qnt
- линейно независимы, и общее решение однородного разностного уравнения
(7) имеет вид
60